軌道運動

第 5 章結論と課題 75

B.2 軌道運動

ここでは，相対運動方程式から得られる線形近似式であるHill-Clohessy-Wiltshire

equationについて述べる．まず円軌道で周回する母機との相対運動方程式を考え

る．この時軌道周回速度は一定で，軌道半径も変化しないものとする．軌道半径

r

と重力定数

µ

から円軌道上の平均軌道角速度

n v

として，

n v = p _µ

r ³

とすることができる．この前提もとで相対運動方程式は以下のように近似することができる

¨

p _x − 2n _v p ˙ _y − 3n ² _v x = u _x

^(B.4)

¨

p _y + 3n _v p ˙ _x = u _y

^(B.5)

¨

p z + n ² _v p z = u z

^(B.6)

ここで，

p x , p y , p z

はそれぞれ母機に対応する相対位置ベクトルである．この式 (B.4)-(B.6)をHill-Clohessy-Wiltshireequationと呼ぶ．

r

z

y x

p p

p

n ^v

FigB.1: CoordinateofHill-Clohessy-Wiltshireequation

付録

入力状態安定性

C.1

入力状態安定性

(ISS)

初めに関数クラスの定義を導入する．

定義2(lass-

K

^,^lass-

K ∞

^funtion) ある関数

γ(s) : R _≥0 7→ R _≥0

が

class−K

関数であるとは，その関数が連続で，厳密に増加し，原点が

γ(0) = 0

となる関数である．

更に，ある

class−K

関数が引数

s → ∞

に対して

γ(s) → ∞

を満たすとき，その関数は

class−K ∞

関数であるという．

定義3(lass-

KL

^funtion) ある関数

β(s, t) : R _≥0 × R _≥0 7→ R _≥0

が

class−KL

関数であるとは，

β(·, t), ∀t ≥ 0

が

class−K

関数で，

β(s, ·)

のとき

∀s ≥ 0

に対して単調減少，

t → ∞

に対して

β(s, t) → 0

となる関数である.

次にISSに関する二つの定義について述べる[26℄．

定義4 システムが入力状態安定であるとは，あるクラス

KL

関数

β

とクラス

K

関数

γ

が存在して，つぎの性質をすべてのステップ

k ∈ Z ₊

で満たすことである．

|x(k, ξ, u)| ≤ β(|ξ|, k) + γ(kµk)

^(C.1)

ただし

µ ∈ l ^m _∞ , x(0) = ξ ∈ D ⁿ ⊆ R ⁿ

とする. また，外生入力

µ = 0

で

D ⁿ = R ⁿ

のとき，ISSは大域的漸近安定である[39℄．

定義5 連続値関数

V : R ⁿ 7→ R

が，あるクラス

K ∞

関数

α 1 , α 2 , α 3

とクラス

K

関数

σ

に対して以下を満たすとき，連続値関数

V

はISSリアプノフ関数であるという．

α 1 (|ξ|) ≤ V (ξ) ≤ α 2 (|ξ|), ∀ξ ∈ R ⁿ

V (f(ξ, µ))− V (ξ) ≤ −α 3 (|ξ|) + σ(|µ|), ∀ξ ∈ R ⁿ , µ ∈ R ^m

^(C.2)

ここで

µ

はシステムへの外生入力信号である．

システムが入力状態安定である条件はつぎの定理より与えられる[26,25℄．定理3 システムがISSである必要十分条件はISSリアプノフ関数が存在することである．

付録

終端状態制約集合 X _f ^の数値的評価

剛体LPVモデル実験時(4.2章)の終端状態制約集合

X f

と行列

K

および予測ステップ数

N

の関係を数値的に評価する．Fig.D.1に地上実験モデルの場合の

X f

の計算値を示す

．図中，

S 1 ∩S 2

は

K = [−1.7176, −3.4076]

のときの2つの端点モデルの不変集合の積集合として求めた

X f

である．また

S 1 /5∩S 2 /5

は行列

K

の各要素を1/5倍した時の

X f

である．明らかに

K

が小さいほど集合

X f

は増大することがわかる．またFig.D.1とその拡大図Fig.D.2には

k = 0

，

N = 10

のときの予測状態軌道

X (0)

の一例をあわせて示した．このとき

x N ∈ X f

が成り立つこと，

N ≤ 7

では終端拘束条件を満たさないことがわかる．以上より予測ステップ数の増加によって仮定1を満たすことが期待できる．

FigD.1: InvariantsetofLPVair-stage

FigD.2:Close-upofFig.D.1

不変集合

X f

の計算にはInvariantsettoolbox[40℄を用いた．

謝辞

研究を進めるにあたり，懇切なご指導とご助言を賜りました電気通信大学知能機械工学科木田隆教授に心から感謝の意を表します．また実験機モデル作成等にご協力いただいた防衛大学校航空宇宙工学科山口功教授に厚く感謝の意を表します．

本論文の審査において，大変有益なご指導とご教示を頂いた，電気通信大学知能機械工学科田中一男教授，新誠一教授，明愛国教授，樋口幸治准教授に深く感謝申しあげます．

そして，ともに研究活動に励み，議論をしてくれた同期の高久雄一君，阪本篤志君，木田研究室皆様に深く感謝致します．

最後に，研究に従事する機会と環境を提供してくれた家族に感謝します．

参考文献

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[3℄ 木田隆,池田雅夫,山口功. 高域遮断特性をもたせた最適レギュレータとその大型宇宙構造物の制御への応用. 計測自動制御学会論文集,Vol.25,No.4,pp.

448454,1989.

[4℄ 藤森篤,大島憲一. 周波数依存重みを用いたlqg制御系の設計. 計測自動制御学会論文集,Vol.29,No.5,pp.547554,may1993.

[5℄ 糀谷和久,池田雅夫,木田隆. Colloatedfeedbakによる宇宙構造物の最適制御. 計測自動制御学会論文集,Vol.25,No.8,pp.882888,1989.

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設計:Dvdfbの特徴を活かした二自由度制御系の適用.計測自動制御学会論文

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Le-tureNotesinControlandInformationSienes,pp.126.SpringerBerlin

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関連論文の印刷公表の方法および時期

(1) 全著者名：TakeyaAsakawa,TakashiKida

論文題目： Appliation of MPC to Spaeraft Attitude Maneuver using RCS and/orRW

印刷公表の方法：JournalofSpaeEngineering,Vol.6,No.1,pp.1-14

印刷公表の時期：(2013) (第2章の内容と関連)

(2) 全著者名：TakeyaAsakawa,TakashiKida

論文題目：SpaeraftFormationFlyingwithThrustersusingMPCandCollision Avoidane

印刷公表の方法：ProeedingsofSICEAnnualConferene2013,pp.2204-2206

印刷公表の時期：September14-17(2013) (第2章の内容と関連)

(3) 全著者名：TakeyaAsakawa,TakashiKida

論文題目：ModelPreditiveControlforLPVSystemusingOn-offAtuatorwith AppliationtoSpaeraftAttitudeManeuver

印刷公表の方法：ProeedingsofIEEEInternationalConfereneonControland Automation,pp.1215-1220

印刷公表の時期：June18-20(2014) (第3章の内容と関連)

(4) 全著者名：TakeyaAsakawa,TakashiKida

論文題目：RobustModelPreditiveControlforFlexibleSpaeraftUsing Rea-tionControlSystems

印刷公表の方法：ProeedingsofSICEAnnualConferene2014,

印刷公表の時期：September9-12(2014) (第3章および第4章の内容と関連)

ドキュメント内電気通信大学大学院情報理工学研究科博士 (ページ 85-94)

第 5 章 結論と課題 75

B.2 軌道運動

r

µ

n v

n v = p µ

r 3

¨

p x − 2n v p ˙ y − 3n 2 v x = u x

¨

p y + 3n v p ˙ x = u y

¨

p z + n 2 v p z = u z

p x , p y , p z

r

z

y x

p p

p

n v

付 録

入力状態安定性

入力状態安定性

K

K ∞

γ(s) : R ≥0 7→ R ≥0

class−K

γ(0) = 0

class−K

s → ∞

γ(s) → ∞

class−K ∞

KL

β(s, t) : R ≥0 × R ≥0 7→ R ≥0

class−KL

β(·, t), ∀t ≥ 0

class−K

β(s, ·)

∀s ≥ 0

t → ∞

β(s, t) → 0

KL

β

K

γ

k ∈ Z +

|x(k, ξ, u)| ≤ β(|ξ|, k) + γ(kµk)

µ ∈ l m ∞ , x(0) = ξ ∈ D n ⊆ R n

µ = 0

D n = R n

V : R n 7→ R

K ∞

α 1 , α 2 , α 3

K

σ

V

α 1 (|ξ|) ≤ V (ξ) ≤ α 2 (|ξ|), ∀ξ ∈ R n

V (f(ξ, µ))− V (ξ) ≤ −α 3 (|ξ|) + σ(|µ|), ∀ξ ∈ R n , µ ∈ R m

µ

付 録

終端状態制約集合 X f の数値 的評価

X f

K

N

X f

S 1 ∩S 2

K = [−1.7176, −3.4076]

X f

S 1 /5∩S 2 /5

K

X f

K

X f

k = 0

N = 10

X (0)

x N ∈ X f

N ≤ 7

X f

第 5 章結論と課題 75

n v = p _µ

r ³

p _x − 2n _v p ˙ _y − 3n ² _v x = u _x

p _y + 3n _v p ˙ _x = u _y

p z + n ² _v p z = u z

n ^v

付録

γ(s) : R _≥0 7→ R _≥0

β(s, t) : R _≥0 × R _≥0 7→ R _≥0

k ∈ Z ₊

µ ∈ l ^m _∞ , x(0) = ξ ∈ D ⁿ ⊆ R ⁿ

D ⁿ = R ⁿ

V : R ⁿ 7→ R

α 1 (|ξ|) ≤ V (ξ) ≤ α 2 (|ξ|), ∀ξ ∈ R ⁿ

V (f(ξ, µ))− V (ξ) ≤ −α 3 (|ξ|) + σ(|µ|), ∀ξ ∈ R ⁿ , µ ∈ R ^m

付録

終端状態制約集合 X _f ^の数値的評価