第 5 章 条件付き超離散 Pl¨ ucker 関係式 40
5.2 超離散２次元戸田方程式の証明
超離散２次元戸田方程式は離散２次元戸田方程式
τ(l, m−1, n)τ(l+ 1, m, n) = (1−δε)τ(l, m, n)τ(l+ 1, m−1, n) +δετ(l, m−1, n+ 1)τ(l+ 1, m, n−1) (5.8) を超離散化して得られる[19]．
τ(l, m−1, n) +τ(l+ 1, m, n) = max(τ(l, m, n) +τ(l+ 1, m−1, n),
τ(l, m−1, n+ 1) +τ(l+ 1, m, n−1)−δ−ε) (δ, ε >0)
(5.9)
このとき超離散パーマネント解を次で与える．
τ(l, m, n) = max[ϕi(l, m, n+j−1)]1≤i,j≤N (5.10) ただし各要素のϕi(l, m, n)は任意実数ri,ci,c′iを用いて
ϕi(l, m, n) = max( max(0, ri−δ)l−max(0, −ri−ε)m+rin+ci, max(0, −ri−δ)l−max(0, ri−ε)m−rin+c′i)
(5.11)
で定義する．なお以下では
ηi≡max(0, ri−δ)l−max(0, −ri−ε)m+rin+ci
ηi′≡max(0,−ri−δ)l−max(0, ri−ε)m−rin+c′i
(5.12)
として
ϕi(l, m, n+j) = max(ηi+jri, η′i−jri) (5.13) で表す．証明を行う前に次の補題を用意する．
補題5.2.1 任意の1≤i≤N で
ϕi(l+ 1, m, n) = max(ϕi(l, m, n), ϕi(l, m, n+ 1)−δ) ϕi(l, m−1, n) = max(ϕi(l, m, n), ϕi(l, m, n−1)−ε)
(5.14) が成り立つ．
関係式(5.14)を分散関係式と呼ぶことにする．
（証） 定義より
ϕi(l+ 1, m, n) = max(ηi+ max(0, ri−δ), ηi′+ max(0,−ri−δ)). (5.15) 一方
max(ϕi(l, m, n), ϕi(l, m, n+ 1)−δ)
= max(ηi, ηi′, ηi+ri−δ, η′i−ri−δ)
= max(ηi+ max(0, ri−δ), ηi′+ max(0,−ri−δ))
(5.16)
より成り立つ．mについても同様．
補題から
τ(l+ 1, m, n) = max[ϕi(l+ 1, m, n+j−1)]1≤i,j≤N
= max[max(ϕi(l, m, n+j−1), ϕi(l, m, n+j)−δ)]1≤i,j≤N
(5.17) と表される．以下l,m は変わらないので
ϕi(l, m, n+j)≡ϕi(j)≡j (5.18)
のように略記する．この表記より
τ(l+ 1, m, n) = max[max(ϕi(l, m, n+j−1), ϕi(l, m, n+j)−δ)]1≤i,j≤N
= max[max(ϕi(0), ϕi(1)−δ) . . .max(ϕi(N−1), ϕi(N)−δ)]
(5.19) ここで超離散パーマネントの性質
max
max(a11, b11) a12 . . . a1N
max(a21, b21) a21 . . . a2N ... ... . .. ... max(aN1, bN1) aN2 . . . aN N
= max (
max
a11 a12 . . . a1N
a21 a21 . . . a2N
... ... . .. ... aN1 aN2 . . . aN N
, max
b11 a12 . . . a1N
b21 a21 . . . a2N
... ... . .. ... bN1 aN2 . . . aN N
)
(5.20)
を(5.19)の第一列に用いると max
(
max[ϕi(0) max(ϕi(1), ϕi(2)−δ). . .max(ϕi(N−1), ϕi(N)−δ)], max[ϕi(1) max(ϕi(1), ϕi(2)−δ). . .max(ϕi(N−1), ϕi(N)−δ)]−δ
) (5.21)
を得る．さらに各列を同様の方法で分離すればτ(l+ 1, m, n)は2N 個の項の最大値で表される．たとえば−δを 持つ項は
max[1 1 2. . . N−1], max[0 2 2 3. . . N−1], . . . ,max[0 1 2. . . N−1N−1], max[0 1 2. . . N−2N] (5.22) のN個で与えられる．これらは次の補題から大小関係が定まる．
補題5.2.2 任意の1≤i1, i2, j≤N で
ϕi1(j) +ϕi2(j)≤max(ϕi1(j−1) +ϕi2(j+ 1), ϕi2(j−1) +ϕi1(j+ 1)) (5.23) が成り立つ．特に任意のN×(N−2)行列を−−と表記したとき
max[− − j j]≤max[− − j−1 j+ 1] (5.24)
が成り立つ．
（証） 定義より(5.23)の左辺は ϕi1(j) +ϕi2(j)
= max(ηi1+jri1, ηi′
1−jri1) + max(ηi2+jri2, η′i
2−jri2)
= max(ηi1+ηi2+ (j−1)(ri1+ri2) +ri1+ri2, ηi1+η′i
2+ (j−1)(ri1−ri2) +ri1−ri2, ηi′
1+ηi2+ (j−1)(−ri1+ri2)−ri1+ri2, η′i
1+ηi′
2−(j−1)(ri1+ri2)−ri1−ri2)
(5.25)
と表され，右辺は
max(ϕi1(j−1) +ϕi2(j+ 1), ϕi2(j−1) +ϕi1(j+ 1))
= max(ηi1+ηi2+ (j−1)(ri1+ri2) + 2 max(ri2, ri1), ηi1+ηi′2+ (j−1)(ri1−ri2) + 2 max(−ri2, ri1), ηi′1+ηi2+ (j−1)(−ri1+ri2) + 2 max(ri2, −ri1), ηi′1+ηi′2−(j−1)(ri1+ri2) + 2 max(−ri2, −ri1))
(5.26)
となる．したがって各ηi の項同士をくらべ公式
x+y≤2 max(x, y) (x, y:任意実数) (5.27)
を用いれば(5.23)が成り立つ．(5.24)は(5.23)および超離散パーマネントの定義から明らか．
したがって(5.24)を用いると(5.22)の各項は
max[1 1 2. . . N−1]≤max[0 2 2 3. . . N−1]≤. . .
≤max[0 1 2. . . N−1 N−1]≤max[0 1 2. . . N−2N]
(5.28)
なる大小関係が導かれる．同様の議論から各−k1δ(0≤k1≤N)を持つ項同士で大小関係が定まり τ(l+ 1, m, n) = max
0≤k1≤N(τc(−1, N−k1)−k1δ) (5.29) を得る．ここでτc(α, β) (α < β)はϕi(l, m, n−1)からϕi(l, m, n+N)までの列を並べたN×(N+ 2)行列か らα,β 列を取り除いた超離散パーマネント，すなわち
τc(α, β) = max[−1 . . . α . . .b β . . . N]b (5.30) で定義する．同様の方法で
τ(l, m−1, n) = max
0≤k2≤N(τc(k2−1, N)−k2ε) (5.31) τ(l+ 1, m, n−1) = max
0≤k1≤N(τc(N−k1−1, N)−k1δ) (5.32) τ(l, m−1, n+ 1) = max
0≤k2≤N(τc(−1, k2)−k2ε) (5.33)
τ(l, m, n) =τc(−1, N) (5.34)
を得る．τ(l+ 1, m−1, n)はl,mの両方の分散関係式を用いることで求められる．このとき−k1δ−k2ε(k1, k2= 0,1, . . . , N)の項をもつ項をΨ(k1, k2)と表記，すなわち
τ(l+ 1, m−1, n) = max
0≤k1,k2≤N(Ψ(k1, k2)−k1δ−k2ε) (5.35) とするとΨ(k1, k2)は次の性質を持つことが示される（付録参照）．
Ψ(k1, k2) =
max
0≤i≤k2(τc(k2−i−1, N−k1+i)) (k1≥k2かつN−k1≥k2のとき) max
0≤i≤k1(τc(k2−i−1, N−k1+i)) (N−k1≥k2≥k1のとき) max
0≤i≤N−k1(τc(i−1, N−k1+k2−i)) (k1≥k2≥N−k1のとき) max
0≤i≤N−k2(τc(N−k1−i−1, k2+i)) (k2≥N−k1かつk2≥k1のとき)
(5.36)
特に1≤k1, k2≤Nのとき次が成り立つ．
Ψ(k1, k2) = max(Ψ(k1−1, k2−1), τc(k2−1, N−k1)) (k2−1< N−k1のとき) Ψ(k1−1, k2−1) = max(Ψ(k1, k2), τc(N−k1, k2−1)) (k2−1> N−k1のとき) Ψ(k1, k2) = Ψ(k1−1, k2−1) (k2−1 =N−k1のとき)
(5.37)
得られた(5.29), (5.31), (5.32), (5.33), (5.34), (5.35)を(5.9)に同値1な方程式
max(τ(l, m−1, n) +τ(l+ 1, m, n), τ(l, m, n) +τ(l+ 1, m−1, n)−δ−ε)
= max(τ(l, m, n) +τ(l+ 1, m−1, n), τ(l, m−1, n+ 1) +τ(l+ 1, m, n−1)−δ−ε)
(5.38)
に代入すると
max( max
0≤k1,k2≤N(τc(k2−1, N) +τc(−1, N−k1)−k1δ−k2ε), max
0≤k1,k2≤N(τc(−1, N) + Ψ(k1, k2)−(k1+ 1)δ−(k2+ 1)ε))
= max( max
0≤k1,k2≤N(τc(−1, N) + Ψ(k1, k2)−k1δ−k2ε),
0≤kmax1,k2≤N(τc(−1, k2) +τc(N−k1−1, N)−(k1+ 1)δ−(k2+ 1)ε))
(5.39)
で表される．もし両辺の−k1δ−k2εを持つ項同士が等しければ方程式は成り立つ．そこで(5.39)の両辺から
−(N+ 1)δ−k2ε(k2= 0,1, . . . , N)を持つ項を比べると左辺は
τc(−1, N) + Ψ(N, k2)−(N+ 1)δ−(k2+ 1)ε (5.40) であり，右辺は
τc(−1, k2) +τc(−1, N)−(N+ 1)δ−(k2+ 1)ε (5.41) と表される．(5.36)よりΨ(N, k2) =τc(−1, k2)であるから両辺は等しいことが示される．同様に−k1δ−(N+ 1)ε,
−k2ε,−k1δを持つ項同士についても(5.36)から両辺が等しいことが示される．残った一般の−k1δ−k2ε(k1, k2= 1, . . . , N)を持つ項は左辺右辺それぞれ
max(τc(k2−1, N) +τc(−1, N−k1), τc(−1, N) + Ψ(k1−1, k2−1)) (5.42) max(τc(−1, N) + Ψ(k1, k2), τc(−1, k2−1) +τc(N−k1, N)) (5.43) で与えられる．ここで(i)k2−1< N−k1, (ii)k2−1> N−k1, (iii)k2−1 =N−k1に場合わけして考える．
(i)k2−1< N−k1 のとき．(5.37)から(5.43)は
max(τc(−1, N) + max(Ψ(k1−1, k2−1), τc(k2−1, N−k1)), τc(−1, k2−1) +τc(N−k1, N))
= max(τc(−1, N) + Ψ(k1−1, k2−1), τc(−1, N) +τc(k1−1, N−k1), τc(−1, k2−1) +τc(N−k1, N))
(5.44)
したがって(5.42)と共通する項が存在するので，十分条件として次を得る．
τc(k2−1, N) +τc(−1, N−k1)
= max (
τc(−1, N) +τc(k2−1, N−k1), τc(−1, k2−1) +τc(N−k1, N) )
(k2−1< N−k1)
(5.45)
1もしτ(l, m, n)が(5.38)の解であるならばδ, ε >0より(5.38)の左辺の最大値はτ(l, m−1, n) +τ(l+ 1, m, n)となり(5.9)の解で あることが示される．
(ii)k2−1> N−k1 のとき．このときも(5.37)を用いると(5.42)は
max(τc(k2−1, N) +τc(−1, N−k1), τc(−1, N) + max(Ψ(k1, k2), τc(N−k1, k2−1))) (5.46) で与えられる．ゆえに(5.43)と比較し，十分条件として
max (
τc(k2−1, N) +τc(−1, N−k1), τc(−1, N) +τc(N−k1, k2−1) )
=τc(−1, k2−1) +τc(N−k1, N) (k2−1> N−k1)
(5.47) を得る．
(iii)k2−1 =N−k1 のとき．(5.37)より(5.42)は
max(τc(k2−1, N) +τc(−1, N−k1), τc(−1, N) + Ψ(k1, k2))
= max(τc(N−k1, N) +τc(−1, N−k2), τc(−1, N) + Ψ(k1, k2))
(5.48) ゆえに(5.43)と一致する．以上から示すべきことは(5.45), (5.47)，特にϕiの定義より両者は次にまとめられる．
max[ϕ(0) . . . ϕ(k\1) . . . ϕ(N)] + max[ϕ(1) . . . ϕ(k\2) . . . ϕ(N + 1)]
= max (
max[ϕ(0) . . . ϕ(k\2) . . . ϕ(N)] + max[ϕ(1) . . . ϕ(k\1) . . . ϕ(N + 1)], max[ϕ(0) . . . ϕ(k\1) . . . ϕ(k\2) . . . ϕ(N+ 1)] + max[ϕ(1) . . . ϕ(N)]
) (5.49)
ただし1≤k1< k2≤N とし，各ϕ(j)は任意実数ηi,ηi′,riを用いて
ϕ(j)=
max(η1+jr1, η1′ −jr1) max(η2+jr2, η2′ −jr2)
...
max(ηN +jrN, ηN′ −jrN)
(5.50)
とする．今，(5.49)に∑
1≤i≤N −ηi−η′i
2 を加えると各行は
max(ηi+jri, ηi′−jri) +−ηi−η′i 2
= max(ηi−η′i
2 +jri, −ηi+η′i 2 −jri)
=|ηi−η′i 2 +jri|
(5.51)
となる．したがってηi−2η′i をyiとしたとき(5.49)は条件付き超離散Pl¨ucker関係式(5.7)そのものとなるから成 り立つ．以上から題意が満たされた．
5.3 超離散 KP 方程式の証明
超離散KP方程式は離散KP方程式
a1(a2−a3)τ(l+ 1, m, n)τ(l, m+ 1, n+ 1) +a2(a3−a1)τ(l, m+ 1, n)τ(l+ 1, m, n+ 1) +a3(a1−a2)τ(l, m, n+ 1)τ(l+ 1, m+ 1, n) = 0
(5.52)
を超離散化して得られる[33, 50]．
τ(l, m+ 1, n) +τ(l+ 1, m, n+ 1)−a2−a3
= max(τ(l+ 1, m, n) +τ(l, m+ 1, n+ 1)−a1−a3,
τ(l, m, n+ 1) +τ(l+ 1, m+ 1, n)−a2−a3) (a1> a2> a3)
(5.53)
超離散パーマネント解を補助変数sを用いて次で与える．
τ(l, m, n, s) = max[ϕi(l, m, n, s+j−1)]1≤i,j≤N (5.54)
ϕi(l, m, n, s) = max (
pis+ max(0, pi−a1)l+ max(0, pi−a2)m+ max(0, pi−a3)n,
−pis+ max(0,−pi−a1)l+ max(0,−pi−a2)m+ max(0,−pi−a3)n
) (5.55)
この場合も前節と同様の方法で次の補題が示される．
補題5.3.1 任意の1≤i1, i2, j≤N で
ϕi1(l+ 1, m, n, s) = max(ϕi1(l, m, n, s), ϕi1(l, m, n, s+ 1)−a1) ϕi1(l, m+ 1, n, s) = max(ϕi1(l, m, n, s), ϕi1(l, m, n, s+ 1)−a2) ϕi1(l, m, n+ 1, s) = max(ϕi1(l, m, n, s), ϕi1(l, m, n, s+ 1)−a3)
(5.56)
および
ϕi1(l, m, n, s+j) +ϕi2(l, m, n, s+j)
≤max(ϕi1(l, m, n, s+j−1) +ϕi2(l, m, n, s+j+ 1), ϕi2(l, m, n, s+j−1) +ϕi1(l, m, n, s+j+ 1))
(5.57)
が成り立つ．
(5.56)を分散関係式と呼ぶことにする．補題より前節と同様の議論で
τ(l+ 1, m, n) = max
0≤k1≤N(τc(N−k1, N+ 1)−k1a1) (5.58) τ(l, m+ 1, n) = max
0≤k2≤N(τc(N−k2, N+ 1)−k2a2) (5.59) τ(l, m, n+ 1) = max
0≤k3≤N(τc(N−k3, N+ 1)−k3a3) (5.60) を得る．ただしτc(α, β) (α < β)はϕi(l, m, n, s)からϕi(l, m, n, s+N+ 1)までの列を並べたN×(N+ 2)行列 からα,β 列を取り除いた超離散パーマネント，すなわち
τc(α, β) = max[0. . . α . . .ˆ β . . .ˆ N+ 1] (5.61) で定義する．同様にτ(l, m+ 1, n+ 1)についても2回分散関係式を用いることで
τ(l, m+ 1, n+ 1) = max
0≤k2,k3≤N(Ψ(k2, k3)−k2a2−k3a3) (5.62)
と表される．ただしΨ(k2, k3)は次の性質を持つ．
Ψ(k2, k3) =
max
0≤i≤N−k3(τc(N−k3−i, N−k2+ 1 +i)) (k3≥k2, N−k2) max
0≤i≤k2(τc(N−k2−k3+i, N+ 1−i)) (N−k2≥k3≥k2) max
0≤i≤N−k2(τc(N−k2−i, N−k3+ 1 +i)) (k2≥k3≥N−k2) max
0≤i≤k3(τc(N−k2−k3+i, N+ 1−i)) (k2, N−k2≥k3)
(5.63)
特に1≤k1, k2≤Nのときは次が成り立つ．
Ψ(k2−1, k3) = max(Ψ(k2, k3−1), τc(N−k3+ 1, N−k2+ 1)) (k2< k3のとき)
Ψ(k2−1, k3) = Ψ(k2, k3−1) (k2=k3のとき)
max(Ψ(k2−1, k3), τc(N−k2+ 1, N−k3+ 1)) = Ψ(k2, k3−1) (k2> k3のとき)
(5.64)
対称性よりτ(l+ 1, m, n+ 1),τ(l+ 1, m+ 1, n)も同じΨ(ki, kj)で表される．得られた各τを(5.53)に同値な方 程式
max(τ(l+ 1, m, n) +τ(l, m+ 1, n+ 1)−a1−a2, τ(l, m+ 1, n) +τ(l+ 1, m, n+ 1)−a2−a3, τ(l, m, n+ 1) +τ(l+ 1, m+ 1, n)−a1−a3)
= max(τ(l+ 1, m, n) +τ(l, m+ 1, n+ 1)−a1−a3, τ(l, m+ 1, n) +τ(l+ 1, m, n+ 1)−a1−a2, τ(l, m, n+ 1) +τ(l+ 1, m+ 1, n)−a2−a3) (a1> a2> a3)
(5.65)
に代入する．
max( max
0≤k1,k2,k3≤N(τc(N−k1, N+ 1) + Ψ(k2, k3)−(k1+ 1)a1−(k2+ 1)a2−k3a3),
0≤k1max,k2,k3≤N(τc(N−k2, N+ 1) + Ψ(k1, k3)−k1a1−(k2+ 1)a2−(k3+ 1)a3), max
0≤k1,k2,k3≤N(τc(N−k3, N+ 1) + Ψ(k1, k2)−(k1+ 1)a1−k2a2−(k3+ 1)a3))
= max( max
0≤k1,k2,k3≤N(τc(N−k1, N+ 1) + Ψ(k2, k3)−(k1+ 1)a1−k2a2−(k3+ 1)a3), max
0≤k1,k2,k3≤N(τc(N−k2, N+ 1) + Ψ(k1, k3)−(k1+ 1)a1−(k2+ 1)a2−k3a3), max
0≤k1,k2,k3≤N(τc(N−k3, N+ 1) + Ψ(k1, k2)−k1a1−(k2+ 1)a2−(k3+ 1)a3))
(5.66)
前節と同様の論法で両辺において−k1a1−k2a2−k3a3を持つ項を比較する．まずa1の係数が0である項を比較 すると左辺は
0≤kmax2,k3≤N(τc(N−k2, N+ 1) + Ψ(0, k3)−(k2+ 1)a2−(k3+ 1)a3) (5.67) となり右辺は
max
0≤k2,k3≤N(τc(N−k3, N+ 1) + Ψ(0, k2)−(k2+ 1)a2−(k3+ 1)a3) (5.68)
を得る．ここでΨ(ki, kj)の関係よりΨ(0, kj) =τc(N−kj, N+ 1)であるから両辺は等しい．対称性からa2,a3 の係数が0の場合もそれぞれ示される．次に−(N+ 1)a1−k2a2−k3a3の項を考える．k2またはk3がN+ 1の とき両辺が成り立つことはΨ(ki, kj)の対称性から自明．したがって1≤k2, k3≤Nの場合を示す．左辺では
max (
max
1≤k2,k3≤N(τc(0, N+ 1) + Ψ(k2−1, k3)−(N+ 1)a1−k2a2−k3a3),
1≤kmax2,k3≤N(τc(N−k3+ 1, N+ 1) + Ψ(N, k2)−(N+ 1)a1−k2a2−k3a3)
) (5.69)
を得る．一方で右辺は max
( max
1≤k2,k3≤N(τc(0, N+ 1) + Ψ(k2, k3−1)−(N+ 1)a1−k2a2−k3a3), max
1≤k2,k3≤N(τc(N−k2+ 1, N+ 1) + Ψ(N, k3)−(N+ 1)a1−k2a2−k3a3)
) (5.70)
で与えられる．k2 =k3のとき(5.69)と(5.70)が一致することは明らか．k2< k3のときは(5.63)および(5.64) より，それぞれ
max (
1≤kmax2,k3≤N(τc(0, N+ 1) + max(Ψ(k2, k3−1), τc(N−k3+ 1, N−k2+ 1)), max
1≤k2,k3≤N(τc(N−k3+ 1, N+ 1) +τc(0, N−k2+ 1)
)−(N+ 1)a1−k2a2−k3a3)
(5.71)
max (
max
1≤k2,k3≤N(τc(0, N+ 1) + Ψ(k2, k3−1), max
1≤k2,k3≤N(τc(N−k2+ 1, N+ 1) +τc(0, N−k3+ 1)
)−(N+ 1)a1−k2a2−k3a3)
(5.72)
となる．したがって共通項を除くことで次の十分条件を得る．
max (
τc(0, N+ 1) +τc(N−k3+ 1, N−k2+ 1), τc(N−k3+ 1, N+ 1) +τc(0, N−k2+ 1) )
=τc(N−k2+ 1, N+ 1) +τc(0, N−k3+ 1) (1≤k2≤k3≤N)
(5.73)
対称性からk2> k3のときは(5.73)でk2,k3を交換した式が得られる．最後に−k1a1−k2a2−k3a3(k1, k2, k3= 1,2, . . . , N)の項をもつ
max(τc(N−k1+ 1, N+ 1) + Ψ(k2−1, k3), τc(N−k2+ 1, N+ 1) + Ψ(k1, k3−1), τc(N−k3+ 1, N+ 1) + Ψ(k1−1, k2))
= max(τc(N−k1+ 1, N+ 1) + Ψ(k2, k3−1), τc(N−k2+ 1, N+ 1) + Ψ(k1−1, k3), τc(N−k3+ 1, N+ 1) + Ψ(k1, k2−1))
(5.74)
を比較する．特にk1,k2,k3のうち，どれかひとつでもki =kjが成り立つときにはΨ(ki−1, kj) = Ψ(ki, kj−1) が成り立つから両辺が一致する．したがってそれぞれ異なるもの場合のみ考える．k1> k2> k3のとき(5.64)よ
り
max(τc(N−k1+ 1, N+ 1) + Ψ(k2−1, k3),
τc(N−k2+ 1, N+ 1) + max(Ψ(k1−1, k3), τ(N−k3+ 1, N−k1+ 1)), τc(N−k3+ 1, N+ 1) + Ψ(k1−1, k2))
= max(τc(N−k1+ 1, N+ 1) + max(Ψ(k2−1, k3), τ(N−k2+ 1, N−k3+ 1)), τc(N−k2+ 1, N+ 1) + Ψ(k1−1, k3),
τc(N−k3+ 1, N+ 1) + max(Ψ(k1−1, k2), τ(N−k2+ 1, N−k1+ 1)))
(5.75)
となる．共通項を除けば十分条件として次を得る．
τc(N−k2+ 1, N+ 1) +τ(N−k3+ 1, N−k1+ 1)
= max(τc(N−k1+ 1, N+ 1) +τ(N−k2+ 1, N−k3+ 1), τc(N−k3+ 1, N+ 1) +τ(N−k2+ 1, N−k1+ 1))
(5.76)
他の場合も対称性から同様の結果を得る．したがって(5.73)および(5.76)は次の関係式にまとめられる．
max[ϕ(0) . . . ϕ(k\2) . . . ϕ(N)] + max[ϕ(0) . . . ϕ(k\1). . . ϕ(k\3) . . . ϕ(N+ 1)]
= max (
max[ϕ(0) . . . ϕ(k\3) . . . ϕ(N)] + max[ϕ(0). . . ϕ(k\1) . . . ϕ(k\2) . . . ϕ(N+ 1)], max[ϕ(0) . . . ϕ(k\2) . . . ϕ(k\3) . . . ϕ(N+ 1)] + max[ϕ(0) . . . ϕ(k\1) . . . ϕ(N)]
) (5.77)
ただし0≤k1< k2< k3≤N とする．各ϕ(j)はϕiの定義から
ϕ(j)=
max(η1+jr1, η′1−jr1) max(η2+jr2, η′2−jr2)
...
max(ηN +jrN, η′N−jrN)
(5.78)
で表される．ゆえに超離散2次元戸田方程式の場合と同様にしてϕ(j)は適当なyi, riを用いて
xj =
|y1+jr1|
|y2+jr2| ...
|yN+jrN|
(5.79)
ととれる．したがって条件付き超離散Pl¨ucker関係式となるので成り立つ．
第 6 章 まとめ
本論文では第2章で可積分離散写像の高階化を行い，第3章から第5章まででは超離散ソリトン解についての 研究を行った．以下ではそれぞれの結果について考察する．
第2章では既知の2階可積分離散写像から，より高階の可積分離散写像を生成する方法を提示した．この生成 法は，非自励化の手続きの部分で数値実験的な検証を必要とし，まだ完全に自動的に高階写像を生成するという 形にはいたっていない．しかしながら，その部分さえうまくいけば，今までの例では高階化と写像の分離の手続 きは滞りなく運んでいる．したがって，この一連の手続きを自動的に行えるための条件が解明され，アルゴリズ ムとして自動化が可能になれば，高階な可積分離散写像を生成するひとつの重要な手法になると予想される．ま た解構造の観点からいえば今回例にとった高階離散写像は数本のQRT系に分離可能であった．したがって解もま たQRT系の解で表現が可能であることが示されたことになる．なお本論文ではQRT系をもとに高階な離散写像 を生成したが，高階ではなく新しい可積分な2階離散写像の生成を試みる研究が最近では行われている[24, 54]．
これらの研究との関連性も今後の課題である．さらに本論文では離散Painlev´e方程式についても高階化および分 離を行い，その結果dPIをもとにdPII, dPIVが分離されるなど数理構造的な観点からも興味深い結果を得てお り，こちらについても今後の発展が期待できる．
第3章では超離散mKdV，超離散戸田方程式にそれぞれ新しい形式の解を与えた．特に超離散戸田方程式はεj
の値によって各要素が変化する超離散パーマネントを拡張した解で表現された．このような解表現は離散戸田方 程式ではみつかっていない．さらに本論文で与えたソリトン解に限らず，超離散戸田方程式には負のソリトン解 とよばれる離散戸田方程式には見られない解を持つという研究報告も近年得られており[18]，そのような事実か らも今回与えた解形式は超離散ソリトン系特有の解構造を与える可能性がみられる．また，第3章で与えた証明 方法は最大値をもとめる段階まではほとんど分散関係式によらずに計算される．この事実に着目して得られた結 果が第4章である．すなわち第4章では解を一般的な形式で与え，最大値が求まるような分散関係式を適宜決め ることで方程式を生成した．このような結果は離散ソリトン系から超離散化を用いて求める従来の手法では得ら れないものといえる．特に超離散B¨acklund変換にいたっては具体的な分散関係式を与えずに成り立つことが示 された．これらの事実は超離散ソリトン系を構築する本質的な構造を表しているとみられる．今後の課題の一つ として得られた超離散ソリトン方程式に逆超離散化を施すことで離散ソリトン系に戻した際，それらがどのよう な対応になっているかを調査することが挙げられる．第5章では第3章，第4章で表したソリトン解が共通にも つ形式を条件として与えることで，Pl¨ucker関係式および行列式の基本変形に相当するものを導き，超離散2次 元戸田方程式および超離散KP方程式の証明を行った．本研究結果により超離散系における佐藤理論の構築が進 められると予想される．また，微分，離散系ではソリトン解に限定することなく分散関係式のみで行列式解は与
えられるが，超離散系では分散関係式のみでは(5.7)は成り立たない．この問題は任意要素の行列式に対する超離 散化ができていないことが原因であると予想される．この問題については今後の課題である．
謝辞
本論文を作成するに当たって高橋大輔教授（早稲田大学理工学術院）の多大なるご指導に対して深く感謝いた します．また様々な助言をいただいた広田良吾名誉教授（早稲田大学名誉教授），北田韶彦教授（早稲田大学理 工学術院），大石進一教授（早稲田大学理工学術院）の諸先生に厚く御礼を申し上げます．
付 録 A (3.8), (3.49) の証明
A.1 (3.8) の証明
max
|y1+ (−N+ 1)r1| |y1+ (−N+ 3)r1| . . . |y1+ (N−1)r1|
... ... . .. ...
|yN + (−N+ 1)rN| |yN+ (−N+ 3)rN| . . . |yN + (N−1)rN|
= max
ρj=±1
( ∑
1≤j≤N
ρjyj− ∑
1≤j<j′≤N
ρjρj′rj
)
+ ∑
1≤j<j′≤N
rj′,
(A.1)
を示す．ただしyjは任意実数としrjは次を満たすものとする．
0≤r1≤r2≤ · · · ≤rN.
（証） (A.1)の左辺は max
πj∈JN
∑
1≤j≤N
|yj+πjrj|= max
πj∈JN,ρj=±1
∑
1≤j≤N
ρj(yj+πjrj)
= max
ρj=±1
( ∑
1≤j≤N
ρjyj+ max
πj∈JN
∑
1≤j≤N
ρjπjrj
) (A.2)
で表される．ただしmaxπj∈JNX(πj)はπjが集合JN ={−N+ 1,−N+ 3, . . . , N−1}からとりうる順列をX(πj) に代入したN!通りの最大値を与えるものとする．右辺との比較から次が示されればよい．
maxπj
∑
1≤j≤N
ρjπjrj=− ∑
1≤j<j′≤N
ρjρj′rj+ ∑
1≤j<j′≤N
rj′. (A.3)
N に対する数学的帰納法を用いる．N = 1のときは両辺ともに0となり成り立つ．続いてN(≥2)のとき成り立 つと仮定し，N+ 1のときを示す．今ρN+1= 1であるとする．このときrjの大小関係よりπN+1 =Nが決定さ れる．さらに仮定から
πimax∈JN+1
∑
1≤j≤N+1
ρjπjrj=N rN+1+ max
πj∈JN+1−{N}
∑
1≤j≤N
ρjπjrj
=N rN+1+ max
πj∈JN
∑
1≤j≤N
ρj(πj−1)rj
=N rN+1− ∑
1≤j<j′≤N
ρjρj′rj+ ∑
1≤j<j≤N
rj′− ∑
1≤j≤N
ρjrj
=− ∑
1≤j<j′≤N+1
ρjρj′rj+ ∑
1≤j<j′≤N+1
rj′
(A.4)
となり成り立つ．ここでJN+1− {N}はJN+1={−N,−N+ 2, . . . , N}からNの要素を取り除いたものとする．
同様にρN+1=−1のとき，πN+1=−Nであるから N rN+1+ max
πj∈JN+1−{−N}
∑
1≤j≤N
ρjπjrj =N rN+1+ max
πj∈JN
∑
1≤j≤N
ρj(πj+ 1)rj
=N rN+1− ∑
1≤j<j′≤N
ρjρj′rj+ ∑
1≤j<j′≤N
rj′+ ∑
1≤j≤N
ρjrj
=− ∑
1≤j<j′≤N+1
ρjρj′rj+ ∑
1≤j<j′≤N+1
rj′
(A.5)
したがってN+ 1のときも成り立つので題意が示された．
A.2 (3.49) の証明
(3.8)を拡張した(3.49)，すなわち
max(|s1(n+ (−N+ 1)/2, i+ ∑
2≤l≤N
εl/2)|, . . . ,|sN(n+ (−N+ 1)/2, i+ ∑
1≤l≤N−1
εl/2)|)
= max
ρj=±1
( ∑
1≤j≤N
ρjsj−1 2
∑
1≤j<j′≤N
ρjρj′(pj+εjεj′qj) )
+1 2
∑
1≤j<j′≤N
(pj′+εj′qj′)
(A.6)
sj(n, i) =pjn−εjqji+cj, −1≤εj ≤1,
pi≥0, qi≥0, 0≤p1−q1≤p2−q2≤ · · · ≤pN −qN
(A.7) を示す．εjがjによらず一定のときは(A.1)と一致する．
（証） 左辺はmaxの定義から
πj∈ImaxN,ρj=±1
∑
1≤j≤N
ρπj
(
sπj +−N+ 1 2 pπj+1
2
(− ∑
1≤l≤j−1
επl− ∑
j+1≤l≤N
επl
)επjqπj
+ (j−1)pπj+qπjεπj ∑
1≤l≤j−1
επl )
,
(A.8)
と表される．ここでIN ={1,2, . . . , N}とする．したがって max
ρj=±1
( ∑
1≤j≤N
ρjsj+1 2 max
πj∈IN
∑
1≤j≤N
ρπj (
(−N+ 2j−1)pπj+ ( ∑
1≤l≤j−1
επl− ∑
j+1≤l≤N
επl)επjqπj ))
(A.9)
であるから次が成り立てばよい．
max
πj∈IN
∑
1≤j≤N
ρπj (
(−N+ 2j−1)pπj + ( ∑
1≤l≤j−1
επl− ∑
j+1≤l≤N
επl)επjqπj )
=− ∑
1≤j<j′≤N
ρjρj′(pj+εjεj′qj) + ∑
1≤j<j′≤N
(pj′+εj′qj′).
(A.10)