領域の利用

【練習95：点が領域に含まれるか調べる】

A(1, 2)，B(−2, 3)，C(−3,−1)とする．

(1) 点A，B，Cのうち，領域y>2x+3に含まれる点をすべて答えよ．

(2) 点A，B，Cのうち，不等式x²+y²<6に含まれる点をすべて答えよ．

【練習97：領域の利用】

(1) ^領域(y+2x)(y−2x²)≦0を座標平面上に図示せよ．

(2) x²+(y−3)²≧16^ならばx²+(y−1)²≧4であることを，領域を用いて示せ．

【^{発 展} 98：領域の利用】

a, b, x, yを実数とするとき，以下の問いに答えよ．

1 領域x²−y²+2y−1>0を座標平面上に図示しなさい．

2 (x−1)²+y²≦5ならばx²+(y+2)²≦20であることを示せ．

3 領域y≦−x²+ax+bが点(1, 0)^を含むa, bの範囲をab平面に図示せよ．

【^{発 展} 99：絶対値を含む不等式の領域】

1 領域 x + y ≦1^{を図示しなさい．}

2 0<kについて，2^つの領域D1: x + y ≦k, D2:x²+y²≦4^{を考える．}D1⊂D2となるkの条 件，D1⊃D2となるkの条件をそれぞれ答えよ．

B. ^{最大・最小と領域}

x²+y²≦4^を満たす(x, y)^のうち，2x+yがとる最大値・最小値を考えてみよう．この問題は，2x+y=k とおいて，次のようにして領域の問題と置き換えられる．

x²+y²≦4^を満たす(x, y)^のうち，2x+y=kがとる最大値・最小値を求める

↔x²+y²≦4^と2x+y=kを同時に満たす(x, y)^{が存在するような，}kの最大値・最小値を求める

↔座標平面において，領域x²+y² ≦4と直線2x+y=kが共有点を持つような，kの最大値・最小値 を求める

こうして，式2x+yの最大・最小の問題は，座標平面上の問題に置き換えられる．

136

【暗 記 100：最大・最小と領域〜その１〜】

x²+y²≦4^を満たす(x,y)^のうち，2x+yがとる最大値・最小値を求め，それぞれにおけるx, yの値も 求めよ．

【暗 記 101：最大・最小と領域〜その２〜】

0≦x, 0≦y, 2x+y≦8, x+3y≦9^{を満たす領域を}Dとする．

1. ^領域Dを図示しなさい．

2. Dを満たす(x, y)^{について，}x+yの最大値・最小値を求め，それぞれにおけるx, yの値も求めよ．

—13th-note— 2.7 領域· · ·

137

【練習102：最大・最小と領域〜その３〜】

x, yを実数とするとき，以下の最大値・最小値を求め，それぞれにおけるx, yの値も求めなさい．

(1) x²+y²≦5のとき，x−2yの取り得る最大値・最小値

(2) 0≦x, 0≦y≦−x+3, y≧2x−3を満たす(x, y)のうち，x+2yがとる値の最大値・最小値と，

3x−yがとる値の最大値・最小値

【^{発 展} 103：最大・最小と領域〜その４〜】

1 0≦y≦−x²+4^{のとき，値}x+2yのとりうる範囲を求めよ．

2 y≧3x+3^またはy≧−2x+2^のとき，x²+y²がとりうる値の最小値と，そのときのx, yの値を求 めよ．

138

2.8 第３章の補足

A. 三角形の面積の証明（p.107）

【発 展 104：三角形の面積】

原点をO^とし，A(a1, a2)^，B(b1, b2)^{とする．ただし，}a1 =\ b1とする．

1 原点から直線AB^{へ引いた垂線の長さ}hを求めよ．

2 線分AB^{の長さを求め，}△OAB^{の面積を求めよ．}

この公式は，数学Bで学ぶ「ベクトル」を用いても証明できる．

—13th-note— 2.8 第３章の補足· · ·

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B. 『円周上の点から引いた接線の方程式』(p.140)の証明

円周上の点から引いた接線の方程式 円C: (x−a)²+(y−b)²=r²の周上の点(p, q)から引いた接線

(p, q)

(a, b) l

C r

lの方程式は

(p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r²

となる．特に，円Cの中心が原点にある場合は次のようになる．

px+qy=r² ←ａ＝ｂ＝０を接線ｌの式に代入した

（証明）(x−a)²+(y−b)²=r²の中心をO(a, b)^{とすると，接線}lは線分OPと直交する直線し，線分OP の傾きは q−b

p−a ^{であるので，}

q−b

p−a ×^（直線lの傾き）=−1 ⇔^（直線lの傾き）=−p−a q−b となる．よって，lは(p, q)を通り傾き−p−a

q−b ^{の直線と分かるので} y−q=−p−a

q−b(x−p) ⇔ (q−b)(y−q)=−(p−a)(x−p)

⇔ (q−b)(y−b+b−q)=−(p−a)(x−a+a−p)

⇔ (q−b)(y−b)+(q−b)(b−q)=−(p−a)(x−a)−(p−a)(a−p)

⇔ (p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=(p−a)²+(q−b)²

となる．ここで，Pは円Cの周上にあるので，(p−a)²+(q−b)² =r²を満たす．つまり，lの方程式は (p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r²となる．

この方程式は，数学Bで学ぶベクトルを用いて導くこともできる．

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