また，
ψ）一
i〈着岩〉∫（・））m（〈着1÷簑岩〉ル））m一（卑劣）芸）m
であり，μ＝参の定め方から，J2（ ）≦1が言える．
ここでm≧2を仮定し，
・一心）・
i苧1；）ξ）2
とおく．すると，
・（側一・
¥架劣）書ジ
なので，D≦1が言えれば，J（dΦ。）≦1となる．D≦1を示そう．
・一心）・
i苧蓑；）書）2
一｛・払）プ＾（等宗；）芸）2
2
34＋6坤。十4生姜（・宇（・・十細））百
3
・子（・。十・。）2
・、子。・ 1、、。・ 姜（小・1・・）2）百 3 （ 1＋ 2）2
。・一（蛸・・榊・…1）3・1（…1・・）4 33（π1＋・2）12
・1（蛸十6舳十4・1）3（2・。十3π。）4 3324（π。十 。）12
となり，
3324（・。十・。）1㌧1（34・6舳・4・1）3（2π。十3・。）4 ＝216・lo毒十2376弗葦十11925ω蝪十35838み婁十71120π至毒
十96888和三十91152如姜十57888π芋・三十23328弗当。＋5184・。・圭1＋4卿当2
≧O
となるので，06≦1．よって，D≦1．
したがって，A2型のんを通る軌道の上の錐は，m≧2のとき，面積最小錐となる．
3．2B王型
αの正規直交基底e1，．．．，e！に対して，
F＝｛α1＝・1一ε2，．．．，αH：・〜一1一・！，αFθ1｝
五十＝｛θづ11≦乞≦Z｝∪｛e｛±eゴ11≦乞＜ゴ≦Z｝
となる．最高ルートは，
δ＝θ1＋e2＝α1＋2α2… 十2α工．
／α乞，H、ゴ〉＝δ勿でHαゴを定めると，Hαゴ＝Σま、1e壷となる．各ルートの重複度をそれぞれ
m1＝m（ε1），m・＝m（θ1±εゴ）
と置いておく．
3．2．1 λ1を通る軌道
∬α、
λ1・＝ ＝・1，△＝｛α1｝
ll∬α。ll
と置けば，λ1を通る軌道は，孤立軌道だから，極小軌道である．
碓＝｛λ∈五。l／λ，∬、1／＝o｝＝｛・｛12≦1≦1｝U｛・壱±・ゴ12≦1＜ゴ≦1｝
となり，
五。＼璋＝｛・・｝U｛ε・±引2≦1≦1｝
である．ここで，0土の関数∫を，
∫（ ）＝〉石＝〉耳
で定めれば．
●∫（舳1）：〉月下＝τ
・｛α1｝⊥＝｛Σ隻＝2ち∬、、1ち≧0｝上で〈α1， 〉＝Oなので∫＝0
であることが言えるので，∫はm一の上の写像Φに拡張される．このΦのJacobian J（dΦπ）を計算
しよう．
J・（ ）＝ll（9・・d∫）。l1
枇）一
k只月令（〈き岩〉ル））ψ）と置けば，
J（dΦπ）：Jユ（ ）J2（ ）
となる．
∂∫
（ ）＝ 1 2（ 1＋・
十 ！）
1＋・ 十η∂ 1
∂∫
（ ）＝ 1 2 1
1
∂物
（乞≧2）
であるから，
J1（ ）
＝ll（9・・d∫）㏄1ト1
ル）
1
11（幻十・
∫（ ）
ll（ 1＋・
1 11（ 1＋…十剛α1＋ 1（α2＋・
∫（ ）
十列（・！一θ2）十岬211 十剛・1一（ 2＋・ 十列・211
十 正）2
十α一）ll
（ 1＋・ 十 j）2＋（π2＋・
1（ 1＋2 2＋・ 十2剛
／・1， ／2＋／・2，ω／2
／・r・2， ／／・1＋θ2， ／
／・。一・2， ／2＋／・1＋θ2， ／2 2／・1一・2，ω／／・1＋・2， ／
ゐ（ ）＝
■（〈き岩〉ル））州
λ∈R・＼碓
（〈着岩〉ル）ヅ兵（〈汽劣〉1⑫））㈹（〈着岩〉ル）ゾ
（〈讐〉ヅ＃（向十劣．軌、ゾ
（向I劣『吻篶青1；ll11葦考ヅ
／・。，・／2−／・ユー・。，・／／・ユ十・。，・／−／・。，・）2一（／・ユ，・／2−／・。，・／2）一／ε。，・／2≧0
／ε。十θ乞，・／／εにθづ，・／−／・。一θ。，・／／θ。十・。，・／：／θ。，・／2−／・4，・／−／θ。，・／2＋／・・，・／2
＝／θ。，π／2／・乞，・／2：／・。1，・／／ε・一ε1，・／
≧0．
この事から，
（〈㌣〉l11＋e2， 〉）・・
（高言：葦；l11圭…㍊）≦・
が言える．いま，
・一
ﾋト1午卵〉2）
とおくと，
J（dΦπ） ＝ J1（ ）J2（ ）
一・・ i㌣ll・十的，ヅ兵（島1111；lll11者）吻
であるから，m1≧2かつ，D≦1であれば，J（dΦ、）≦1である．
・・一 i〈e元1警簑1オ〈ξユ蒜〉2）（〈eユーe2之表午・，㏄〉）2
（／ε。一・。，・／2＋／ε。十ε。，・／2）／・。一θ。，・／／・。十・。，・／
2／・1， ／4
8（／・rθ。，・／2／・。十・。，・／＋／・。一θ。，・／／θ。十・。，・／3）
／・1山・2＋・1＋・2，・／4
8（／・。一・。，・／2／・。十・。，・／＋／・。一・。，・／／θ。十・。，・／3）
（／・1一・2，π／＋／・1＋θ2，・／）4
いま，
（／θにε。，・／＋／θ。十・。，・／）4−8（／θ。一θ。，・／2／・。十・。，π／＋／・に・。，・／／・。十θ。，・／3）
＝／ε。一θ。，・／4＋4／・。一ε。，・／3／・。十・。， ・／＋6／・。一・。，・／2／・。十・。，∬／2 ＋4／・にθ。，・／／・。十・。，・／3＋／・ユ十・。，・／4
−8（／・。一・。，・／2／・1＋・。，・／＋／・。一・。，・／／・。十・。，・／3）
＝／θ。一θ。，・／4−4／・r・。，・／3／・。十・。，・／＋6／・r・。，・／2／・。十・。，・／2
−4／θr・。，・／／・。十・。，ω／3＋／θ1＋θ。，ω／4
＝（／εにθ。，・／−／・1＋・。，・／）4≧0
したがって，D≦1であるから，m1≧2ならばJ（dΦ、）≦1となる．よって，B〜型のλ1を通る 軌道の上の錐はm1≧2であれば面積最小錐となる．
3．2．2 ｛を通る軌道
Hα｛ 1
AF ＝一（θ。十 十ε1），△＝｛α1｝
岬α工11ψ
と置けば，んを通る軌道は，孤立軌道だから，極小軌道である．
砕＝｛入∈則／λ，∬、王／＝Oト｛・づ一・ゴ11≦1＜ゴ≦1｝
となり，
R。＼砕＝｛引1≦1≦1｝U｛・｛十εパ1≦1くゴ≦1｝
である．ここで，c上の関数∫を，
∫（ ）＝〉7高＝〉高
で定めれば．
○∫（納王）＝〉7π＝亡
・｛αJ｝⊥＝｛Σ11二士ちH、壱1ち≧0｝上で〈α王， 〉＝0なので∫＝0
であることが言えるので，∫はmの上の写像Φに拡張される．このΦのJacobian J（dΦ、）を計算
しよう．
Ji（ ）＝ll（9・・d∫）πll
伽）一 ｡、余（くき昔ル））州
と置けば，
J（dΦπ）＝J1（ ）J2（ ）
となる．
∂∫
研（∬）＝0（4≦レ2）
∂芝1（・）一￥÷
∂∫ ψ・正一。斗2仰
研（㏄）＝了 エ（ 王．1＋ 、）
であるから，
z
J1（ ） ： ll（9rad∫）πll＝ llηα｛＿1＋（ 〜＿1＋2吻）α川
2∫（㏄）
z
＝ ll㏄1（・1一。一・1）十（昨1＋2 ユ）・l11
2ル）
1（／α｛， ／2＋／・〜一工， ／2）
一 、 ！／ 、！． 、
V へαllπハ。l−11π／
一方で，
州一 i、令（〈き今1〉ル））州一茸（〈着1会1〉ル）ヅ勢，（〈着㌣1〉ル）ヅ
一茸（乎， 〉ヅ1、只、、（211㍗ポ〉ヅ
である．この時
／θ乞，・／2−／θj，・／／・｛一。，π／＝（叶…十・2）2一ψ五一。十・工）≧0
／θ1＋・ゴ，・／し4／・｛，・／／・〜一。，・／≧／・4＋・ゴ，・／2−4／・づ，・／／・ゴ，・／≧／・壱一εゴ，・／2≧O
となるので，
J2（J）≦1
となる．
ここで，レ2，m2≧2を仮定する．すると，
J（dΦ⑳） ＝ J1（ ）J2（ ）
房（2〈l1宗〉）物
であり，
・二
ｹ（2〈l1音）2
と置けば，
・（側一・・ i2〈l1音ゾ
であるから，D≦1ならば，J（dΦ ）≦1となる．いま，
D・一・／θ・，・／3／・・，・／・・／・・，・／／・・，工／3
／・1＋・2，π／4 であり，
／θ。十・。，・／4−8／ε。，・／3／・。，・／−8／・ユ，エ／／・。，・／3＝／θ。一θ。，・／4≧O
なので，D≦1となり，J（dΦπ）≦1であるとわかる．よって，B2型のλ2を通る軌道の上の錐は m2≧2のとき，面積最小錐になる．
また，c上の関数∫を，
1 ル）一
﨟i1・・…））百
で定めれば．
1
・1（1λ・）イ（舌）3）㌧1
・｛α2｝⊥＝｛左1∬α、1左1≧0｝上で〈α2， 〉＝0なので∫＝0 であることが言えるので，∫はmの上の写像Φに拡張される．
Jユ（ ）＝ll（9rad∫）π11
伽）一 g砕（〈き青〉ル））州
と置けば，
J（dΦ ）＝J1（π）J2（ ）
となる．
2
島（・）一咋（；州・）ジ字
2
島（・）一咋（1・1・1；））一百（舳・・1）
であるから，
2
小）一11（・…1）・ll一凶（l1（1州・）ジ誓一・・（・・・…1）一・
2
一咋（1…二・））1条・・（（榊・・誓））
2
一（外ユ・吻））一喜紬1・舳・・1）
一方で，