• 検索結果がありません。

7. 2 つのグラフの交点を通るグラフ

2. 領域の利用

【練習95:点が領域に含まれるか調べる】

A(1, 2),B(−2, 3),C(−3,−1)とする.

(1) 点A,B,Cのうち,領域y>2x+3に含まれる点をすべて答えよ.

(2) 点A,B,Cのうち,不等式x2+y2<6に含まれる点をすべて答えよ.

【練習97:領域の利用】

(1) 領域(y+2x)(y−2x2)≦0を座標平面上に図示せよ.

(2) x2+(y−3)2≧16ならばx2+(y−1)2≧4であることを,領域を用いて示せ.

発 展 98:領域の利用】

a, b, x, yを実数とするとき,以下の問いに答えよ.

1 領域x2−y2+2y−1>0を座標平面上に図示しなさい.

2 (x−1)2+y2≦5ならばx2+(y+2)2≦20であることを示せ.

3 領域y≦−x2+ax+bが点(1, 0)を含むa, bの範囲をab平面に図示せよ.

発 展 99:絶対値を含む不等式の領域】

1 領域 x + y ≦1を図示しなさい.

2 0<kについて,2つの領域D1: x + y ≦k, D2:x2+y2≦4を考える.D1⊂D2となるkの条 件,D1⊃D2となるkの条件をそれぞれ答えよ.

B. 最大・最小と領域

x2+y2≦4を満たす(x, y)のうち,2x+yがとる最大値・最小値を考えてみよう.この問題は,2x+y=k とおいて,次のようにして領域の問題と置き換えられる.

x2+y2≦4を満たす(x, y)のうち,2x+y=kがとる最大値・最小値を求める

↔x2+y2≦42x+y=kを同時に満たす(x, y)が存在するような,kの最大値・最小値を求める

↔座標平面において,領域x2+y2 ≦4と直線2x+y=kが共有点を持つような,kの最大値・最小値 を求める

こうして,式2x+yの最大・最小の問題は,座標平面上の問題に置き換えられる.

136

【暗 記 100:最大・最小と領域〜その1〜】

x2+y2≦4を満たす(x,y)のうち,2x+yがとる最大値・最小値を求め,それぞれにおけるx, yの値も 求めよ.

【暗 記 101:最大・最小と領域〜その2〜】

0≦x, 0≦y, 2x+y≦8, x+3y≦9を満たす領域をDとする.

1. 領域Dを図示しなさい.

2. Dを満たす(x, y)について,x+yの最大値・最小値を求め,それぞれにおけるx, yの値も求めよ.

—13th-note— 2.7 領域· · ·

137

【練習102:最大・最小と領域〜その3〜】

x, yを実数とするとき,以下の最大値・最小値を求め,それぞれにおけるx, yの値も求めなさい.

(1) x2+y2≦5のとき,x−2yの取り得る最大値・最小値

(2) 0≦x, 0≦y≦−x+3, y≧2x−3を満たす(x, y)のうち,x+2yがとる値の最大値・最小値と,

3x−yがとる値の最大値・最小値

発 展 103:最大・最小と領域〜その4〜】

1 0≦y≦−x2+4のとき,値x+2yのとりうる範囲を求めよ.

2 y≧3x+3またはy≧−2x+2のとき,x2+y2がとりうる値の最小値と,そのときのx, yの値を求 めよ.

138

2.8 第3章の補足

A. 三角形の面積の証明(p.107

発 展 104:三角形の面積】

原点をOとし,A(a1, a2)B(b1, b2)とする.ただし,a1 =\ b1とする.

1 原点から直線ABへ引いた垂線の長さhを求めよ.

2 線分ABの長さを求め,△OABの面積を求めよ.

この公式は,数学Bで学ぶ「ベクトル」を用いても証明できる.

—13th-note— 2.8 第3章の補足· · ·

139

B. 『円周上の点から引いた接線の方程式』(p.140)の証明

円周上の点から引いた接線の方程式 円C: (x−a)2+(y−b)2=r2の周上の点(p, q)から引いた接線

(p, q)

(a, b) l

C r

lの方程式は

(p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r2

となる.特に,円Cの中心が原点にある場合は次のようになる.

px+qy=r2 ←a=b=0を接線lの式に代入した

(証明)(x−a)2+(y−b)2=r2の中心をO(a, b)とすると,接線lは線分OPと直交する直線し,線分OP の傾きは q−b

p−a であるので,

q−b

p−a ×(直線lの傾き)=−1 ⇔(直線lの傾き)=−p−a q−b となる.よって,lは(p, q)を通り傾き−p−a

q−b の直線と分かるので y−q=−p−a

q−b(x−p) ⇔ (q−b)(y−q)=−(p−a)(x−p)

⇔ (q−b)(y−b+b−q)=−(p−a)(x−a+a−p)

⇔ (q−b)(y−b)+(q−b)(b−q)=−(p−a)(x−a)−(p−a)(a−p)

⇔ (p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=(p−a)2+(q−b)2

となる.ここで,Pは円Cの周上にあるので,(p−a)2+(q−b)2 =r2を満たす.つまり,lの方程式は (p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r2となる.

この方程式は,数学Bで学ぶベクトルを用いて導くこともできる.

  

140

ドキュメント内 高校の教科書 数学・算数の教材公開ページ (ページ 55-61)

関連したドキュメント