8 2 次体の単数

［定理 8.1］Kを2次体,o_KをKの整数環,α∈o_K とする. このとき,αが単数ならば, Kにお けるαの共役α^σも単数である.

［証明］αを単数とすると,あるα⁰∈oKが存在してαα⁰ = 1. このとき,α^σ,α^0σ ∈oK,α^σα^0σ = 1.

ゆえに,α^σは単数である.

［定理 8.2］Kを2次体,oKを整数環,α,β ∈oKとする. このとき,oKにおいてαがβで割り 切れるならば,ZにおいてN_KαはN_Kβで割り切れる.

［証明］o_Kにおいてαがβで割り切れるとすると,あるγ∈o_Kが存在してα=βγ. ノルムをと ると,

NKα=NK(βγ) =NKβNKγ.

α,β,γ∈oKより,NKα, NKβ,NKγ∈Z. ゆえに, ZにおいてNKαはNKβで割り切れる.

［定理 8.3］Kを2次体,oKをKの整数環,ε∈Kとする. このとき,εが単数であるための必要 十分条件は,ε∈oKかつ|NKε|= 1となることである.

［証明］(条件の必要性) εを単数とすると,ε∈oK であり,あるε⁰ ∈oKが存在してεε⁰ = 1. 定 理8.2より,Zにおいて1 =N_K1はN_Kεで割り切れる. ゆえに,N_Kε=±1.

(条件の十分性) ε∈o_Kかつ|N_Kε|= 1とすると, ε^σ ∈o_Kかつεε^σ =±1. よって, ε⁰ =±ε^σ とおくと,ε⁰∈oK,εε⁰ = 1.

［注意 8.1］整数環の元でなくてもノルムの値が1になるものは存在する. 例えば,K=Q(√

−15), α= (1 +√

−15)/4とおくと, α6∈oKかつNKα= 1.

定理8.3より, 2次体Kの単数群o^×_Kは

o^×_K ={ε∈oK | |NKε|= 1}

と表せる. さらに,Kが虚2次体のとき, 0でない元のノルムの値は常に正なので, |NKε|= 1のと ころはNKε= 1と書き換えられる.

［定理 8.4］Kを虚2次体とする.

(i) K=Q(√

−1)のとき,Kのすべての単数は±1,±√

−1.

(ii) K=Q(√

−3)のとき,Kのすべての単数は±1,±(1−√

−3)/2,±(1 +√

−3)/2.

(iii) それ以外のとき, Kの単数は±1のみ.

［証明］εをKの単数とする. Kは虚2次体なので, ある平方因子を含まない有理整数m >0が 存在してK=Q(√

−m). よって,

ε=a+b√

−m, a, b∈Q と表される. また,定理8.3の後に述べたことから,NKε= 1である.

b= 0のとき,ε=a∈Q. よって,

1 =N_Kε=N_Ka=a²=ε². ゆえに,

ε=±1. (12)

b6= 0のとき,t=−Tr_Kεとおくと, εは2次方程式 X²+tX+ 1 = 0 の解であるから,

ε=−t±√ t²−4

2 .

ε∈o_Kより,t∈Z. また,ε=a+b√

−m6∈Rより上の方程式の判別式t²−4は負なので, (t−2)(t+ 2) =t²−4<0.

よって,

−2< t <2.

t∈Zであるから,t= 0, ±1. ゆえに, ε=±√

−1, ±(1−√

−3)/2, ±(1 +√

−3)/2. (13)

したがって,Kの単数となりうるCの元は(12), (13)がすべてである. K=Q(√

−1)のとき,K は±1,±√

−1のみを含む. K=Q(√

−3)のとき,Kは±1,±(1−√

−3)/2,±(1 +√

−3)/2のみを 含む. それ以外のとき,Kは±1のみを含む.

［補題 8.5］任意のθ∈Rと任意のn∈Z,n >0に対して,あるx,y∈Zが存在して,

|yθ−x|< 1

n, 1≤y≤n が成り立つ.

［証明］y= 0, 1,. . .,nとすると,n+ 1個のyθが得られる. x=byθcとおくと, 0≤yθ−x <1.

よって,yθ−xは次のn個の区間のいずれかに入る.

· 0, 1

n

¶ ,

·1 n, 2

n

¶ , . . . ,

·n−1 n , 1

¶

yθ−xはn+ 1個あるので,部屋割り論法により,少なくとも2つは同一の区間に入る. それらを y₁θ−x₁, y₂θ−x₂とし,y₂< y₁であるすると,

|(y₁−y₂)θ−(x₁−x₂)|

=|(y1θ−x1)−(y2θ−x2)|< 1 n であるから,x⁰=x1−x2,y⁰=y1−y2とおけば, x⁰,y⁰ ∈Zかつ

|y⁰θ−x⁰|< 1

n, 1≤y⁰ ≤n となる.

［補題 8.6］Kを実2次体,o_KをKの整数環,d_KをKの判別式とする. このとき,任意のn∈Z, n >0に対して,あるα∈o_K,α6= 0が存在して,

|α|< 1

n, |NKα|<1 +p dK

が成り立つ.

［証明］1,ωをKの標準的整数底とする. 補題8.5においてθ=−ωとおくと,あるx, y∈Zが 存在して

|yω+x|< 1

n, 1≤y≤n.

α=x+yωとおくと,|α|<1/n. また,y6= 0より,α6= 0.

一方,ω−ω^σ=√

d_Kより

α^σ=x+yω^σ

= (x+yω)−y(ω−ω^σ)

=α+yp dK

なので,

|α^σ| ≤ |α|+yp dK < 1

n +np dK.

したがって,NKα=αα^σより,

|NKα|=|α||α^σ|

< 1 n

µ1 n+np

dK

¶

= 1 n² +p

dK

<1 +p dK.

［定理 8.7］Kを実2次体とする. このとき,Kの単数で±1とは異なるものが存在する.

［証明］Kを実2次体,o_KをKの整数環,d_KをKの判別式とする. 補題8.6より,任意のn∈Z, n >0に対して,あるα∈o_K,α6= 0が存在して,

|α|< 1

n, |NKα|<1 +p

dK. (14)

そこで,まずn1= 1に対して, (14)を満たすαをα1とおく. 次に,n2>1/|α1|なるn2に対して, (14)を満たすαをα2とおくと,

|α2|< 1 n2

<|α1|. 同様の操作を続けると,d=b1 +√

dKc+ 1とおくとき,

|α₁|>|α₂|>· · ·>|α_d3|>0

なるo_K の元α₁,α₂,. . .,α_d3 が定まる. 各α_iのノルムの絶対値はdより小さいので, 有理整数c で|N_Kα_i|=cとなるα_iがd²個より多く存在するようなものが1≤c < dの範囲に存在する.

そこで,|NKαi|=cを満たすαiのすべてをβ1,β2,. . .,βd0 (d⁰ > d²)とおく. ただし,

|β1|>|β2|>· · ·>|βd0|

が成り立つように番号を振る. 1, ωをKの標準的整数底とし,各i= 1, 2,. . .,d⁰に対して βi=ri+siω, ri, si ∈Z

とおく. c < dより|Z/cZ×Z/cZ|< d²であるから,部屋割り論法により,ある番号i < jが存在 して

ri≡rj(modc), si≡sj (modc).

r_i−r_j =cr,s_i−s_j =csとおくと,

β_i−β_j =c(r+sω).

両辺をβjで割ると,

βiβ⁻_j¹−1 =c(r+sω)β_j⁻¹.

ゆえに,ε= 1 +c(r+sω)β_j⁻¹とおくと,

βiβ_j⁻¹=ε.

|NKβi|=|NKβj|なので,

|NKε|=|NK(βiβ_j⁻¹)|=|NKβiNKβ_j⁻¹|

=|N_Kβ_i||N_Kβ_j⁻¹|=|N_Kβ_i||N_Kβ_j|⁻¹

= 1.

また,

βjβ_j^σ=NKβj=±c より

cβ_j⁻¹=±β^σ_j ∈oK

であるから,ε∈oK. したがって,εはKの単数である.

|β_i|>|β_j|より,

|ε|=|β_i||β_j|⁻¹>1.

ゆえに,ε6=±1.

［定理 8.8］Kを実2次体とする. このとき,ε >1を満たすKの単数εが存在する. しかも, そ の中に最小のものε0が存在する. ε0をKの基本単数という.

［証明］定理8.7より,Kの単数εが存在して,ε6=±1. このとき, 次の4通りが考えられる.

(i) ε >1.

(ii) 0< ε <1.

(iii) −1< ε <0.

(iv) ε <−1.

(i)の場合, すべきことはない. (ii)の場合,εの代わりにε⁻¹をとればよい. (iii)の場合, εの代わ りに−εをとればよい. (iv)の場合, εの代わりに−ε⁻¹をとればよい. 以上より,定理の前半が証 明された.

さて,ε >1をKの単数, 1,ωをKの標準的整数底とする. これらの取り方はKにのみ依存す ることに注意せよ. Kの単数はo_Kの元なので,a+bω,a,b∈ZをKの単数とし,

1< a+bω≤ε (15)

とする. N_K(a+bω) =±1より,

−1< a+bω^σ<1. (16)

(15), (16)より,

0< b(ω−ω^σ)<1 +ε.

d_KをKの判別式とすると,ω−ω^σ=√

d_K >0より, 0< b < 1 +ε

√dK

. (17)

また,ω >0,ω^σ<0だから, (15), (16)より,

εω^σ≤aω^σ+bωω^σ≤ω^σ,

−ω < aω+bωω^σ< ω.

よって,

−(ω+ω^σ)< a(ω−ω^σ)< ω−εω^σ. ω−ω^σ =√

dK>0より,

−ω+ω^σ

√d_K < a < ω−εω^σ

√d_K . (18)

a,b∈Zであるから, (17), (18)より, (15)を満たす単数a+bωは有限個しかない. したがって,そ の中に最小のものが存在する. それをε₀とすれば,ε₀は1より大きいKの単数のうちで最小のも のである.

［定理 8.9］Kを実2次体,ε₀をKの基本単数とする. このとき,すべての単数は

±εⁿ₀, n∈Z の形で表される. 特に,実2次体の単数は無限にある.

［証明］Kの単数εを任意にとる.

ε >0のとき,ε₀>1より, あるn∈Zが存在して εⁿ₀ ≤ε < εⁿ⁺¹₀ . もし仮にε6=εⁿ₀ とすると,

1< εε⁻₀ⁿ< ε0.

εε⁻₀ⁿもまたKの単数であるから, これはε₀の最小性に反する. ゆえに, ε=εⁿ₀ でなければなら ない.

ε <0のとき,−ε >0なので,あるn∈Zが存在して−ε=εⁿ₀. よって,ε=−εⁿ₀. 最後の主張は,ε0>1より

1< ε0< ε²₀<· · · であることからわかる.

［定理 8.10］Kを実2次体,ε0をKの基本単数,ηをKの単数とする. このとき,すべての単数が

±ηⁿ, n∈Z

の形で表されるための必要十分条件は,η=±ε0,±ε⁻₀¹となることである.

［証明］(条件の必要性) まず,η >0のときを考える. 仮定より,あるn1∈Zが存在してε0=±ηⁿ¹ となるが,ε₀>0よりε₀=ηⁿ¹. また,定理8.9より,あるn₂∈Zが存在してη=±εⁿ₀². これに前 式を代入すると, ε₀=εⁿ₀¹ⁿ². ゆえに,n₁n₂= 1. したがって,n₁=±1となり,η =ε₀またはε⁻₀¹. 同様の議論により, η <0のとき,η=−ε₀または−ε⁻₀¹.

(条件の十分性) 定理8.9より明らかである.

9 代数体のイデアル

Kを代数体,oKをKの整数環とする.

Kの部分集合aが次の3つの条件を満たすとき,aをKの分数イデアルあるいは単にKのイデ アルという.

(i) aは加法に関してKの部分群である.

(ii) 任意のx∈oK,α∈aに対して,xα∈a.

(iii) あるc∈oK,c6= 0が存在して,任意のα∈aに対して,cα∈oK. 条件(i), (ii)より,Kの分数イデアルaはo_K 加群である.

Kの分数イデアルaがa⊆o_Kを満たすとき,aをo_KのイデアルあるいはKの整イデアルとい う. 一般に,Kの部分集合aについて,a⊆oKであることと条件(iii)においてc= 1が取れること とは同値である. したがって,oKのイデアルとは,oKの部分集合aで条件(i), (ii)を満たすものの ことである.

aをKの分数イデアルとすると,a∩oKは整数環oKの部分集合であり,かつ条件(i), (ii)を満た す. よって,a∩oKはoK のイデアルである. また,oKの任意の元xに対して,xa={xα|α∈a} はKの分数イデアルである. 条件(ii)より,xa⊆a. 特に,条件(iii)より,あるc∈oK,c6= 0が存 在して,caはaに含まれるoKのイデアルになる.

［注意 9.1］代数体K自身は,条件(i), (ii)を満たすのでo_K加群であるが, 条件(iii)を満たさな いので分数イデアルにはならない.

α1,α2, . . .,αn∈Kに対して,

oKα₁+oKα₂+· · ·+oKα_n ={x₁α₁+x₂α₂+· · ·+x_nα_n |x_i ∈oK}

はKの分数イデアルである. これをα1,α2,. . .,αnから生成されるイデアルといい, (α₁, α₂, . . . , α_n)

という記号で表す. また,α1,α2, . . .,αnをイデアル(α1, α2, . . . , αn)の生成元という. また,ただ 1つの元α∈Kから生成されるイデアル

(α) =o_Kα={xα|x∈o_K} を単項イデアルという.

生成元がすべてoKの元であれば,生成されるイデアルはoKのイデアルになる. 逆に,生成元の 中にo_Kの元でないものが1つでも含まれていれば,生成されるイデアルはo_Kに含まれないので, o_Kのイデアルではない.

0だけからなる集合{0}は, 0から生成されるoK の単項イデアルである. すなわち,{0}= (0).

これを零イデアルという. 任意の分数イデアルは零イデアルを含む.

また,oK自身は, 1から生成されるoKの単項イデアルである. すなわち,oK= (1).

［定理 9.1］Kを代数体, (α), (β)をそれぞれα,β ∈Kを生成元とする単項分数イデアルとする.

また,o^×_KをKの単数群とする. このとき,

(α) = (β)⇐⇒α=βε(∃ε∈o^×_K) が成り立つ. 特に,

(α) =o_K ⇐⇒α∈o^×_K である.

［証明］(⇒) (α) = (β)とする. β ∈(α) =αo_Kより, あるε∈o_K が存在して, β =αε. 一方, α∈(β) =βo_Kより,あるε⁰∈o_Kが存在して,α=βε⁰. ゆえに,α=αεε⁰. よって,α(εε⁰−1) = 0.

これより, α= 0またはεε⁰ = 1となる. α = 0の場合は, β = 0となるので, α=β ·1である.

εε⁰ = 1の場合は,ε∈o^×_Kである.

(⇐) γ ∈(α) =αoKとすると,あるγ⁰ ∈oK が存在して, γ=αγ⁰. 一方, α=βεであるから, γ =βεγ⁰ ∈βoK = (β). よって, (α)⊆(β)である. β =αε⁻¹を用いれば, 逆の包含関係も同様に して示せる.

後半の主張は,oK = (1)であることから, 前半の主張をβ= 1の場合に適用することにより得ら れる:

(α) =o_K⇐⇒(α) = (1)⇐⇒α=ε(∃ε∈o^×_K)⇐⇒α∈o^×_K.

［定理 9.2］Kを代数体とし,a, bをKの分数イデアルとする.

(i) a∩bはKの分数イデアルである.

(ii) a+b={α+β |α∈a, β∈b}はKの分数イデアルである. これをa, bの和という.

(iii) ab={P

iαiβi (有限和)|αi ∈a, βi ∈b} はKの分数イデアルである. これをa, bの積と いう.

［証明］a,bがoK 加群のとき,a∩b, a+b,abがoK 加群であることはすぐに確かめられる. 以 下,イデアルの定義の条件(iii)が成り立つことを確かめる.

a,bはKの分数イデアルだから,イデアルの定義の条件(iii)が成り立つ. すなわち,あるc₁∈o_K, c₁6= 0が存在して, 任意のα∈aに対して, c₁α∈o_K. 同様に, あるc₂ ∈o_K, c₂ 6= 0が存在して, 任意のβ ∈bに対して, c2β∈oK.

(i) a∩b⊆aだから, 任意のα∈a∩bに対して,c1α∈oK. (ii) 任意のα∈a,β∈bに対して,

c₁c₂(α+β) =c₂(c₁α) +c₁(c₂β)∈oK. ここで,c1c26= 0であり,c1c2はα,βには依存しない.

(iii) 任意のP

iαiβi∈abに対して, c1c2

X

i

αiβi=X

i

(c1αi)(c2βi)∈oK. ここで,c₁c₂6= 0であり,c₁c₂はabの元には依存しない.

［例 9.1］Kを2次体,oK をKの整数環, aをKの分数イデアル,γ∈Kとする. このとき, (γ)a=γa

が成り立つ. 実際,P

i(γx_i)α_i,x_i∈o_K,α_i ∈aをaの任意の元とすると, X

i

(γxi)αi=γ ÃX

i

xiαi

!

∈γa.

ゆえに, (γ)a⊆γa. 逆に,γα, α∈aをγaの任意の元とすると, 明らかにγα∈(γ)aである. ゆえ に,γa⊆(γ)a.

［定理 9.3］Kを代数体,α1, α2,. . ., αr,β1,β2,. . .,βs∈Kとし, a= (α₁, α₂, . . . , α_r), b= (β₁, β₂, . . . , β_s) とおく.

(i) a+b= (α₁,α₂,. . .,α_r, β₁,β₂,. . .,β_s).

(ii) ab= (α1β1,α1β2,. . .,α1βs, . . .,αrβ1, αrβ2,. . ., αrβs).

［証明］(i) a+b=oKα1+· · ·+oKαr+oKβ1+· · ·+oKβr. (ii) c= (α₁β₁,α₁β₂,. . .,α₁β_s,. . .,α_rβ₁,α_rβ₂, . . .,α_rβ_s)とおく.

P

iξ_iη_i,ξ_i∈a,η_i∈bをabの任意の元とする. 各ξ_i, η_iは

ξ_i=x⁽ⁱ⁾₁ α₁+x⁽ⁱ⁾₂ α₂+· · ·x⁽ⁱ⁾_r α_r, x⁽ⁱ⁾_j ∈o_K, ηi=y₁⁽ⁱ⁾β1+y⁽ⁱ⁾₂ β2+· · ·y_s⁽ⁱ⁾βs, y_k⁽ⁱ⁾∈oK

と表せるから,

X

i

ξ_iη_i=X

i



X

j,k

x⁽ⁱ⁾_j y_k⁽ⁱ⁾α_jβ_k



∈c.

ゆえに,ab⊆c. 逆に,

c=X

i,j

oKαiβj⊆ab.

したがって,ab=c.

Kの任意の分数イデアルa,bに対して,

a∩b⊆a⊆a+b, (a∩b)(a+b)⊆ab

が成り立つことはすぐにわかる. また,a,bがともにo_Kのイデアルであるとき, ab⊆a∩b

が成り立つ.

［注意 9.2］整数環のイデアルではない分数イデアルa,bに対してはab⊆a∩bが一般には成立 しない. 例えば, K=Q,oK =Zのとき,

1 2Z· 1

4Z= 1 8Z ) 1

4Z= 1 2Z∩1

4Z となる.

代数体Kの整数環oKのイデアルa,bが互いに素であるとは,a+b=oK が成り立つときにい う. a, bが互いに素であることを, 記号(a,b) = 1で表す. a, bが互いに素になるための必要十分 条件は,あるα∈a, β ∈bが存在して1 =α+βが成り立つことである.

［定理 9.4］Kを代数体,oKをKの整数環,a,bをoKのイデアルとし, (a,b) = 1であるとする.

このとき,ab=a∩bが成り立つ.

［証明］ab⊆a∩bは明らかなので,逆の包含関係を示す.

1∈oK =a+bより,

1 =α+β, α∈a, β∈b と表せる. よって,任意のγ∈a∩bに対して,

γ=γ(α+β) =αγ+γβ∈ab.

ゆえに,a∩b⊆ab.

［定理 9.5］Kを代数体,a,b,cをKの分数イデアルとする.

(i) a+b=b+a.

(ii) ab=ba.

(iii) (ab)c=a(bc).

(iv) (a+b)c=ab+ac.

［証明］(i) αi+βi,αi∈a,βi ∈bをa+bの任意の元とすると, αi+βi=βi+αi∈b+a.

ゆえに,a+b⊆b+a. 逆の包含関係も同様にして示せる.

(ii) P

iαiβi,αi∈a,βi∈bをabの任意の元とすると, X

i

α_iβ_i=X

i

β_iα_i∈ba.

ゆえに,ab⊆ba. 逆の包含関係も同様にして示せる.

(iii) P

iξ_iγ_i,ξ_i∈ab,γ_i∈cを(ab)cの任意の元とする. 各ξ_iは ξ_i=

ri

X

j=1

α⁽ⁱ⁾_j β_j⁽ⁱ⁾, α_j⁽ⁱ⁾∈a, β_j⁽ⁱ⁾∈b のように表せるから,

X

i

ξ_iγ_i=X

i



X^ri

j=1

α⁽ⁱ⁾_j β_j⁽ⁱ⁾



γ_i=X

i



X^ri

j=1

α⁽ⁱ⁾_j (β_j⁽ⁱ⁾γ_i)



∈a(bc).

ゆえに, (ab)c⊆a(bc). 逆の包含関係も同様にして示せる.

(iv) P

iξiγi,ξi∈a+b,γi∈cを(a+b)cの任意の元とする. 各ξiは ξ_i=α_i+β_i, α_i∈a, β_i∈b

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