章末演習問題

★【演習問題3-1】

３次元空間にV =kx²で表される電位があったとする。

x

y z

(1) 電場を求めよ。

(2) 図のような一辺aの立方体の中には、どれだけの電荷が入っているか２通りの計算方 法で計算せよ。

★【演習問題3-2】

以下のような静電場は存在できるか？—存在できない場合はその理由を記せ。存在できる 場合はその電位と、電荷分布を求めよ。

(a)Ex=kx, Ey=ky, Ez= 0 (b)E_x=ky, E_y=kx, E_z= 0 (c)Ex=−ky, Ey=kx, Ez= 0

(d)E_x=k(x²+y²), E_y= 2kxy, E_z= 0

★【演習問題3-3】

演習問題2-3を、電位を使って解き直す。

円筒座標の場合のラプラシアンの式

4=1 r

∂

∂r µ

r ∂

∂r

¶ + 1

r²

∂²

∂θ² + ∂²

∂z²

3.7. 章末演習問題 75

を使って、ポアッソン方程式4V =−(電荷密度)

ε₀ を解くと電位が求められる。電荷密度はr₁< r < r₂でρ、それ以外 の場所では0である。境界条件は、r= 0でV = 0とせよ。

電位からE~ =−gradV を使って電場を求めると、演習問題2-3の答と一致することを確認せよ。

★【演習問題3-4】

「電荷のない空間では、電位が極大値もしくは極小値になることはない」という法則がある。この法則が成立しなかっ たと仮定すると（すなわち、電荷のない空間に電位の極大値もしくは極小値があったと仮定すると）、ガウスの法則が成 立しないことを説明せよ。

★【演習問題3-5】

厚みの無視できる半径R1と半径R0(R1> R0)の球殻を、中心を揃えて配置し、外側に電荷Q、内側に電荷−Qを与 えた。電荷は球殻上で球対称に分布したとして、

(a)電場と電位はどのようになるか？—電位の基準は好きに選んでよい（註：この場合、薄い球殻の中に電荷が集中し て存在するため、電場はなめらかにつながらない。電位は接続される）。

(b)この系が蓄えている静電エネルギーはいくらになるか？—電荷と電位で表現する式 1

2qV から求めよ。

(c)この系が蓄えている静電エネルギーはいくらになるか？—エネルギー密度の式1

2ε0|E~|²から求めよ。

★【演習問題3-6】

電気双極子の作る電位V(r, θ) = pcosθ

4πε₀r² が（原点を除き）ラプラス方程式の解であることを確認せよ。

また、この電気双極子を90度回転して、双極子モーメントのベクトルがx方向を向くようにしたとすると、電位

V(r, θ, φ)はどうなるか（この時の電位はφの関数でもあることに注意）を求めよ。さらに、この式もまた原点を除いて

ラプラス方程式の解となることを確認せよ。

★【演習問題3-7】

今、二つの点電荷（電気量はqとq⁰）があるとする。qの作る電場をE、q~ ⁰の作る電場をE~⁰とすれば、

E(~~ x) = q

4πε₀|~x−~x_q|³(~x−~xq) E~⁰(~x) = q

4πε0|~x−~xq0|³(~x−~xq⁰)

である(~xq, ~xq0は電荷q, q⁰のいる位置)が、実際にできる電場はもちろん、この二つの重ね合わせであるE~+E~⁰となる。

この電場の持つエネルギーは 1 2ε0

³E~+E~⁰´

·³

E~ +E~⁰´

= 1

2ε0|E~|²+1

2ε0|E~⁰|²+ε0E~ ·E~⁰ となる。このうち1

2ε₀|E~|²は「電荷qだけが存在した場合の電場のエネルギー」であり、1

2ε₀|E~⁰|²は「電荷q⁰だけが存 在した場合の電場のエネルギー」であるから、残ったε₀E~·E~⁰は「両方の電荷が存在して始めて生まれるエネルギー」で あり、つまりはこれこそが「二つの電荷の相互作用によって生まれるエネルギー」であると考えられる。

適当な座標系を考えてε0E~ ·E~⁰を全空間で積分し、結果が qq⁰

4πε0|~xq−~xq0|となること（つまり、これが静電気力の位 置エネルギーそのものであること）を確認せよ。

(hint:一方を原点に置き、もう片一方をz軸上例えば(0,0, L)に置くなど、自分が計算しやすい配置で考えるとよい。)

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