行列の正定値

第4章 固有値と固有ベクトル 86

第4章 固有値と固有ベクトル 87 は正値（半正値）エルミート行列になり、これは確かにB² =Aを満たしているので。

ところで任意の複素数u= a+ ibは√

uu^∗e^iθ とかけた。行列には似たようなことが できるのであろうか？そこで0でない数を正則行列に対応づけ、、正の実数は正値エル ミート行列、e^iθはユニタリ行列に対応させて考えると、次の定理が成り立つことが予 想される。

Theorem 4.14 任意の正則行列Aは正値エルミート行列Hとユニタリ行列U の積と して一意的にあらわすことができる。

証明) H =√

AA^†は正値エルミート行列。ここでU =H⁻¹Aとおくと、

U U^† =H⁻¹AA^†(H⁻¹)^†=H⁻¹H²H⁻¹ =I となり、U はユニタリ行列となる。

一意性は以下のようにして示せば良い。別のあらわ仕方が有ったとしてA=HUと すると、

HU =HU →H =HU U^† 一方、H =H^† =UU^†Hより、

H² =HU U^†UU^†H =H² となる。このH², H²をユニタリ行列V で対角化すれば

V^†H²V = (V^†HV)² = (V^†HV)²= diag(α1, α2,· · · , α_n) となり、

V^†HV =V^†HV = diag(√

α₁,· · · ,√ α_n)

が示されるので、H =H。これからU =Uが導かれるので結局一意的にあらわされ ることがわかる。

4.6.1 _{実対称行列}

エルミート行列の中で行列要素がすべて実数のものを実対称行列とよぶ。固有値は 実数で、特性方程式det(A−αI)の解をα_iとすると、

(A−α_iI)ui =0

の解は実の非自明解を持つ。つまり固有ベクトルは実数ととれる。よって変換行列U も行列要素を実数とすることができる。このように成分が実のユニタリ行列を直交行 列とよび、通常Oと書く。ゼロ行列と紛らわしいので注意。

第4章 固有値と固有ベクトル 88

問 ⎛

⎜⎝

1 1 0 1 0 1 0 1 1

⎞

⎟⎠

を対角化せよ。

4.6.2 _２次形式

x₁, x₂,· · ·, x_nの２次関数、

f(x₁, x₂,· · · , x_n) = n i,j=1

a_ijx_ix_j

を２次形式と名づける。ここでx_ix_jの係数は(a_ij+a_ji)x_ix_jなのでa_ijの選び方は任意 性がある。そこでa_ij = a_jiという条件を付け加える。するとa_ij を行列要素とするA は実対称行列になり

f(x1, x2,· · · , x_n) =x^tAx となる。ここでAを対角化する行列をOとおくと、

f(x₁, x₂,· · ·, x_n) = x^tOO^tAOO^tx

= y^tdiag(α1,· · · , α_n)y

=

i

α_iy_i²

となる。ここでy=O^txである。さらにy_i =z_i/

|α_i|とおくと、固有値を大きさの順 にならべて

f =z₁²+· · ·+z_p²−z²_p+1− · · · −z²_p+q

をうる。これを二次形式の標準形とよぶ。上式のように係数が正のものがp個、負の ものがq個あるとき、２次形式の符号は(p, q)であるという。

4.6.3 主小行列

A_kとは行列Aの最初のk行k列をとってきたものである。これを使うと、行列の正 値性がわかる。

第4章 固有値と固有ベクトル 89 Theorem 4.15 実対称行列Aにたいして、x^tAx>0がすべての0でないxに対して 成り立っているためには、detA_k >0が必要十分条件である。ここで|A_k|は主小行列 式である。

必要条件)

xとして最初のk行以外はすべて0のベクトルxkをとると、

0<x^tAx=x^t_kA_kxk

A_kは実対称行列なので対角化でき、定理4.13より固有値はすべて正ということがわか る。よってdetA_k>0。

十分条件)

数学的帰納法で示す。n−1のとき、この定理が成立していると仮定する。（n= 1なら 確かに成立している。）この仮定より、|A1|,|A2|,· · · ,|A_n−1|>0が成り立っていれば、

x^t_n−1A_n−1x_n−1 >0が成立。そこで(n, n)型行列Aを

A_n−1 B B^t c

とかく。cはスカラーである。

A=

I_n−1 0 B^tA⁻¹_n−1 1

A_n−1 0

0^t c−B^tA⁻¹_n−1B

I_n−1 A⁻_n−1¹ B

0^t 1

とかけるので D=

A_n−1 0

0^t c−B^tA⁻_n−¹₁B

, P =

I_n−1 A⁻_n−¹₁B

0^t 1

とすると、

x^tAx=y^tDy Dが正定値ならx^tAxも正定値。

|A|=|A_n−1|(c−B^tA⁻_n−¹₁B), |A|=|A_n|>0, |A_n−1|>0 より、e=c−B^tA⁻_n−¹₁B >0となる。こうして

y^tDy=y^t_n−1A_n−1y_n−1+ey²_n>0 こうして正値が示される。

問 逆にx^tAx<0のためには(−1)^k|A_k|>0が必要十分であることを示せ。

第4章 固有値と固有ベクトル 90

4.6.4 アダマール (Hadamard) の不等式

正値エルミート行列の性質を用いて、以下のことがわかる。

i) Aを正値エルミート行列とする。このとき A=

A_n−1 b b^t a_nn

とし、

detA=a_nndetA_n−1−b^tadjA_n−1b よって、

|A| ≤a_nn|A_n−1| ≤a_nna_n−1n−1|A_n−2| ≤ · · · ≤!

i

a_ii

が成立する。等号は各ステップでb=0なら成り立つので対角行列の場合である。

ii) Aを任意の行列とする。このとき 1. detA= 0ならdetA^†A= 0

2. detA= 0ならB =A^†Aは正値エルミート。よって、

detA^†A =|detA|² ≤!

i

b_ii, b_ii=a^†_iai =|ai|² こうして

0<|detA| ≤ ||a1|| × ||a2|| × · · · × ||an||=

!n i=1

||ai||

等号が成立するのはb_ij = (ai,aj) = 0(i = j)、すなわちaiが互いに直交すると きである。

以上はアダマールの不等式と呼ばれている。