第 4 章 導体と誘電体 77
4.2 導体付近の電場
4.2.1 点電荷と平板導体
点電荷Qが無限に広い平板導体から距離rの場所に置かれたとしよう。すると平板上には負電荷が現れる。負電荷が 現れることによってQから発した電気力線が導体内に進入することを防ぐわけである。現れる負電荷はトータルで−Q である（これで電気力線が全部吸い取れることになる）。平板導体の持つ電荷のトータルが0なのであれば、その分だけ 無限遠に電荷Qが現れていることになる。
1なお、電場が十分強いと、電荷は導体の外に出る。これが放電という現象で、雷もその一例である。
4.2. 導体付近の電場 79 さてこの電荷がどのように配置されることになり、結果としてどのような電場ができるのかを考
えてみよう。条件としては、この面の上では電場が面に垂直な方向（図で言えばまっすぐ右）を向 いていなくてはいけない。点電荷Qの作る電場は面に平行な分を持っているから、平板導体の表面 に配置された負電荷のつくる電場が、ちょうどこの面に平行な成分を打ち消すことになるように電 荷を配置すればよいことになる。
あるいは電位を使って表現するならば、導体表面が等電位になるようにする。無限遠の電位を0 とするという境界条件で考えると、導体表面は無限遠まで続いているのだから、導体表面も電位は 0である。つまり、無限遠とx= 0でV = 0という境界条件でラプラス方程式4V =−ρ
ε0
を解け ばよい（電荷は導体表面にのみ存在するから、ρはx= 0面上でのみ、0でない値を持つ）。
しかし、これを計算で求めるのは少々ややこしい。
そこで、楽をして求める方法としては、「鏡像法」（または「電気映像法」）と いう方法がある。
+Q,−Qの２個の電荷が2r離れて存在している時の電気力線の様子を思い 浮かべる（左の図）。この図の半分を取り出すと求めたい状態とぴったり同じ であることがわかるのである。
鏡像法と呼ぶ理由は明らかであろう。まるで平板導体が鏡であるかのごとく 考えて、正電気のちょうど反対側に負電荷の鏡像が現れると考えれば、まさに この形なのである。
ここまでわかれば、後は電位を使って計算するのが簡単である。図の横方向 にx軸を取ることにして、正電荷がいる場所を(−r,0,0)、負電荷のいる場所を (r,0,0)とすると、鏡像負電荷があるとして考えると場所(x, y, z)における電位は
V(x, y, z) = Q 4πε0
à 1
p(x+r)2+y2+z2 − 1
p(x−r)2+y2+z2
!
(4.1)
となる。実際にできる電位の場合、負電荷は存在しないかわり、x >0の領域は導体内部なので等電位であり、
V(x, y, z) =
Q 4πε0
à 1
p(x+r)2+y2+z2 − 1
p(x−r)2+y2+z2
!
x <0
0 x >0
(4.2)
となる。電場をこれに−∇~ をかければ得られる。
【補足】この部分は授業では話さない可能性もあるが、その場合は読んでおいてください。
ここで、無限遠とx= 0でV = 0になるという境界条件で電位を求めたわけであるが、さてこの解は唯一のものであ ろうか（別解があったりはしないか？）という疑問が湧くかもしれない。そこで、境界条件を満たすポアッソン方程式 4V =−ρ
ε0 の解は唯一性が保証されなくてはいけない2。そこを調べよう。4V1=−ρ
ε0,4V2=−ρ
ε0 と二つの解が見つ かってたとして矛盾を示す。この二つの式が両立したとすると、
4(V1−V2) = 0 (4.3)
という式になることからわかる。この式はV1−V2というポテンシャルに対するラプラス方程式のようなものである。適 切な境界条件でこの方程式を解いたとする。たとえば上の場合、V1もV2も「無限遠と導体表面上(x= 0)で電位は0」
という境界条件になっている。この方程式はラプラス方程式（＝真空中のポアッソン方程式）であるから、どこにも極大 値も極小値もない。どこにも極大も極小もないのに境界で0になるということは全て0しかあり得ないので、V1=V2。 つまり、二つの解が見つかることはあり得ない。
【補足終わり】
最後に平板上に現れる電荷を求めておこう。まず電場のx方向成分を計算しておくと、
Ex=−∂
∂xV = Q 4πε0
à x+r
((x+r)2+y2+z2)32 − x−r ((x−r)2+y2+z2)32
!
(4.4)
2今解いているのは微分方程式なので、境界条件を指定しなければ解は無数にある。
平板の表面x= 0では、電場はx方向を向いている。x= 0を代入すると、Ex= Q
4πε0× 2r
(r2+y2+z2)32
である。導体 表面では電荷の面積密度をσとした時、E~ = σ
ε0
~
nが成立していたので、この表面での電荷密度は
σ=−Q
2π× r
(r2+y2+z2)32
(4.5)
となる。マイナス符号がつくのは、今の場合電場は面の法線ベクトル~nと逆を向いているからである。
なお、このσを全導体表面で積分( Z ∞
−∞
dy Z ∞
−∞
dz)するとちゃんと−Qになる3。
4.2.2 平行電場内に置かれた導体球
z軸正の方向に強さEの電場があるような場所に、半径Rの導体球を置いてみる。この球は上半球に正電荷が、下半 球に負電荷が現れて、導体内部の電場を0にする。この時の電荷分布と電場について考えてみよう。
この時も同様に、「誘導された電荷による電位を別のもので置き換える」という方法で考えよう。具体的には、球面 r=Rの上で電位が定数になるようにすればよい。外部から与えられた電場の電位はV外 =−Ez=−Ercosθである。
球面上ではr=Rなので、V外¯¯r=R=−ERcosθである。よって、r=RにおいてV球 =ERcosθになるようなもう一 つの真空での電位の式を持ってきて足せばよい。
これは電気双極子の作る電位V = pcosθ
4πε0r2 において、p= 4πε0ER3とすればちょうどよい。故に V =V外+V内=−Ercosθ+ER3cosθ
r2 =E(R3−r3) cosθ
r2 (4.6)
が解である。導体球の内部では電位は一定になるので、
V(r, θ) =
0 0≤r≤R
E(R3−r3) cosθ
r2 R < r
(4.7)
とまとめることができる（R=rでちゃんと二つの式が接続されることに注意）。この場合、導体球の表面に現れた電荷 の代わりに、原点に電気双極子を置いて電位を表現したことになる。この電位に対応する電場は、
E~ =−∇~V = − µ
~er
∂
∂r +~eθ
1 r
∂
∂θ + ~eφ
1 rsinθ
∂
| {z ∂φ}
後ろにφはないから消える
¶E(R3−r3) cosθ r2
= −~er µ
−3Ecosθ−2E(R3−r3) cosθ r3
¶
−~eθE(R3−r3) sinθ r3
(4.8)
3実際の積分は平面上の極座標を使った方が楽である。
4.3. 静電容量 81