3 節の補足説明と証明

（ 1 ） サイクルの構成方法について

3節（2）で述べたように、各参加者が1単位の受払いを行うことから、すべての参加者 の支払いはある1つのサイクルに含まれる。したがって、参加者の集合 N ={1, . . . , N} において、同じサイクルに含まれる参加者を1つの部分集合とすると、部分集合の全体は N^{の分割となる。}

サイクル、すなわちNの分割は日々変動するものと考え、そのランダムネスを分布 FC(m2, . . . , mN) =P[M2 =m2, . . . , MN =mN]

で与える。ここで、M_k はk 人の参加者を含むサイクルの個数を表す。参加者数はN 人 だから、常に∑N

k=2kM_k = N が成立する^*28。例えば、参加者数N = 8とし、確率1/2 で長さ2のサイクルが4つ、確率1/2で長さ2のサイクルが1つと長さ3のサイクルが 2つできる場合は、

F_C(4,0, . . . ,0) =F_C(1,2,0, . . . ,0) = 1 2 で、それ以外は0となる。

FC が与えられると、無作為に選んだ参加者が含まれるサイクルの長さLの分布は、

P[L=ℓ] = ∑

m2,...,mN

ℓmℓ

N FC(m2, . . . , mN)

で計算できる。上の例では、P[L= 2] = 1/2·1 + 1/2·2/8 = 5/8、P[L= 3] = 1/2·0 +

1/2·6/8 = 3/8となる。なお、参加者ではなく、サイクルを（長さに無関係に）無作為に

選ぶ場合のサイクル長の分布は、一般にLの分布と異なるので両者を区別されたい。

（ 2 ） 補題 1 の証明

無作為に選んだ参加者を参加者1 とし、参加者1を含むサイクルの長さをL、参加者 1の支払人を参加者2、参加者2の支払人を参加者3、というように参加者Lまで番号を 付ける。参加者1がDを選択した場合に支払いを受け取るのは、参加者2がE、参加者 2がQで参加者3がE、以下同様に、参加者 1 ∼ L−1がQで参加者L がE を選択 する場合となる。仮定1のもとでは、各参加者は互いに独立に確率eλ_X+λ_X で支払方法

*28PN

k=2km_k̸=N に対しては、F_C(m₂, . . . , m_N) = 0と定める。

X ∈ {E, Q, D}を選択すると考えられるから、

πD(Λ) =

∑N ℓ=2

P[L=ℓ]

ℓ−2

∑

k=0

(eλQ+λQ)^k(eλE+λE)

=

∑N ℓ=2

P[L=ℓ]{1−(eλ_Q+λ_Q)^ℓ−1}(eλ_E+λ_E) 1−(λe_Q+λ_Q)

= (1−ξ(λeQ+λQ))(eλE+λE) 1−(eλ_Q+λ_Q) ,

と計算することができる。次に参加者1がE を選択した場合に支払いを受け取るのは、

Dを選択して支払いを受け取る場合の他の参加者の選択に加えて、参加者2∼ Lがすべ てQを選択する場合である。したがって、

πE(Λ) = πD(Λ) +

∑N ℓ=2

P[L=ℓ](eλQ+λQ)^ℓ−1

=πD(Λ) +ξ(eλQ+λQ)

= eλE+λE+ξ(λeQ+λQ)(eλD+λD) 1−(λeQ+λQ) ,

となる。参加者1がQを選択した場合、受取りによって決済されるのはDを選択した場 合と同じで、オフセット決済されるのは参加者2∼LがすべてQを選択する場合だから、

π_Q(Λ) = π_E(Λ)となる。 2

（ 3 ） 定理 1 の証明

(6)式、(7)式およびπ_E(Λ) = π_Q(Λ)から、

CE(Λ) QCQ(Λ) ⇐⇒ Θ1 Qδ (A-1)

となる。また(7)式と(8)式から、

C_Q(Λ)QC_D(Λ) ⇐⇒ h(Λ)Θ₂ Qδ (A-2) となる。Θ1 >Θ2 とh(Λ) <1から、Θ1 ≤δならばh(Λ)Θ2 < δが成り立つ。したがっ て、任意のΛに対して

Θ1 ≤δ =⇒ CE(Λ) ≤CQ(Λ)< CD(Λ), (A-3) h(Λ)Θ₂ ≤δ≤Θ₁ =⇒ C_Q(Λ)≤min{C_E(Λ), C_D(Λ)}, (A-4) δ ≤h(Λ)Θ₂ =⇒ C_D(Λ)≤C_Q(Λ) < C_E(Λ), (A-5) が成り立つ^*29。

*29 (A-3)式でC_E(Λ) = C_Q(Λ)となるのはδ= Θ1の場合のみである。同様に、(A-4)式でC_Q(Λ) = C_E(Λ)となるのはδ= Θ₁、C_Q(Λ) =C_D(Λ)となるのはδ=h(Λ)Θ₂の場合、(A-5)式でC_D(Λ) = C_Q(Λ)となるのはδ=h(Λ)Θ₂の場合のみである。

Θ₁ ≤δの場合、(A-3)式から

C_E(Λ^(E))≤C_Q(Λ^(E))< C_D(Λ^(E)),

が成り立つので、定義1よりΛ^(E) が均衡となる。(A-4)式にΛ = Λ^(Q) を代入すると、

h(Λ^(Q))Θ₂ ≤δ≤Θ₁ の場合は

C_Q(Λ^(Q))≤min{C_E(Λ^(Q)), C_D(Λ^(Q))},

となりΛ^(Q)が均衡となる。同様に(A-5)式にΛ = Λ^(D)を代入すると、δ ≤h(Λ^(D))Θ₂ の場合は

C_D(Λ^(D))≤C_Q(Λ^(D))< C_E(Λ^(D)),

となりΛ^(D)が均衡となる。以上で定理1が示された。 2

（ 4 ） 定理 2 の証明

補題 2 条件1を仮定する。2つの支払選択ベクトルΛ⁽ⁱ⁾ = (λ⁽ⁱ⁾_E , λ⁽ⁱ⁾_Q , λ⁽ⁱ⁾_D) (i = 1,2) が

λ⁽¹⁾_E ≥λ⁽²⁾_E かつ λ⁽¹⁾_Q ≤λ⁽²⁾_Q , (A-6) を満たすならば、

h(Λ⁽¹⁾)≥h(Λ⁽²⁾), (A-7)

が成り立つ。さらに、(A-6) 式の少なくとも一方が不等式ならば、(A-7) 式も不等式と なる。

（証明）補題1より、支払選択ベクトルΛ = (λ_E, λ_Q, λ_D)に対して 1

h(Λ) = 1

h(λ_E, λ_Q, λ_D) = 1 + ζ(λeQ+λQ) eλE+λE

, (A-8)

が成り立つ。よって、条件1および(A-6)式が成り立てば、(A-7)式が成立する。(A-6) 式の少なくとも一方が不等式ならば、(A-8)式から(A-7)式も不等式となる。 2

次に、支払選択ベクトルを比較するための半順序を導入する。

定義 4 2つの支払選択ベクトルΛ⁽ⁱ⁾= (λ⁽ⁱ⁾_E , λ⁽ⁱ⁾_Q , λ⁽ⁱ⁾_D) (i= 1,2) に対して、

λ⁽¹⁾_E ≥λ⁽²⁾_E かつ λ⁽¹⁾_D ≤λ⁽²⁾_D , (A-9) のとき、Λ⁽¹⁾ ≼Λ⁽²⁾と定義する^*30。さらに、(A-9)式の少なくとも一方が不等式のとき、

Λ⁽¹⁾ ≺Λ⁽²⁾ と定義する。

*30定義4の≼は、確率分布に対する確率順序の一種と考えることができる。

直観的には、支払選択ベクトルの間にΛ⁽¹⁾ ≼Λ⁽²⁾ の順序がある場合、Λ⁽¹⁾ の方が早い タイミングで支払いが起こりやすく、その結果として受取りも起こりやすいことを意味す る。実際、Λ⁽¹⁾ ≼Λ⁽²⁾の場合、受取確率と平均コストの間に以下の大小関係が成り立つ。

補題 3 Λ⁽¹⁾ ≼Λ⁽²⁾ ならば、任意のX ∈ {E, Q, D} ^に対して

π_X(Λ⁽¹⁾)≥π_X(Λ⁽²⁾), (A-10) CX(Λ⁽¹⁾)≤CX(Λ⁽²⁾), (A-11) が成り立つ。さらに、Λ⁽¹⁾ ≺Λ⁽²⁾ならば、(A-10)式と(A-11)式は不等式となる。

（証明）サンプルパスの議論を利用する。Λ = (λE, λQ, λD)に対して、参加者1が含まれ るサイクルの他の参加者2∼Lの支払方法を

参加者iは







E を選択、 0≤Ui <eλE+λE,

Qを選択、 eλE+λE ≤Ui <eλE+λE+eλQ+λQ, Dを選択、 eλE+λE+eλQ+λQ ≤Ui ≤1,

(A-12)

で定める。ただしUi (i = 2, . . . , L)は互いに独立な[0,1]上の一様乱数である^*31。この とき、E, Q, Dを選択する確率はそれぞれeλ_E +λ_E,λe_Q+λ_Q,eλ_D+λ_Dとなる。Λ⁽¹⁾ と Λ⁽²⁾ に対して、(A-12)式に従ってサイクル中の参加者の行動を選択する。ただし、一様 乱数UiはΛ⁽¹⁾とΛ⁽²⁾ に共通のサンプルを使用する。Λ⁽¹⁾ ≼Λ⁽²⁾ を仮定すると、

参加者iがΛ⁽¹⁾ でEを選択 ⇒ Λ⁽²⁾ ではE またはQを選択、

参加者iがΛ⁽¹⁾ でQを選択 ⇒ Λ⁽²⁾ ではQまたはDを選択、

参加者iがΛ⁽¹⁾ でDを選択 ⇒ Λ⁽²⁾ではDを選択、

となる。Λ⁽²⁾ の下で、参加者1がある支払方法を選択し、その結果受取りが発生したと する。Λ⁽²⁾ をΛ⁽¹⁾ に変更すると、このサイクルに含まれる支払方法のうち、D → Q、 Q → E に変更される部分が生じるが、このように変更されても参加者 1はやはり支払 いを受け取ることができる。したがって、Λ⁽²⁾ で参加者 1の受取りが発生するならば、

Λ⁽¹⁾ においても受取りが発生する。この議論は任意のサンプル Ui に対して成り立つか ら、Λ⁽¹⁾ ≼Λ⁽²⁾ ならばπX(Λ⁽¹⁾)≥ πX(Λ⁽²⁾)となることが示された。特にΛ⁽¹⁾ ≺Λ⁽²⁾ ならば、D→QまたはQ→E への変更が正の確率で起こるため、(A-10)式は不等式と なる。

(6)式〜(8)式より、CE(Λ), CQ(Λ), CD(Λ)はいずれもπE(Λ), πQ(Λ), πD(Λ)の減少関 数だから、上記の議論とあわせるとΛ⁽¹⁾ ≼(≺)Λ⁽²⁾ ならばCX(Λ⁽¹⁾)≤(<)CX(Λ⁽²⁾)が

成り立つ。 2

最後に定理 2を示す。Λ^(Q) = (0, λ,0)とΛ^(D) = (0,0, λ)は(A-6)式を不等式で満た すから、補題2よりh(Λ^(Q)) < h(Λ^(D))となる。また、Λ^(Q) ≺Λ^(D) だから、補題3よ り、任意のX に対してC_X(Λ^(Q))< C_X(Λ^(D))が成り立つ。 2

*31仮定1のもとでは、参加者2∼Lは独立に確率eλ_X+λ_Xで支払方法X ∈ {E, Q, D}を選択する。