ρB＝
I一 3π・
（4．78）荷電対称性の破れをもつカイラルループモデルによる核物質
として、それぞれのFermi運動量PFp、PFnを
咋2＋ρみ＝」鴫2＋臨 とFermiエネルギーが等しくなるように決めた。
51
（4．79）
4．2 π凝縮状態
π中間子の質量の2乗が負になりπ中間子の質量が定義できなくなる（m：2＜0）領域 では、π中間子が多くあったほうがエネルギー的に有利になるということを意味し、核内 にπ中間子の平均場が存在することが予想される。核子分布としてFermi分布になること を期待すると、パリティなどは保存するべきである。そのためには平均場として〈π〉
ではなく＜π2＞が存在すると仮定する。
時間空間一様な平均場
〈σ〉 ＜π2＞ 〈α〉＝〈α0＞δio
〈ωμ 〉＝〈ω〉 δμ0 〈 ρμ 〉＝〈ρ0μ 〉 δio＝＜ρ0 ＞ δioδμO
を考える。Hamiltonian密度（4．2）の期待値（エネルギー）は
＜n＞＝（MN－9、五一91〈σ〉）〈万ψ〉＋ol（＜σ＞2＋＜π2＞－A、）2 －・・〈砺ψ〉〈・・〉＋IM；i＜・・＞2＋C3（…＞2－A・）2 十Dl＜αo＞〈σ〉
＋93＜diorO r3 th＞＜ρ0＞＋9．〈元万70ψ〉〈ω〉
－1・；…＞2－1一三・・＞2＋D・〈・・〉〈・〉 （・…）
となる。定数項は除いてある。パリティの保存しない項も除いてある。それぞれの平均場 にたいしてエネルギーが最小になることを要求すると
∂〈究〉
＝－91〈ψψ〉＋4C？〈σ〉（＜σ＞2＋＜π2＞－A、）
∂〈σ〉
十D1＜αo＞＝0 ∂＜π2＞
∂〈究〉
＝－92〈靹ψ〉十M萎1＜αo＞十4C多＜αo＞（＜ao＞2－A2）
∂＜αo＞
＋Dl〈σ〉＝0
；…：；一・・〈砺゜ψ〉－mZ・・〉＋D・〈・・〉一・
；…：：一・・〈砺゜乃ψ〉－ml…〉＋D・〈・〉一・
となる。（4．82）から
＜σ＞2＋＜π2＞＝Al
∂〈π〉－2・1（．。〉・＋．。・〉－Al）一・
（4．81）
（4．82）
（4．83）
（4．84）
（4．85）
（4・86）
52 手 塚 洋 一 が求まる。これを（4．81）に代入して
g1〈ψψ〉＝D1＜ao＞ （4．87）
となる。この式から任意の核子密度に対する＜αo＞が決まり、（4．83）から〈σ〉が決 まる。さらに（4．86）から＜π2＞が求まる。
ベクトル中間子の平均場に関してはσ凝縮状態の解と変化はない。
4．2．1 質量
核子ならびに中間子の質量を定義するため、中間子の場を平均場とその揺らぎを使って σ一→〈σ〉十σ
π一→元 η一→η
ωμ一→〈ω〉δμ0十diμ bμ一→bμ
とおくと、Lagrangian（4．1）は
π2→〈π2＞＋ii・2 a－→＜ao＞δi3＋∂
hμ一→hμ
ρμ一〉〈ρ・〉δ乞3δμ・＋bμ
乙＝吻μ∂μψ一ψ（MN－91∫。）ψ＋9・ψ〈σ〉ψ＋9、ψ（∂＋砺τ・ft）ψ ＋；（b。・）2＋；（・。・）・一・子｛（・・〉＋・）・＋…〉＋・・一・1｝・
＋・・IZ・・3…〉ψ…万（τ・α十Z午5η）ψ＋；（・。・）2＋；（卑η）2
－ 1・；1（…〉・・3＋・）・一㌍1、’）・
－02｛（〈・。〉δi3＋∂）2＋η2－A、｝2 －Dl（〈α0＞＋石0）（〈σ〉＋δ）一・01テ0η
一93万tyO73＜ρ0＞ψ一93ψ7μ（ア・∂μ一勺5ア・6μ）ψ 一9ω万70〈ω〉ψ一9ωψ午μωμψ一9九ψ757μ万μψ ㌔μヅτμレーie。・・6μ”
＋lm；（…〉・・3δ。・＋ρ，）・＋；・就
一転・・一；6。・a・・ ・ lm三（・・〉・。・＋・。）・＋lmznz
－D3（〈ρ・〉δμ・＋P・μ）（〈ω〉δμ・＋c）pa）－D4 b・μんμ ＝ψt・γμ∂μψ一ψ（MN－91∫π一91〈σ〉－9273＜α0＞）ψ ＋9・Vぽ・働＋；（・。・）2＋；（・。・・）・
－0～（∂4＋fi・4＋4〈σ〉δ3＋2∂2ii2＋4〈σ〉∂元2）
－1…～・・＞2・2
荷電対称性の破れをもつカイラルループモデルによる核物質 ＋・・di（…抽・’〉）ψ＋；（・。・）2＋；（・。ii）2
－0日（64十fi4十4〈ao＞do62十2a2fi2十4〈αo＞∂ofi2）
一；…》…＞2・1－1｛mli＋40日（＜〉・－A2）｝・2 －；｛ml・＋・¢（…＞2－A・）｝li2
－D1⑳δ一Diftoli 一 Di〈σ〉石o－D1＜αo＞∂
一｛m3i十40』（＜ao＞2－A2）｝＜αo＞∂o
－lm；i＜・・＞2一鍔（…＞2－A・）2－Dl〈・・〉〈・〉
－931Z，Te＞・Oτ3〈ρ0＞ψ一9ω訪aiO〈ω〉ψ
一93ψγμ（r・bμ一〇r5ア・bμ）ψ一9ω zb ’rμ（乃μψ一9んψ午57μんμψ
一圭fr。・・τμu－ia。・ ・ ・Ptu＋s－；b；＋擁 一1㌦戸・・－IG。・θμ＋1砲；＋；楡；
＋（．Z〈ρ・〉－D3〈ω〉）P8＋（mZ〈ω〉－D3〈ρo＞）・）°
－D3 POpadiμ 一 D4 bOpahPt
－D・〈・・〉〈・〉＋；・；…＞2＋lm9・・＞2 となる。故に、核子の質量としては
M＊＝MN－91f。－91〈σ〉－92 T3＜α0＞
中間子の質量としては
σ・m；2＝80～＜σ＞2 π：鳩2＝O
a：m；2＝m；1＋40日（＜ao＞2－A2） ：荷電a中間子 αo：m認＝ m茎1＋40数3＜αo＞2－A2） ：中性αo中間子 η・m；2－ml，＋40日（＜・・＞2－A・）
ρ：m；2＝弓 ω・m；2一硝 b・m；2－ml h・m；2－mZ が決まる。
53
（4．88）
（4．89）
（4．90）
（4．91）
（4．92）
（4．93）
（4．94）
（4．95）
（4．96）
（4．97）
（4．98）
π凝縮状態を仮定してg1＝MN／fπとしスカラー中間子の平均場を実際に計算すると、
図4．4に示すように、核子密度0（真空）で＜π2＞／．41＝1、〈σ〉＝0となり、〈σ〉
の解としてσ凝縮状態の〈σ〉ニーfπとは別の解につながっていることがわかる。平均 場はAlで規格化してある。＜αo＞も密度0で0となっている。密度を変化させると、密
54
Mean
Field 5
0
一5
一10
一15
0
手 塚 洋
50
〈ao＞万広
1＿一・一・一 ＿．＿＿・一一一’口
’”一一一一一・一一一．．：
100
＜π2＞／A1
“’E，〈σ〉方厄
150 200 250
PF（MeV／c）
300 350
図4．4：π凝縮状態での中間子の平均場
度とともに〈σ〉が小さくなる。また〈π2＞も小さくなり、PF＞136 MeVで0をき
り、負となる。
スカラー中間子の質量は密度とともに大きくなる。特にσ中間子の有効質量は密度0で 550MeVではなく0から始まり、密度とともに急激に大きくなる。もちろんπ中間子の質 量は0である。（図4．5参照）
核子の有効質量もgユ＝MN〃πととると、密度0で940 MeVではなく0から始まり、
密度とともに急激に大きくなる。これらの傾向はσ凝縮状態で有効質量が核子密度ととも に小さくなるのとは逆である。また、核子の有効質量が前章のカイラル対称性だけが破れ ている場合とは異なり、核子密度とともに大きくなるのは91＝MN／fπと大きな結合定 数を使っているためである。
4．2．2 エネルギー
π凝縮状態でのエネルギーを求める。中間子場に対し平均場近似を施したHamiltonianは κ＝ψ坪▽ψ＋ψ（MN－9if。）ψ一91ψ〈σ〉ψ
一・・」・3・a・・ψ・lml・＜a・＞2
1500
1000
Mass
（MeV）
500
0
荷電対称性の破れをもつカイラルループモデルによる核物質
o 50 100 150 200 250 PF（M・V／・）
300 350
55
図4．5：π凝縮状態での核子おとびスカラー中間子の有効質量
＋C～（〈・＞2＋〈π2＞－Al）2＋0日（＜・。＞2－A・）2 ＋D1＜αo＞〈σ〉
＋93V7°・3〈ρ。〉ψ＋9。Mty°〈ω〉ψ
一lmZ…＞2－1－3・・＞2＋D・〈・・〉〈・〉
一；m；1（Mπ fπMa）2－・～（f3－A1）2一鍔｛（篇∫・）2－A・｝2＋∫3m｝（・・99）
である。定数項の引き算はσ凝縮の場合と共通にしてある。＜σ＞2＋＜π2＞＝A1であ ることを考慮し、Fermiガス分布を仮定して期待値をとると
E＝〈F｝ηIF＞
＝γ［〈FKψけ▽ψ＋MNψψ一9ith〈σ〉ψ
一92万・3〈・。〉＋93dior°・3〈ρ。〉＋9品゜〈ω〉ψ）IF＞
・1－11〈・・＞2＋・日（…＞2－A・）2＋Dl〈・・〉〈・〉
－lmZ…＞2－lmZ・・＞2＋D・〈・・〉〈・〉
56 手 塚 洋 一
一1－1・（Mπ fπMa）2－・1（f3－Al）2－¢｛（篇五）2－A・｝2嘱］
－V［Σf，”F（恥・T3…〉＋・・〈・〉）（斜、
1ぶ
＋挿〈・・＞2＋・日（…＞2－A・）2＋D・〈・・〉〈・〉
一；・Z…＞2－lm乙・・〉・＋D・〈・・〉〈・〉
－IMIi（Mπ fπMa）2－cl（f；－A・）2－¢｛（完∫・）2－A・｝2＋編］
一レ［・（》5・（∬Fρ・2～縮吻＋f。PF’・2～癖吻）
十93（ρBp一ρBn）＜ρ0＞十9ω（ρBp十ρBn）〈ω〉
＋；・11＜・・＞2＋・3（…〉・－A・）・＋Dl〈・・〉〈・〉
－IM；i（M7「 fπMa）2－・～（f2－Al）2一鍔｛（篇方）2－A・｝2嚇
一1－Z…＞2－lmZ・・〉・＋D・〈・・〉〈・〉］
＝v（ら十εn十εs十εの
島一±∬方・2・・＋輌
一劃舞｛・（鍔）・＋1｝1＋震一1・9腸＋1＋副
ただしi＝P，n
・S－P－1，〈・・＞2＋鍔（…＞2－A・）・＋D1〈・・〉〈・〉
－1－11（rnπ fπMa）2－・～（f』－Al）2－・3｛（驚万）2－A・｝2嚇
εV＝93（ρBp一ρBn）〈ρ0＞十9ω（ρBp十ρBn）〈ω〉
－1－Z…＞2一㍗乙・・〉・＋D・〈・・〉〈・〉
一；（9ω一ρBηnω）2
となる。核子数Aで割って核子あたりの結合エネルギーに直すと El
B＝互一MN＝▽万一A’fiV
一ら；εn÷；（9ωMω）2ρB－M・
となる。
（4．100）
（4．101）
（4．102）
（4．103）
（4．104）
ベクトル中間子の効果を無視して、パラメータ91を動かしてもPF～170 MeV／cくら いで最小となり、pF＝278．55 MeV／cでB＝－15．75・MeVを再現することはむずかしい。
荷電対称性の破れをもつカイラルループモデルによる核物質 57 もう一つのパラメータになりうるM21に関しては△m、＝m。o．－M、≠0の場合に変化 を受けるのはA2であるが、（4．83）から（4．61）を使って
〈σ〉＝｛92ρs－－M萎、〈・。〉－40日〈・。〉（＜・。＞2－A、）｝／D、
一｛・・ρs－一〈・・〉（・cg…＞2－；ml・＋9・1）｝／D1 となり、また8s内のm21、 A2にかかわる項も
1・1・＜・・＞2＋C3（…＞2－A・）2－IM；i（驚み）2－Cg｛（驚万）2－A2｝2
－｛＜・。＞2－（mπみ Ma）2｝［－i－Z・＋2－Z＋cg｛・句＞2＋（篇方）2｝］
となり、すべてM21の値に依存しない。△m。＝M。o－m、ニ0ととってM21をパラメー タとして計算したが、やはりpF＝278．55 MeV／cでB＝－15．75 MeVを再現することは できない。結果的に、どのようにパラメータを調節しても正規密度での結合エネルギーを 再現することはできなかった。
5 まとめ
Gell－Mann ＆ L6vyの線形σモデルを核物質に適用した。線形σモデルではカイラル対称 性を破るσの線形項の定数も含め、導入された定数はすべて実験的に測定できる粒子の質量
とπ中間子の崩壊定数で書き変えることができる。核物質内では、核子ならびに中間子の有 効質量はσ中間子の平均場の関数として定義され、核子密度に依存することになる。このσ 凝縮状態では、核子密度が大きくなるに従い、粒子の有効質量が小さくなる傾向が現れる。
特に、π中間子の質量が最も早く小さくなり、Fermi運動量pF～139MeV／c程度でm：2 が負になり、質量として定義できなくなる。これより核子密度の大きな領域ではπ凝縮状態 を仮定して有効質量、エネルギーなどが再計算され、Fermi運動量PF～139MeV／c程度 の核子密度でσ凝縮状態からπ凝縮状態への相転移が期待されることがわかった。ただし、
このモデルには斥力が存在しないため、核物質の飽和性（核物質の正規密度ρBニ0．19／fm3 で核子あたりの結合エネルギーが最小になり、、B＝－15．75 MeVとなる）を満たすことは できない。
結合エネルギーの計算値を実験値に合わせるため、線形σモデルにさらに核子の質量項 とベクトル中間子を加えたモデルで同様な議論を行った。スカラー中間子と核子との結合 定数91、およびω中間子と核子との結合定数gωをパラメータとして、π凝縮状態で核物 質の飽和性を満たすように調節した。ただし、エネルギー的に最適な結合定数を使うと、
σ中間子の有効質量が核子密度とともに大きくなる傾向が現れた。これはπ凝縮状態の核 子密度が大きな領域で、σの平均場が0とならず、正の大きな値をとりうることの反映で ある。さらに、そこでの非圧縮率は1〈＝6119．13MeVとなり、実験値に比べ大きすぎる。
これを改善するにはJ．Boguta＆A．R．Bodmerの指摘のように非線形の相互作用を導入す るか、J．Zimanyi ＆ S．A．Moszkowskiのように微分型の結合を導入する必要があるのであ
ろう。
次にカイラル対称性だけではなく、アイソスピン対称性（荷電対称性）を破るような粒 子の混合する項を加えたカイラルループモデルを使って、核物質の性質を検討した。σ凝
58 手 塚 洋 一
縮状態での粒子の核子密度依存性は線形σモデルのときと同様の結果が得られたが、π凝 縮状態では核子密度とともに核子およびスカラー申間子の有効質量が大きくなる傾向があ る。また、どのようにパラメータを調節しても核物質の正規密度ρB＝0．19／fm3で核子 あたりの結合エネルギーを一15．75MeVとなるようにはできなかった。
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