陰解法の定式化

3章で述べた，空間に関して離散化された運動方程式を再掲する．

MU°+K U =P (5.1)

式(5.1)は，剛体変位とひずみに関する変位ベクトル U に関する２階の常微分方程式とみなす ことができ，初期条件を与えることで初期値問題を構成する．このような初期値問題を解くた めに利用されている解析法として，直積積分法やモード解析法，周波数応答解析，応答スペク トル法などがあるが，非線形問題などには直接積分法が適している．

直接積分法は，時間に関する離散化に差分法を適用し，時間ステップごとに求めた解を逐次 更新して計算を進める手法である．Newmark のβ法は直接積分法のひとつである．いま，現

在の時刻tの時間ステップをn

とし，その時刻から_Åt時間後の時刻に対応する時間ステップを，

n+ 1と表せば，現在の時刻における変位Uⁿ⁺¹と速度_{U_}

n+1

は次のように仮定できる．

Uⁿ⁺¹=Uⁿ+ ÅtU_ⁿ+ Åt² í1

2 Äå ì

°

Uⁿ+ Åt²å°Uⁿ⁺¹ (5.2)

_

Uⁿ⁺¹=U_ⁿ+ Åt(1Äç)U°ⁿ+ Åtç°Uⁿ⁺¹ (5.3) 1次の変位場を

U =bd;"c^t

とした際の変位と速度およびひずみは，それぞれ次式のように表せる．

（変位）

dⁿ⁺¹=dⁿ+ Åtd_ⁿ+ Åt² í1

2Äå ì

°

dⁿ+ Åt²å°dⁿ⁺¹ (5.4)

（速度）

_

dⁿ⁺¹=d_ⁿ+ Åt(1Äç)d°ⁿ+ Åtç°dⁿ⁺¹ (5.5)

（ひずみ）

"ⁿ⁺¹ ="ⁿ+ Åt"_ⁿ+ Åt²

í1 2Äå

ì

°

"ⁿ+ Åt²å"°ⁿ⁺¹ (5.6)

- 53 -

ここで，çとåはパラメータである．通常，ç= 1=2としており，式(5.3)は次のような差分式 になる．

_

Uⁿ⁺¹=U_ⁿ+Åt

2 (U°ⁿ+U°ⁿ⁺¹) (5.7)

この式は，数値積分における台形公式となっている．一方，åの値には，

0îåî 1

2 (5.8)

なる制約があるが，その選び方には次のような考え方がある．

・ å= 0の場合： 式(5.2)は次のようになる．

Uⁿ⁺¹=Uⁿ+ ÅtU_ⁿ+ Åt²

2 U°ⁿ (5.9)

この式は無条件安定とはならず，一般にはあまり使われない．

・ _å^{= 1}₌⁴の場合： 式(5.2)は次のようになる．

Uⁿ⁺¹=Uⁿ+ ÅtU_ⁿ+ Åt² 2

†U°ⁿ+U°ⁿ⁺¹ 2

!

(5.10)

この式を用いる方法は平均加速度法と呼ばれており，加速度は_Åt時間の間は一定とみな している．Newmarkのβ法は本来，無条件安定な積分法としてこの方法を提案している．

・ å= 1=6の場合： 式(5.2)は次のようになる．

Uⁿ⁺¹=Uⁿ+ ÅtU_ⁿ+ Åt²

3 U°ⁿ+ Åt²

6 U°ⁿ⁺¹ (5.11)

Newmark のβ法において，_ç^{= 1}₌²_{; å}^{= 1}₌⁶は最も一般的な選択であり，この場合は線

形化速度法と呼ばれている．しかし，平均加速度法と異なり，無条件安定とはならない．

- 54 - (１) 加速度を未知数とする場合

式(5.2)，(5.3)を式(5.1)に適用すれば，次式を得る．

ÄM+åÅt²KÅU°ⁿ⁺¹=Pⁿ⁺¹ÄK ê

(çÄå) Åt²U°ⁿ+ ÅtU_ⁿ+Uⁿ ë

(5.12)

まず，この代数方程式を解いて時間ステップⁿ+ 1における加速度を求め，式(5.2)，(5.3)によ り変位と速度を求める．

(２) 変位を未知数とする場合

変位を求める公式を導くために，式(5.2)(5.3)を次のように変形する．

°

Uⁿ⁺¹ = 1 åÅt²

ÄUⁿ⁺¹

ÄUⁿÅ Ä

1 åÅtU_ⁿ

Ä í 1

2åÄ1 ì

°

Uⁿ (5.13)

_

Uⁿ⁺¹ = ç åÅt

ÄUⁿ⁺¹ÄUⁿÅ Ä

íç åÄ1

ì _ UⁿÄ

íç 2åÄ1

ì

ÅtU°ⁿ (5.14)

これらを式(5.1)に用いれば，以下のような時間ステップごとの離散化方程式が得られる．こ こで，上付の・は１階微分，すなわち，速度を表している．上付の･･は時間に関する２階の微 分，すなわち加速度を示している．次式を解くことによって，変位を求めることができる．そ

して，式(5.13)(5.14)の関係から，加速度と速度を計算することができる．

í 1

åÅt²M+K ì

Uⁿ⁺¹ =Pⁿ⁺¹+M íí 1

2åÄ1 ì

° Uⁿ+ 1

åÅtU_ⁿ+ 1 åÅt²Uⁿ

ì

(5.15)

- 55 -