がE, Q, Dを選択する確率はそれぞれ E :
∫ ∞
µ−δ
F(ds) =λ−F(µ−δ),
Q:F(µ−δ)−F(−δ/h((λ−F(µ−δ), F(µ−δ)−y∗(δ), y∗(δ))) =F(µ−δ)−y∗(δ), D:F(−δ/h((λ−F(µ−δ), F(µ−δ)−y∗(δ), y∗(δ))) =y∗(δ),
と計算される。これは支払選択ベクトルΛ[A3] だから、ケース 3ではA3 が均衡となる。
2
（ 3 ） 定理 4 の証明
Λ[A2] とΛ[A3] はλ[AE2] = λ[AE3]、λ[AQ2] > λ[AQ3] を満たすから、補題2より h(Λ[A2]) <
h(Λ[A3]) が成り立つ。また、Λ[A2] ≺ Λ[A3] だから、補題 3 より、任意の X に対して
CX(Λ[A2])< CX(Λ[A3])が成立する。 2
1. H(µE, µD)はµE の増加関数、µDの減少関数。
2. L(µE, µD)はµEの減少関数、µDの増加関数。
3. 任意のV, µE, µDに対して
H(µE, µD) +L(µE, µD) = (1−h(V))FS(κ)>0, (A-16) となることから、(A-14)〜(A-16)式より
H(µE, µD)≤0 =⇒ GE(µE, µD)≤0, GD(µE, µD)>0, (A-17) L(µE, µD)≤0 =⇒ GD(µE, µD)≤0, GE(µE, µD)>0. (A-18) 戦略的参加者全体の支払分割ベクトルV に対して、zの方程式
H(z,0) = 0 ⇐⇒ FS([1−πE(V)]z) =δ, の解が存在すれば、それをθE(V)で表す。同様に、
L(0, z) = 0 ⇐⇒ h(V)FS(−πD(V)z) =δ, の解が存在すれば、それをθD(V)で表す。
補題 5 戦略的参加者全体の支払分割ベクトルV を所与とするとき、個々の参加者の最 適な支払方法は次のように与えられる。
（ケース1）δ≥FS([1−πE(V)]µ)のとき、U(1) = (µ,0,0).
（ケース2）FS(0)< δ < FS([1−πE(V)]µ)のとき、(θE(V), µ−θE(V),0).
（ケース3）h(V)FS(0)≤δ ≤FS(0)のとき、U(3) = (0, µ,0).
（ケース4）h(V)FS(−πD(V)µ)< δ < h(V)FS(0)のとき、(0, µ−θD(V), θD(V)).
（ケース5）δ≤h(V)FS(−πD(V)µ)のとき、U(5) = (0,0, µ).
（証明）可能な支払分割(µE, µD)の範囲は、
D={(µE, µD) : µE, µD ≥0, µE+µD ≤µ},
である。(A-17)式と(A-18)式から、G(µE, µD)のµE方向とµD方向の少なくとも一方 の偏微分は正になるので、Dの内点はG(µE, µD)の最小化問題の解になり得ない。同様 に、(0, µ)と(µ,0)を除く線分µE +µD = µ上の点も最適解にならない。したがって、
最適解は
D1 ={(µE,0) : 0≤µE ≤µ} ∪ {(0, µD) : 0≤µD ≤µ},
の範囲に存在する。さらに、H(µE, µD)とL(µE, µD)の性質1∼3を利用すると、以下の ように最適解を求めることができる*32。
*32(A-16)式から、4と5においてはH(0,0)≥0が成り立っている。
1. H(µ,0)≤0のとき：
0≤µE < µに対してH(µE,0) <0、よって0 ≤µD ≤µに対してL(0, µD) >0 となるので、(µE, µD) = (µ,0)が最適解。
2. H(µ,0)>0かつH(0,0)<0のとき：
H(θE(V),0) = 0 を満たす θE(V) が存在する。また 0 ≤ µD ≤ µ に対して L(0, µD)>0となるので、(µE, µD) = (θE(V),0)が最適解。
3. H(0,0)≥0かつL(0,0)≥0のとき：
0< µE ≤µに対してH(µE,0) >0、および0 < µD ≤µに対してL(0, µD) >0 となるので、(µE, µD) = (0,0)が最適解。
4. L(0,0)<0かつL(0, µ)>0のとき：
L(0, θD(V)) = 0 を満たす θD(V) が存在する。また 0 ≤ µE ≤ µ に対して H(µE,0)>0となるので、(µE, µD) = (0, θD(V))が最適解。
5. L(0, µ)≤0のとき：
0≤µD < µに対してL(0, µD)< 0、よって0≤ µE ≤µに対してH(µE,0) >0 となるので、(µE, µD) = (0, µ)が最適解。
一方、H(µE, µD)とL(µE, µD)定義から、
H(µ,0)Q0 ⇐⇒ FS([1−πE(V)]µ)Qδ, H(0,0)Q0 ⇐⇒ FS(0)Qδ,
L(0,0)Q0 ⇐⇒ h(V)FS(0)Rδ,
L(0, µ)Q0 ⇐⇒ h(V)FS(−πD(V)µ)Rδ,
となるので、以上をまとめると補題5が得られる。 2 続いて定理5を示す。ケース1、ケース3、ケース5については、U(1), U(3), U(5) をそ れぞれV に代入すると、補題5から(31)式が成り立つので均衡となる。次にケース2を 示す。まず、(32)式の左辺に関して、
min
z∈[0,µ]FS([1−πE(z, µ−z,0)]z)≤FS(0), max
z∈[0,µ]FS([1−πE(z, µ−z,0)]z)≥FS([1−πE(U(1))]µ),
が 成 り 立 つ こ と か ら 、ケ ー ス 2 の δ に 対 し て (32) 式 は 解 µ∗E(δ) を も つ 。さ ら に 、 θE(U(2)) = µ∗E(δ) となるため、補題 5 から U(2) が (31) 式を満たすことが示せる。
最後にケース4を示す。h(U(5))FS(−πD(U(5))µ) < h(U(3))FS(0)の場合、(33)式の左 辺に関して、
min
z∈[0,µ]h(0, µ−z, z)FS([−πD(0, µ−z, z)]z)≤h(U(5))FS([1−πD(U(5))]µ),
z∈[0,µ]max h(0, µ−z, z)FS([−πD(0, µ−z, z)]z)≥h(U(3))FS(0),
が 成 り 立 つ こ と か ら 、ケ ー ス 4 の δ に 対 し て (33) 式 は 解 µ∗D(δ) を も つ 。さ ら に 、 θD(U(4)) = µ∗D(δ) となるため、補題 5 から U(4) が (31) 式を満たすことが示せる。
2
（ 2 ） 表 4 の計算
(10)式と(11)式を用いて計算すると πE(U(1)) = 1− eλD(1−ξ(eλQ))
1−eλQ
, πD(U(5)) = eλE(1−ξ(eλQ)) 1−λeQ
, を得る。よって、
∂πE(U(1))
∂eλE
= 0, ∂πE(U(1))
∂eλQ
≤0, ∂πE(U(1))
∂eλD
<0,
∂πD(U(5))
∂λeE
>0, ∂πD(U(5))
∂eλQ
≥0, ∂πD(U(5))
∂λeD
= 0, と計算される*33。また、(A-8)式より、
1
h(U(3)) = 1 + ζ(1−(eλE+eλD)) eλE
, 1
h(U(5)) = 1 + ζ(eλQ) eλE
, となるので、条件1のもとでは
∂h(U(3))
∂eλE
>0, ∂h(U(3))
∂eλQ
= 0, ∂h(U(3))
∂eλD
>0,
∂h(U(5))
∂eλE >0, ∂h(U(5))
∂eλQ <0, ∂h(U(5))
∂eλD = 0,
となる。これらの結果と、FS(s)が増加関数であることから、表4の増減が示される。
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2008a年、47〜100頁
*33k(x) = 1−ξ(x)1−x とすると、
k(x) = PN
ℓ=2P[L=ℓ](1−xℓ−1)
1−x =P[L= 2] + XN
ℓ=3
P[L=ℓ] 1 +
ℓ−2
X
m=1
xm
!
より、x≥ 0でk′(x) ≥ 0となる。よって ∂πE(U(1))
∂λeQ
= −λeDk′(eλQ) ≤ 0、および ∂πD(U(5))
∂λeQ
= eλEk′(eλQ)≥0が示せる。
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