井上教授によると，質量・半径の推定は、以下の通りである．
質量𝑀１と質量𝑀2の星がそれぞれ中心から距離𝑎だけ離れて，互いの重心の周りを回転角 速度Ωで回っているとし，回転周期をΤとする．
また，連星の二つの星の質量，半径，観測される明るさ（地球上観測装置が受け取る単 位 面 積 あ た り 、 単 位 時 間 あ た り の 放 射 エ ネ ル ギ ー 量 ） を そ れ ぞ れ 𝑀１，𝑅1，𝐹1と 𝑀2，𝑅2，𝐹2とする．
ここで，質量の大きい方の星を星1とし，もう一つを星2とする．そして，この2つの 星とも，主系列星であると仮定する．主系列の星では，星の半径はその質量にほぼ比例す るので，
𝑅
1= (
𝑀𝑀1⨀
) 𝑅
⨀𝑅
1= (
𝑀𝑀2⨀
) 𝑅
⨀}
（1）と近似できる．ここで，𝑀⨀と𝑅⨀は太陽質量と太陽半径で，
𝑀⨀= 1.989 × 1030 [ kg]
𝑅⨀= 6.960 × 108 [𝑚]
図 9 連星間の様子
40 また，V－バンドでは，𝐹はほぼMの4乗に比例するので，
𝐹
1= (
𝑀1𝑀⨀
)
4𝐹
⨀𝐹
2= (
𝑀𝑀2⨀
)
4𝐹
⨀}
（2）と近似する．ここで𝐹⨀は太陽
それぞれの星の中心の，重心からの距離を𝑟1, 𝑟2とすると，
𝑟
1=
𝑀 𝑀2１+𝑀2
𝑎 𝑟
2=
𝑀 𝑀1１+𝑀2
𝑎
}
（3）
である。
それぞれの星の回転軌道は、円であると近似すると、これらの星の回転角速度Ωは，一定 値で，
Ω =
2𝜋Ｔ（4）である．
星1に着目すると，星1が重心の周りを回るときの遠心力は， 𝑀１𝑟1Ω2，一方𝑀2から受 ける重力は，
𝑀
１𝐺𝑀𝑎22で，両者はつりあっているはずだから，𝑀
１𝑟
1Ω
2= 𝑀
１𝐺𝑀2 𝑎2 （5）である．
ここで，𝐺は，万有引力定数で，
41
𝐺 = 6.67408 × 10
−11𝑚
3𝑘𝑔
−1𝑠
−2である.
(1)式を(3)式にいれ、さらに(2)式によりΩをΤに置き換えて整理すると，
𝑎 = [
𝐺(𝑀１+𝑀2)(2𝜋)2
𝑇
2]
1
3
（ 6 ）
を得る．
𝑇は，観測データより，
𝑇 = 81648.91584 [𝑠]
とする.
簡単のため，われわれ観測者は，2 つの星の回転面上の遠方にいると仮定する．すると，
片方の星があいての星を隠す食は，1周期の間に，星1が星2を隠す時と，星2が星1を 隠す時の2回起こる．ここで，星2が，星1の前を横切る方の食を食Ⅰ，星 1 が星 2 を隠 す方を食Ⅱと名付ける．又，この連星の観測には第 3 星の明るさも足されているので，そ の星を星3とする．
まず，食でないときの連星の明るさを𝐹0とすると，
𝐹
0= 𝐹
1+ 𝐹
2+ 𝐹
3（7）である．
食Ⅰの時は，星 1 の手前に星 2 がいるので，星 1 の明るさが星 2 に隠された分だけ暗く なる．
図 10 食Ⅰの様子
42 の円のどこからも同じ強度でやってくると近似すると，π𝑅22の断面積をもった星 2 で隠さ れた部分の強度は，
(
π𝑅π𝑅2212
) 𝐹
1となる．よって，食Ⅰの極小時の明るさを𝐹Ⅰとおくと，𝐹
Ⅰ＝ (1 −
π𝑅π𝑅2212
) 𝐹
1+ 𝐹
2+ 𝐹
3（8）である．
食でない時の連星の明るさ𝐹0からの減光量を△ 𝐹Ⅰとおくと，(5)(6)式より，
△ 𝐹
Ⅰ= 𝐹
0− 𝐹
Ⅰ= (
𝑅𝑅21
)
2𝐹
1（9）が得られる．
一方，食Ⅱの時は，𝑀2は𝑀1の後ろに隠れることになるので，食Ⅱにおける極小時の明る さ𝐹Ⅱは，
𝐹
Ⅱ= 𝐹
1+ 𝐹
3（10）となり，その減光量△ 𝐹Ⅱは，
△ 𝐹
Ⅱ= 𝐹
0− 𝐹
Ⅱ= 𝐹
2（11）となる．
ここで，△ 𝐹Ⅰと△ 𝐹Ⅱを比較する．
(1)(2)式を(9)(10)式に代入する．
△ 𝐹
Ⅰ= (
𝑀𝑀21
)
2𝐹
1（12）△ 𝐹
Ⅱ= (
𝑀𝑀21
)
4𝐹
1（13）となるから，𝑀1＞𝑀2の時は，
43
△ 𝐹
Ⅰ＞ △ 𝐹
Ⅱすなわち，食Ⅰの方が食Ⅱより深い食（主極小）となることがわかる．
さて，食でない時の連星の等級をｍ0，食Ⅰの時の極小時の等級をｍⅠとおくと，
𝑚
0= −2.5(log 𝐹
0− log 𝐹
∗)
（14）ここで𝐹∗は，V等級0の星の明るさである．
𝑚
Ⅰ= −2.5 (log 𝐹
Ⅰ− log 𝐹
∗)
であるから，極小時の等級の増加量△ｍⅠは，
△ 𝑚
Ⅰ= 𝑚
Ⅰ− 𝑚
0= −2.5 (log 𝐹
Ⅰ− log 𝐹
0)
= −2.5 log (
𝐹𝐹Ⅰ0
)
（15）となる．
今，
𝑓 =
𝐹Ⅰ𝐹0（16）
とおくと，𝑓は，
𝑓 = 10
−△𝑚Ⅰ
2.5 （17）
で求まる．
44
𝑓 =
𝐹
1(1 − π𝑅
2π𝑅
12) + 𝐹
2+ 𝐹
3𝐹
1+ 𝐹
2+ 𝐹
3=
𝐹1[1−(𝑀2𝑀1)2]+(𝑀2
𝑀1)4𝐹1+𝐹3 𝐹1+(𝑀2
𝑀1)4𝐹1+𝐹3 （18）
が得られる．
なお，食でないときの等級を
𝑚
0，
𝐹3に対応する等級を𝑚
3(＝7.4等級)とすると，𝑚
0 −𝑚
3= −2.5[log(𝐹
1+ 𝐹
2+ 𝐹
3) − log 𝐹
3]
= −2.5 log
𝐹
1+ 𝐹
2+ 𝐹
3 𝐹3なので，
1 + 𝑔
𝑔 = 10
−𝑚02.5−𝑚3より，𝑔が求まる．
ここで，
𝑔 = 𝐹
3𝐹
1+ 𝐹
2とすると，
𝑓 =[1 + (𝑀2
𝑀1)2] + (1 + 𝑔) (𝑀2
𝑀1)4 (1 + 𝑔) + (1 + 𝑔) (𝑀𝑀21)4
が得られ，
𝓍= (
𝑀𝑀21
)
2（19）45 とおくと，(18)式から，
(1 + 𝑔)(1 − 𝑓)𝑥
2− 𝑥 + (1 + 𝑔)(1 − 𝑓) = 0
（20）が得られ，得られる2根のうち，0 ≤ 𝑥 ≤ 1の範囲の根として，
𝑥
Ⅰ=
2(1−𝑓)1(1 − √1 − 4(1 − 𝑓)
2)
（21）が求まる．これより，
𝑀2
𝑀1
= √𝑥
Ⅰ（22）の制限が得られる．
ちなみに，食Ⅱの極小における等級の増加量△ 𝑚Ⅱは，
△ 𝑚
Ⅱ= −2.5 log 𝐹
Ⅱ𝐹
0= −2.5 log
((1+𝑔)(1+𝑥1+𝑔
)+𝑔𝑥
22)（23）
となるはずである.
さて，今考えている連星では，2つの星が重心の周りを回っている.
図 11 連星と重心の回転の様子
46 連星の回転角速度Ωを用いると，
φ = Ω(𝑡 − ｔ
0)
（24）と表すことができる.
φは，時間とともに増加するわけだが，2π増えるごとに，同じ位置関係にもどるので，
𝑛 =整数部分
(
2πφ)
とすると，
φ =2
π𝑛 + ∆φ
（25）とおくことができる.
そして，∆φが同じ時は，図上で同じ位置にいることになる.この∆φは，0 ≤ ∆φ ≤ 2πの値を とるが，これを2πで割って，
α =
∆φ2π（26）
を定義し，位相と呼ぶ. 範囲は0 ≤ α ≤ 1である.
(24)式を2πで割ると，
φ 2𝜋
=
Ω2𝜋
(𝑡 − ｔ
0
) =
(𝑡−ｔ0)𝑇 （27）
となるが，この星の整数部分と小数部分を分けると，
(𝑡−ｔ0)
𝑇
= 𝑛 + 𝛼
（28）となり，少数部分が連星周期の位相に対応していることがわかる.
47 視線方向上で，星1の外周に，星2の外周が接した時から，食が始まると考えられる.そ の時，星1から見た観測者の方向と，星の方向との角度を∆φとおき，直角三角形𝑃1， 𝑃2， 𝑃3 を考える.
すると，観測者の方向から見て，2つの星が接する時なので，
𝑎 sin ∆φ
𝐸= 𝑅
1+ 𝑅
2（29）となる.
∆φ < 1だとして，
sin ∆φ
𝐸≃ ∆φ
𝐸（30）と，近似すると，(21)式は
𝑎 ⋅ ∆φ
𝐸= 𝑅
1+ 𝑅
2（31）と，近似される. (26)式より，
𝑎 ⋅ 2𝜋 ⋅ ∆α = 𝑅
1+ 𝑅
2（32）図 12 観測者からの食
48
𝑎 =
2𝜋∆α𝑅⨀ (𝑀1𝑀+𝑀2)⨀
（33）
を得る.
(6)式を少し変形した，
𝑎 = [ 𝐺(𝑀
１+ 𝑀
2) (2𝜋)
2𝑇
2]
13
= [
(2𝜋)𝐺𝑀⨀2𝑇
2]
1
3
(
𝑀1𝑀+𝑀2⨀
)
1
3
（6）’
と(34)式を連立させると，
𝑀1+𝑀2
𝑀⨀
= [
2𝜋𝐺𝑀⨀𝑇2(Δα)3𝑅⨀3
]
1
2（34）
が求まる.
最終的に，
𝑀1= 1
1 + √
𝑥
Ⅰ(𝑀1+ 𝑀2)𝑀2= √
𝑥
Ⅰ1 + √
𝑥
Ⅰ(𝑀1+ 𝑀2)が得られる．
49