非最小位相システムに対する NCbT

第 4 章 非最小位相システムに対する制 御器設計法

本章では，2.3.4項で述べたNCbTの評価関数に対して，参照モデルの零点をフリー パラメータとすることで，参照モデルに制御対象の不安定零点が反映され，NCbTが 非最小位相システムに適用可能なモデルフリー制御器設計法へ拡張されることを示す。

さらに，提案手法を非最小位相システムのシュミレーションモデルに適用し，文献[11]

の手法と比較することで有効性を検証する。

第 4章 非最小位相システムに対する制御器設計法 n_ηはηのパラメータ数を表す。

2.3.4項で述べたε(ρ, t)は，M¯(η)を用いて次のように表せる。

ε0(t,η,ρ) = ¯M(η)r(t)−C(ρ)(1−M¯(η))y(t) (4.3)

ここで，∥W ε(ρ, t)∥²₂の最小化問題は，JMR(ρ)の最小化問題すなわち，モデル参照制

御問題の凸近似問題であることに注意されたい。制御対象が非最小位相システムの場

合，∥W ε(ρ, t)∥²₂の最小化では，参照モデルの零点が固定されているため，不安定な極

零相殺が生じるように制御器パラメータρを調整しようとする。一方，∥W ε0(t,η,ρ)∥²₂ の最小化では，M¯(η)の零点に自由度を持つため，M¯(η)が制御対象の不安定零点を持 つように調整されることで，不安定な極零相殺を回避できる。よって，∥W ε₀(t,η,ρ)∥²₂ を最小化することで，制御対象の入出力データから直接，制御対象の不安定零点を持 つような参照モデルの調整が可能となる。

しかしながら，観測雑音が重畳した入出力データを用いる場合，ε0(t,η,ρ)は観測雑 音v(t)の影響を受ける。よって，∥W ε₀(t,η,ρ)∥²₂の最小解にはv(t)によるバイアスが 生じる。そこで，NCbTと同様に，ε0(t,η,ρ)とr(t)の相互相関関数を考え，その二乗 和を評価関数とすることで，v(t)の影響を低減する。このとき，評価関数J_C0(η,ρ)は 以下のように表せる。

J_C0(η,ρ) = ˆf^T₀(η,ρ) ˆf₀(η,ρ) (4.4) ただし，fˆ₀(η,ρ)は(4.5)式のように表されるε₀(t,η,ρ)とr(t)の相互相関関数f₀(η,ρ) の推定値である。

fˆ₀(η,ρ) = 1 N

∑N t=1

ζ_wr(t)ε₀(t,η,ρ) (4.5)

4.1.2 評価関数の準最適化

M¯(η)とC(ρ)は，それぞれη，ρに対して線形であるため，ε0(t,η,ρ)はη，ρに対 して双線形である。よって，ρをρˆ⁽ⁱ⁻¹⁾に固定することで，ε0(t,η,ρ)はηに対して線 形に表現できる。

ε₀(t,η,ρˆ⁽ⁱ⁻¹⁾) = ¯M(η)r(t)−C(ˆρ⁽ⁱ⁻¹⁾)(1−M¯(η))y(t)

=F^Tw(t,ρˆ⁽ⁱ⁻¹⁾)η−C(ˆρ⁽ⁱ⁻¹⁾)y(t) (4.6)

第 4章 非最小位相システムに対する制御器設計法

ここで，w(t,ρˆ⁽ⁱ⁻¹⁾) = r(t) +C(ˆρ⁽ⁱ⁻¹⁾)y(t)であり，w(t)は入出力データr(t)，y(t)の みを用いて生成されることに注意されたい。したがって，JC0(η,ρˆ⁽ⁱ⁻¹⁾)の最小解は最 小二乗法によって，(4.7)式のように求められる。

ˆ

η⁽ⁱ⁾ = arg min

η J_C0(η,ρˆ⁽ⁱ⁻¹⁾)) = (V^TV)⁻¹V^TU (4.7) ただし，V，U は以下のように定義される。

V = 1 N

∑N t=1

ζ_wr(t)F^Tw(t,ρˆ⁽ⁱ⁻¹⁾) , U = 1 N

∑N t=1

ζ_wr(t)C(ˆρ⁽ⁱ⁻¹⁾)y(t)

同様に，ηをηˆ⁽ⁱ⁾に固定することで，JC0(ˆη⁽ⁱ⁾,ρ)の最小解も最小二乗法によって求め られる。

以上より，以下の最小化を繰り返し行うことでJC0(η,ρ)の準最適解が得られる。

ˆ

η⁽ⁱ⁾ = arg min

η J_C0(η,ρˆ⁽ⁱ⁻¹⁾) (4.8) ˆ

ρ⁽ⁱ⁾ = arg min

ρ J_C0(ˆη⁽ⁱ⁾,ρ) (4.9)

この反復法では，制御器パラメータの初期値ρˆ⁽⁰⁾を必要とする。しかし，閉ループ実験 によりデータ取得を行う場合は，そのとき用いた制御器のパラメータをρˆ⁽⁰⁾とすればよ い。また，開ループ実験によりデータを取得する際でも，安定制約を付加したNCbT[6]

を適用し，導出された閉ループシステムを安定化する制御器パラメータをρˆ⁽⁰⁾とすれ ばよい。提案手法は，準最適解を得るときに反復作業が必要なものの，データ取得に 必要な実験はただ1回でよい。さらに，評価関数は相関法に基づいているため，観測 雑音による影響の低減も期待できる。よって，NCbTの特長をほぼ維持している。

4.1.3 非最小位相システムに対する設計アルゴリズム

非最小位相システムである可能性が高い制御対象に対して，NCbTを適用するため の手順を以下に示す。

Step 1. 開ループ実験または，閉ループ実験により制御対象の1組の入出力データを 取得する。このとき，開ループ実験であれば，安定制約を付加したNCbT[6]を適 用し，導出された制御器パラメータをρˆ⁽⁰⁾とする。閉ループ実験であれば，その とき用いた制御器のパラメータをρˆ⁽⁰⁾とする。

第 4章 非最小位相システムに対する制御器設計法

Step 2. ηとρに関する最適化問題(4.8)-(4.9)式を繰り返し計算し，M¯ (η)に制御対象 の不安定零点を反映させる。制御対象が不安定零点を含む場合，M¯ (η)の零点は その不安定零点に収束する。制御対象に不安定零点を含まない場合には，M¯ (η) の零点は安定零点に収束する。

Step 3. M¯(η)に不安定零点が反映された場合，望みの参照モデルMがその不安定零 点を持つように修正する。M¯(η)の零点が安定零点だけの場合には，Mは修正し ない。

Step 4. 修正されたMに対して安定制約を付加したNCbT[6]を適用し，ˆρを求める。