正準座標(q, p)の変換(q, p)⇒(Q, P) = (qcosϕ+psinϕ,−qsinϕ+pcosϕ) は正準変換か（ϕは定数）？
数値計算のための解析力学 124
6.14練習問題
【ヒント】正準変換の直接条件(6.17)–(6.20)をすべて満たしていれば正準変換で ある。あるいは、ポアッソン括弧による判定条件(6.124)–(6.126)で確認しても よい。
解答例1 正準変換の直接条件による証明。
(Q, P) = (qcosϕ+psinϕ,−qsinϕ+pcosϕ) (6.189) の逆変換は
(q, p) = (Qcosϕ−P sinϕ, Q sinϕ+P cosϕ) (6.190) である。微分して
(i) ∂Q∂q = cosϕ (ii) ∂P∂p = cosϕ
従って式(6.17)が成り立つ。他の式(6.18)–(6.20)も同様。
解答例2 ポアッソン括弧による証明。式(6.111)より
{Q, Q}={P, P}= 0 (6.191)
は計算するまでもない。次に {Q, P}=∂Q
∂q
∂P
∂p −∂P
∂q
∂Q
∂p (6.192)
= (cosϕ) (cosϕ)−(−sinϕ) (sinϕ) (6.193)
= 1 (6.194)
自由度N = 1のときの条件(6.124)–(6.126)が成り立つので、これは正準変換で ある。
数値計算のための解析力学 125
Chapter 7
ハミルトンの原理
この講義の出発点は、ラグランジアンが
L(q1, q2,· · ·, qN,q˙1,q˙2,· · ·,q˙N) で記述される系の運動方程式が
d dt
(∂L
∂q˙i )
−∂L
∂qi = 0 (i= 1,2,· · · , N)
で与えられるという事実であった。今回はこのラグランジュの運動方程式の起源 を説明する。
7.1 汎関数と変分法
実関数は「実数に実数が対応する」写像であるのに対して、「関数に実数が対 応する」写像が汎関数である。
例１：ライフガード問題 海岸から離れたところに立っているあなたが、斜め前 方の海におぼれている人を見つけた。どうすればもっとも早くたどり着けるであ ろうか？陸の上を走る速さV1海の中を泳ぐ速さV2がそれぞれ一定とし、図のよ うに座標をとるとおぼれている人のところまでたどり着くのにかかる時間Tはあ なたが描く軌跡y=y(x)の汎関数である。V1=V2（つまり走る速さ＝泳ぐ速さ）
の場合、Tを最小にするy(x)は直線であることは自明であろう。ではV1̸=V2の 場合はどうであろうか？
127
第7 章 ハミルトンの原理
x y
例2：最速降下線 下図のように座標x, yをとり、原点(0,0)と座標(a, A)を通 る曲線y=y(x)を考える。下向き（+y方向）の重力（重力加速度g）を考え、原 点から初速ゼロで出発して、この曲線を坂道y(x)のように滑りおりる質点（質
量m）が終点(a, A)まで滑りきるのにかかる時間をT とする。T も汎関数の例
である。
a
y
y=y(x)
原点を出発点にとり、曲線y=y(x)に沿って長さをsとすると、エネルギー の保存から
m
2s˙2−mgy(s) = 0 (7.1)
数値計算のための解析力学 128
7.1汎関数と変分法 である。従って
˙ s=√
2gy(s) (7.2)
微小な距離∆sを通過するのにかかる微小時間を∆tとすると、
∆t= ∆s
˙
s (7.3)
= ∆s
√2gy (7.4)
=
√1 + (y′)2
√2gy ∆x (7.5)
従って、
T = 1
√2g
∫ a 0
√1 + (y′)2
√y dx (7.6)
となる。T を最小にする関数形y(x)を最速降下線と言う。ただし、y(0)とy(a) は固定する。定数倍は関係ないから、最速降下線とは汎関数
T(y, y′) =
∫ a 0
√1 + (y′)2
√y dx (7.7)
を最小にする曲線y(x)である。
摩擦のない世界では、エネルギーを全く使わずに水平移動することができる。
2地点を地下で結ぶ曲線状のトンネルを掘れば良い。急いでいる人たちのために は、その曲線の形が最速降下線にするのが良い。
後で述べる変分法を使えば、最速降下線を具体的に求めることができる。そ の答えはサイクロイドである。
例3：極小曲面 曲線y =y(x) (0≤x≤a)をx軸のまわりに回転してできる 曲面の面積S[y]を考えよう。
a y
y=y(x)
a y
y=y(x)
数値計算のための解析力学 129
第7 章 ハミルトンの原理
x軸方向の幅∆xの細くて円形のリボンの面積は∆S= 2πy×√
∆x2+ ∆y2= 2πy×√
1 + (y′)2∆xだから S= 2π
∫ a 0
y(x)√
1 + (y′(x))2dx (7.8)
である。y(0)とy(a)は固定するという条件の下、S(y, y′)を極小にする関数形 y(x)何だろうか？ これを極小曲面という。定数倍2πは関係ないので、極小曲面 を求めるためには、汎関数
S(y, y′) =
∫ a 0
y(x)√
1 + (y′(x))2dx (7.9) を極小にする関数y=y(x)を求めれば良い。
シャボン玉のように、石けん水でできる膜の面は面積が最小である。向かい 合った二つの円を石けん水につけてできる膜が上の極小曲面である。（ただし細 かいことをいえば、極小曲面が必ずしも面積最小ではない。二つの円が離れ過ぎ ていると、石けん水で膜を張ることはできない。）
汎関数の極値を求める問題を解く方法は変分法と呼ばれる。関数y(x)が極値 をとるxの値を求める方法が微分法であるのに対し、汎関数I(y)が極値をとる関 数y(x)を求める方法が変分法と言える。変分法を使えば汎関数(7.7)や(7.9)を 最小にする関数形y=y(x)を求めることができる。
まず微分法の復習をしよう。関数y =y(x)についてx=x0でテーラー展開 すると
y(x0+ϵ) =y(x0) +ϵ∆y(x0) +O(ϵ2) (7.10) ここで
∆y(x0) =y′(x0) (7.11)
は微分である。関数y(x)がx0で極値をとるとは、x0でのyの微分∆yがゼロと いうことである。
y
0(x)
y
0(x)+εη(x)
同じように汎関数の極値について考えてみよう。汎関数I(y, y′)が関数y0(x) で極値をとるということは、関数y0(x)を、その関数の形から少しだけ変化させ 数値計算のための解析力学 130
7.2ハミルトンの原理