結果と考察

このとき

,

DL

_I

(x) = [ − 1.4490, − 0.3471]x

₁⁴

+ [ − 1.1067, 1.1075]x

₁²

x

₂²

+ [ − 1.8442, − 0.9046]x

₂⁴ と算定される

.

次に

, ∀ y ∈ { y | || y ||

w

= 1 }

に対して

, DL

_I

(y) < 0

を満たしているかについて確認する

.

この検証方法は次の通りである

.

方法

6.2

 矩形

D ˜

を以下のように定める

.

D ˜ := { x | − 0.38 ≤ x

₁

≤ 0.38, − 0.38 ≤ x

₂

≤ 0.38 } .

さらに

,

矩形

D ˜

の外周を

N

等分した区間を

[l

i

] (i = 1, 2, . . . , N )

とおく

.

このとき

, ∀ i ≤ N

に対して

,

DL

_I

([l

_i

]) < 0

を満たしているかどうかを確認する

.

なおこの不等式は

,

区間の最大値が負であるこ とを意味する

.

矩形

D ˜

の外周を

512

等分した区間を

[l

_i

] (i = 1, 2, . . . , 512)

とおく

.

このとき

,

任意の

i

に 対して

,

DL

_I

([l

_i

]) < 0

を満たしていることが確認できた

.

したがって

, D

_L

= ˜ D

_Lとして操作を終了する

.

図

1: L(x)

の

Lyapunov

等高線

7 ^{まとめと今後の展望}

本論文では

,

先行研究

[5], [6]

による手法を参考にして

, 2

次元離散力学系の非双曲型不動 点近傍での

Lyapunov

関数を精度保証法によって構成することを試みた

.

このとき

, J

₁の 一部の場合では

, [5], [6]

による手法が適用可能であることがわかった

.

しかしながら

,

現時 点では

J

₁の場合における精度保証法による局所

Lyapunov

関数の体系的な構成には至っ ていない

.

その理由として

, span{ h

₁

. . . h

₈

}

の次元が

θ

によって変化することから

,

場合分 けが必要なことが挙げられる

.

本論文では

, ∆L

の

4

次項までの考察しか述べなかったが

,

より高次の項に対しても回転 角

θ

に対する場合分けが必要だと予想される

.

したがって

, ∆L

における

5

次以上の項に 対して

,

さらに考察していきたい

.

また

,

様々な数値例を用いて詳しい状況を確認するこ とにより

,

その考察を深めていきたい

.

A ^付録

この節では

,

節

5

で述べなかった

J

₂

, J

₃

, J

₄

, J

₅の場合についての考察について述べる

.

A.1 J

₂の場合

J

2

= [

1 0 0 − 1

]

の場合について考察を行う

. 1.

実対称行列

Y

の決定

まず

, ∆ L

における

2

次項の部分が

0

になるように

Y

を決める

. J

₁のときと同様に

a, b, c ∈ R

に対して

,

Y :=

[ a b b c

]

とおいて

, J

^T

Y J − Y

を実際に計算すると

, J

^T

Y J − Y

の固有値

λ

を求めると

, λ = ± 2b

となる

.

よって

, b = 0 ,

すなわち

Y = [

a 0 0 c

]

とすればよい

.

2. q

⁽²⁾

(u)

についての考察

次に

, ∆ L

における

3

次項の部分が

0

となるように

q

⁽²⁾

(u)

を選べるかについて考察 する

.

J

1の場合と同様に

,

Jq

⁽²⁾

(u) − q

⁽²⁾

(Ju) = − p

⁽²⁾

(u)

を満たすような

q

⁽²⁾

(u)

を選ぼう

.

u = (u

₁

, u

₂

)

^T に対して

,

Ju = [

u

₁

− u

₂

]

である

.

また

, J

1の場合と同様に

, ϕ

⁽²⁾₁

, ϕ

⁽²⁾₂

, ϕ

⁽²⁾₃

, ϕ

⁽²⁾₄

, ϕ

⁽²⁾₅

, ϕ

⁽²⁾₆ を定め

, p

⁽²⁾

(u) , q

⁽²⁾

(u)

を

 

 

 



 

 

 

− p

⁽²⁾

(u) =

∑

6 j=1

p

⁽²⁾_j

ϕ

⁽²⁾_j

(u),

q

⁽²⁾

(u) =

∑

6 j=1

q

_j⁽²⁾

ϕ

⁽²⁾_j

(u) ∈ span { ϕ

⁽²⁾₁

, ϕ

⁽²⁾₂

, ϕ

⁽²⁾₃

, ϕ

⁽²⁾₄

, ϕ

⁽²⁾₅

, ϕ

⁽²⁾₆

}

と表す

.

さらに

,

L

₂

(q

⁽²⁾

(u)) := Jq

⁽²⁾

(u) − q

⁽²⁾

(Ju)

とおくと

,

L

2

(q

⁽²⁾

(u)) = J

∑

6 j=1

q

_j⁽²⁾

ϕ

⁽²⁾_j

(u) −

∑

6 j=1

q

_j⁽²⁾

ϕ

⁽²⁾_j

(J u)

=

∑

6 j=1

q

⁽²⁾_j

(

Jϕ

⁽²⁾_j

(u) − ϕ

⁽²⁾_j

(Ju) )

=

∑

6 j=1

q

⁽²⁾_j

L

₂

(ϕ

⁽²⁾_j

(u))

である

.

ここで

,

L

2

(ϕ

⁽²⁾₁

) := 0, L

2

(ϕ

⁽²⁾₂

) := 2ϕ

⁽²⁾₂

, L

2

(ϕ

⁽²⁾₃

) := 0, L

₂

(ϕ

⁽²⁾₄

) := − 2ϕ

⁽²⁾₄

, L

₂

(ϕ

⁽²⁾₅

) := 0, L

₂

(ϕ

⁽²⁾₆

) := − 2ϕ

⁽²⁾₆ であるから

,

∑

6 j=1

q

_j⁽²⁾

L

₂

(ϕ

_j

(u)) = q

₁⁽²⁾

· 0+q

₂⁽²⁾

· 2ϕ

⁽²⁾₂

+q

₃⁽²⁾

· 0 +q

⁽²⁾₄

· ( − 2ϕ

⁽²⁾₄

)+ q

⁽²⁾₅

· 0+q

₆⁽²⁾

· ( − 2ϕ

⁽²⁾₆

).

∑

₆

j=1

p

⁽²⁾_j

ϕ

⁽²⁾_j

(u)

と比較すると

,

(p

⁽²⁾₁

, p

⁽²⁾₂

, p

⁽²⁾₃

, p

⁽²⁾₄

, p

⁽²⁾₅

, p

⁽²⁾₆

) = (0, 2q

⁽²⁾₂

, 0, − 2q

₄⁽²⁾

, 0, − 2q

⁽²⁾₆

).

∴



 

 

 

 



0 0 0 0 0 0

0 2 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 − 2 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 − 2



 

 

 

 





 

 

 

 

 q

₁⁽²⁾

q

₂⁽²⁾

q

₃⁽²⁾

q

₄⁽²⁾

q

₅⁽²⁾

q

₆⁽²⁾



 

 

 

 



=



 

 

 

 

 p

⁽²⁾₁

p

⁽²⁾₂

p

⁽²⁾₃

p

⁽²⁾₄

p

⁽²⁾₅

p

⁽²⁾₆



 

 

 

 

 .

係数行列が正則ではないので

, d

⁽²⁾

(u) = 0

となるように必ず

q

⁽²⁾

(u)

を選ぶことはで きない

.

ただし

, (p

⁽²⁾₁

, p

⁽²⁾₃

, p

⁽²⁾₅

) = (0, 0, 0)

ならば

, q

⁽²⁾

(u)

を選ぶことができる

. 3. q

⁽³⁾

(u)

についての考察

q

⁽²⁾

(u)

を選ぶことができたと仮定する

.

このとき

, ∆ L

における

4

次項の部分

d

⁽²⁾

(u)

^T

Y d

⁽²⁾

(u) + 2u

^T

J

^T

Y d

⁽³⁾

(u)

が

0

でない任意の

u

に対して負値または

0

となるように

q

⁽²⁾

(u)

を選べるかについて 考察する

.

d

⁽³⁾

(u) = J q

⁽³⁾

(u) − q

⁽³⁾

(Ju) + ˆ p

⁽³⁾

(u), d

⁽²⁾

(u) = 0

であるから

,

d

⁽²⁾

(u)

^T

Y d

⁽²⁾

(u) + 2u

^T

J

^T

Y d

⁽³⁾

(u)

= 2u

^T

J

^T

Y (

J q

⁽³⁾

(u) − q

⁽³⁾

(Ju) )

+ u

^T

J

^T

Y p ˆ

⁽³⁾

(u).

さらに

, u

^T

J

^T

Y p ˆ

⁽³⁾

(u)

は

, q

⁽²⁾

(u)

の存在の仮定から

,

既知の量である

.

したがって

, 0

でない任意の

u

に対して

2u

^T

J

^T

Y (

J q

⁽³⁾

(u) − q

⁽³⁾

(J u) )

+ u

^T

J

^T

Y p ˆ

⁽³⁾

(u) ≤ 0 (A.1)

を満たすように

q

⁽³⁾

(u)

を選べばよい

.

J

₁の場合と同様に

ϕ

⁽³⁾₁

, ϕ

⁽³⁾₂

, ϕ

⁽³⁾₃

, ϕ

⁽³⁾₄

, ϕ

⁽³⁾₅

, ϕ

⁽³⁾₆

, ϕ

⁽³⁾₇

, ϕ

⁽³⁾₈ を定める さらに

h

⁽⁴⁾_i

:= u

^T

J

^T

(

Jq

⁽³⁾

(ϕ

⁽³⁾_i

) − q

⁽³⁾

(J ϕ

⁽³⁾_i

) )

, q

⁽³⁾

(u) =

∑

8 i=1

q

_i⁽³⁾

(ϕ

⁽³⁾_i

)

とおく

.

このとき

,

式

(A.1)

の左辺は

,

2u

^T

J

^T

Y (

Jq

⁽³⁾

(u) − q

⁽³⁾

(J u) )

+ u

^T

J

^T

Y p ˆ

⁽³⁾

(u)

= 2

∑

8 j=1

q

⁽³⁾_j

h

⁽⁴⁾_j

+ u

^T

J

^T

Y p ˆ

⁽³⁾

(u)

と変形できる

.

ここで

,

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

h

⁽⁴⁾₁

:= 0, h

⁽⁴⁾₂

:= 2au

³₁

u

₂

, h

⁽⁴⁾₃

:= 0, h

⁽⁴⁾₄

:= 2au

₁

u

³₂

, h

⁽⁴⁾₅

:= 2cu

³₁

u

2

, h

⁽⁴⁾₆

:= 0, h

⁽⁴⁾₇

:= 2cu

₁

u

³₂

, h

⁽⁴⁾₈

:= 0

であるから

,

span { h

⁽⁴⁾₁

, h

⁽⁴⁾₂

, h

⁽⁴⁾₃

, h

⁽⁴⁾₄

, h

⁽⁴⁾₅

, h

⁽⁴⁾₆

, h

⁽⁴⁾₇

, h

⁽⁴⁾₈

} = span { h

⁽⁴⁾₂

, h

⁽⁴⁾₇

} .

一方で

,

u

^T

J

^T

Y p ˆ

⁽³⁾

(u) := p

⁽³⁾₁

u

⁴₁

+ p

⁽³⁾₂

u

³₁

u

₂

+ p

⁽³⁾₃

u

²₁

u

²₂

+ p

⁽³⁾₄

u

₁

u

³₂

+ p

⁽³⁾₅

u

⁴₂ とおくと

,

2

∑

8 j=1

q

_j⁽³⁾

h

⁽⁴⁾_j

+ u

^T

J

^T

Y p ˆ

⁽³⁾

(u)

= p

⁽³⁾₁

u

⁴₁

+ (4aq

₂

+ p

⁽³⁾₂

)u

³₁

u

₂

+ p

⁽³⁾₃

u

²₁

u

²₂

+ (4cq

₄

+ p

⁽³⁾₄

)u

₁

u

³₂

+ p

⁽³⁾₅

u

⁴₂

となる

.

したがって

,

これが

0

でない任意の

u

に対して負値または

0

になるための条 件は

,

(p

⁽³⁾₁

, p

⁽³⁾₃

, p

⁽³⁾₅

)

が

0

でない任意の

u

に対して

,

p

⁽³⁾₁

u

⁴₁

+ p

⁽³⁾₃

u

²₁

u

²₂

+ p

⁽³⁾₅

u

⁴₂

≤ 0

である

.

このとき

, q

⁽³⁾

(u)

を選ぶことができる

.

ドキュメント内 離散力学系の非双曲型不動点近傍におけるLyapunov関数の精度保証法による構成について (ページ 48-53)