【練習54:円を図形的に考える〜その2〜】
「円C: (x−a)2+(y−3)2=13がA(5,5)を通る」場合について考えてみよう.
A
5
5 A
3
(I)中心は破線上のどこかにある x y
O
⇒
P
5
5 A
3
(II)Aを通る円はこのどちらか x y
O
⇒
P H
5
5 A
3
(III)三平方の定理を用いて
x y
O
まず,円Cの中心は(a, 3)なので,図(I)の破線上のどこかにCの中心はある.
Aのy座標が5なのでAH= ア であり,Cの半径を考えてAP= イ なので,(III)の直角三角形 APHを考えて,PH= ウ と分かる.
ここから,Cの中心の座標は エ , オ のいずれかと分かる.
【練習56:円と直線の共有点の個数】
次の円と直線の,共有点の座標を求めなさい.なければ「共有点なし」と答えること.
(1) 円x2+y2=10と直線y=2x−5 (2) 円(x+2)2+(y−2)2=5と直線y=3x+3 (3) 円x2+y2=9と直線x−2y+7=0
B. 円と直線の共有点の個数
円と直線の関係は,「円の中心と,直線の距離」でも決まる.
【暗 記 57:円と直線の共有点の個数】
円C:x2+y2=5と直線l:x+y=kが共有点を持つような実数kの範囲を,次の2通りで求めよ.
1. 2次方程式の判別式を用いる. 2. 『点と直線の距離』(p.95)を用いる.
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「円と直線の共有点」について 円C : (x−p)2+(y−q)2=r2と直線L :ax+by+c=0を考えるとき
• 円Cと直線Lの共有点の個数
• 方程式(x−p)2+(y−q)2=r2とax+by+c=0を連立して得られる2次方程式の判別式D
• 円の中心(p, q)と直線ax+by+c=0の距離h= ap+bq+c
√a2+b2 について,次のようにまとめることができる.
円Cと直線Lの位置関係
r h
h=r
h r
CとLの共有点の個数 2個 1個 0個 2次方程式の判別式D D>0 D=0 D<0
(p, q)と直線Lの距離h h<r h= r h>r
【練習58:円と直線の共有点の個数】
(1) 円x2+y2 =kと直線3x−4y+10=0の共有点の個数を,以下のkについてそれぞれ答えなさい.
1) k=1 2) k=4 3) k=9
(2) 円(x−2)2+(y−1)2=r2と直線2x+3y−4=0が共有点を持つような,実数rの範囲を求めよ.
C. 円が切り取る線分の長さ
【暗 記 59:円が切り取る線分の長さ〜その1〜】
円C:x2+y2=6と直線l:x+2y=kが2点A,Bで交わり,AB=2であるとき,kの値を求めたい.
x+2y=k
A
B H
x y
O 以下の に入る式・言葉・値を答えよ.
右図のように,円の中心をOとし,Oから直線x+2y=kへ下ろし た垂線の足をHとおく.このとき,OA= ア , AH= イ であ るので,三平方の定理より,OH= ウ .
ところで,点Oと直線lの距離を『点と直線の距離』(p.95)で計算 すると エ であるが,これはOHの長さに一致する.
よって,方程式 ウ = エ (=OH)を解けば,k= オ と求められる.
—13th-note— 3.5 平面上の円と方程式· · ·
107
【練習60:円が切り取る線分の長さ〜その2〜】
円x2+y2=10と直線y−1=m(x−2)がA,Bで交わりAB=6であるとき,mの値を求めよ.
【発 展 61:円が切り取る線分の長さ〜その3〜】
円C: (x−2)2+(y−2)2=10と直線l:x+ky−2=0の交点をA,Bとし,ABの中点をM,円Cの中 心をOとする.以下の問いに答えよ.
1 どんなkの値に対しても,直線lはある定点Pを通る.その定点Pを求めよ.
2 AM=a, OM=bとおくとき,△OABの大きさをa, bで表せ.
3 △OAB=3のとき,AM,OMの長さを求め,kの値を求めよ.
D. 円の接線〜その1〜(円周上の接点が与えられ,接線は1本)
簡単のため,円Cの中心が原点O(0, 0)である場合を考えると右図のよう
P x y
O
=⇒
P x y
O になり,円周上の点PでCに接する直線は1本しか存在しないと分かる.
円周上の点から引いた接線の方程式 円C: (x−a)2+(y−b)2=r2の周上の点(p, q)から引いた接線
(p, q)
(a, b) l
C r
lの方程式は
(p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r2
となる.特に,円Cの中心が原点にある場合は次のようになる.
px+qy=r2 ←a=b=0を接線lの式に代入した
(証明)p.130を参照のこと.
円の方程式において,2乗のうち片方のみに,(x, y)=(p, q)を代入すると覚えるとよい.また,
次で学ぶ「円周外の点から引いた接線の方程式」と混同しないようにしよう.接線が1本に決ま るかどうかで判断するとよい.
【例題62】
1. 円x2+y2=13の周上の点(2, 3)で接する,接線の方程式を求めよ.
2. 円x2+y2=13の周上の点(2,−3)で接する,接線の方程式を求めよ.
3. 円(x−1)2+(y+2)2=2の周上の点(2,−1)で接する,接線の方程式を求めよ.
4. 円x2+y2−2x+4y+3=0の周上の点(0,−1)で接する,接線の方程式を求めよ.
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E. 円の接線〜その2〜(円周外の点から引き,接線は2本)
円Cの外 に 点Pを と り ,Pから 引 い た 円Cの接 線 を 考 P
x y
O
= ⇒
P x y
O えよう.右図のようにして,そのような直線は2本存在す
ることが分かる.
【暗 記 63:円周外の点から引いた接線の方程式】
円C :x2+y2=2と点P(3, 1)について,Pから引いたCの接線lの方程式を求めよ.
—13th-note— 3.5 平面上の円と方程式· · ·
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【練習64:円の接線】
(1) 円C :x2+y2=4の周上にある(1,√
3)で接するCの接線を求めよ.
(2) 円C :x2+y2=4の接線のうち,(−2, 5)を通るものをすべて求めよ.