第 6 章 真空中の静磁場の法則
6.4 磁場によって働く力
円の周上の電流全ての寄与を評価することで磁束密度B(r(z) ) =B(z) [T]が求められる。
B(z) = ˆ
dB = μ0I 4π
a (a2+z2)32
ˆ 2π
0 {z(cosφ0xˆ+ sinφ0yˆ) +aˆz}dφ0 = μ0I 2
a2 (a2+z2)32
zˆ
※ 円筒座標系を用いると以下のようになる。r=zzˆ, r0(φ0) =aρˆ(φ0), r−r0(φ0) =−aρˆ+zzˆ, |r−r0|= (a2+z2)12, I dr0 =Idr0
dφ0dφ0 =Iaφˆ(φ0)dφ0, B(z) = μ0
4π ˆ 2π
0
Iaφ(φˆ0)dφ0×(−aρˆ(φ0) +zzˆ) (a2+z2)32
= μ0I 4π
a (a2+z2)32
ˆ 2π
0 (zρˆ+azˆ)dφ0 = μ0I 2
a2 (a2+z2)32
zˆ なお、ここで、
ˆ 2π
0 ρˆ(φ0)dφ0 = 0を用いた。(電流は円筒座標系における対称性があるので、計算にお けるベクトルの成分が少なくて済む)
(2) z軸に沿って+z方向に、−a
2 x a 2,−b
2 y b
2 の範囲に一様に電流I [A]が流れている。このと き、r=xxˆにできる磁束密度B(r)を求めよ。
(Ans.) : B(r) = μ0I 4πab
blog
b2
4 + (x+a2)2
b2
4 + (x−a2)2 + 4(x+a2) tan−1
b2
x+a2 −4(x−a2) tan−1
b2
x−a2
yˆ
この磁束密度が電流素片に及ぼす力dF は
dF =I dr0×B(r0) =I dz0zˆ×
−μ0I 2πaxˆ
=−μ0I2
2πadz0yˆ (6.19)
となります。従って、−2l z 2l の範囲では、それを積分して F =
ˆ dF =
ˆ l
2
−l2−μ0I2
2πadz0yˆ=−μ0I2l
2πa yˆ (6.20)
となります。−y方向ですので、「引き寄せられる」方向となります。無限長電流全体では力は無限大になって しまいますが、長さl[m]の部分には、これだけの力が作用していることになります。
補足: A(アンペア)の定義: SI単位系において、A(アンペア)は7つの基本単位の一つです。
1 Aは次のように定義されます。先の例において、l= 1 m、I = 1 A、y0= 1 mとすると、|F|= μ0
2π = 2×10−7N となりますが、これが1 Aの定義となります。つまり、「1 m離した平行な無限長電流に等しい電流を流した とき、1 m当たりに働く力が2×10−7 Nとなる電流の大きさ」が1 Aです。
例2. 一様磁場中のコイルに作用する力と力のモーメント:
図6.12に示すように、B(r) =B0yˆの一様磁場中に、一辺がa, bの長方形コイルがあり、矢印の向きに電流 Iが流れていることを考えます。このコイルの中心が固定されておりx軸からφ傾いているときに、コイルに 働く力とそのモーメントを求めます。
xの辺では、電流の経路を表すベクトル関数: r0(z0) = b2cosφxˆ+2bsinφyˆ+z0zˆ(−a2 z0 a2)となります。
従って、電流素片はI dr0=I dz0zˆで与えられます。この電流素片に働くアンペール力はdF1 =I dz0zˆ×B0yˆ=
−B0Idz0xˆとなりますので、全アンペール力はそれを積分して、以下で与えられます。
F1=−B0Ixˆ ˆ a
2
−a2 dz0 =−B0Iaxˆ (6.21)
次に電流素片に働く力のモーメントdN1を求めます。
dN1 =r0×dF1= b
2cosφˆx+ b
2sinφyˆ+z0zˆ
×(−B0Idz0xˆ) = b
2sinφˆz−z0yˆ
B0Idz0 (6.22) 従って、xの辺全体では、これを合計すれば良いことになります。
N1 = ˆ
dN1 = ˆ a
2
−a2 B0I b
2sinφzˆ−z0yˆ
dz0=B0Iab
2 sinφzˆ (6.23)
次にyの辺について求めます。やり方はまったく同様です。経路は、r0(s) =−2bcosφˆx−b2sinφy−ˆ szˆ,(−a2 s a2)で与えられます。電流素片はIdr0 =−I dszˆとなり、これにかかるアンペール力はdF2 =−I dsz׈ B0yˆ= B0Idsˆxとなりますので、辺全体ではこれを積分してF2 =B0Iaxˆを得ます。
力のモーメントについては、電流素片に対するモーメントがdN2 =r0×dF2=b
2sinφˆz−syˆ
B0Idsとな りますので、全体ではN2 =´
dN2=´a2
−a2 B0Ib
2sinφzˆ−sˆy
ds =B0Iab2 sinφzˆとなります。
zの辺については、r0(s) =b
2 −s
cosφxˆ+b
2 −s
sinφyˆ+a2zˆ,(0 sb)で経路が与えられますので、電流素片はI dr0 =−I ds(cosφxˆ+ sinφyˆ)となります。この電流素片に作用する力はdF3 =−I ds(cosφxˆ+ sinφyˆ) ×B0yˆ = −B0Idscosφˆz となりますので、辺全体ではF3 =
−B0Ibcosφˆzとなります。
力のモーメントについては、電流素片に対するモーメントがdN3 = r0 ×dF3 = b
2 −s
cos2φB0Idsyˆ−b
2 −s
sinφcosφB0Idsxˆ ですの で、全体では以下のようになります。
N3 = ˆ
dN3 = ˆ b
0 B0I(cos2φyˆ−sinφcosφˆx) b
2 −s
ds=0 (6.24)
x φ z
I y
x
y z
{
(b2cosφ,2bsinφ,0) B =B0yˆ
a2
−a2
図 6.12: 磁場中のコイル {の辺については、経路はr0(s) = scosφxˆ +ssinφyˆ− a2zˆ,(−b2 s b2)となり、電流素片はIdr0 = I(cosφˆx+sinφˆy)dsで与えられます。電流素片に作用する力はdF4 =Idr0×B =I(cosφxˆ+sinφyˆ)ds×B0yˆ= B0Icosφdszˆとなりますので、辺全体に作用する力はF4 =B0Ibcosφˆzとなります。
力のモーメントについては、電流素片に対するモーメントはdN4 =r0×dF4 = (scosφˆx+ssinφyˆ−a2zˆ)× B0Icosφdszˆ = B0Is(−cos2φyˆ+ sinφcosφˆx)ds となりますので、辺全体は N4 = ´b2
−2bB0Is(−cos2φyˆ+ sinφcosφxˆ)ds=0 となります。
結局、ループ全体はこれらを加えれば良いので、N =4
i=1Ni =B0Iabsinφˆz, F =4
i=1Fi =0 とな ります。つまり、力は働かない(移働はしない)がφ= 0となるように向きをかえる、ということになります。
6.4.2 ローレンツ力
磁場中を運動する荷電粒子には力が働くことが知られています。磁束密度 B [T]中を電荷q [C]の荷電粒子が速度v [m/s]で運動していたとき、この粒 子に働く力F [N]は
F =qv×B(r) (6.25)
で与えられます。rは、この時刻における電荷qの位置です。電荷が電荷密度 分布ρ(r)で体積的に分布していたとき、位置rにおいて単位体積当たり
f(r) =ρ(r)v(r)×B(r) (6.26)
図 6.13: 荷電粒子に働くロー レンツ力
の力を受けます。ここでv(r)は、位置rにある電荷が移動する速度ベクトルです。この電荷が領域V 内にお いてのみρ(r)= 0とすると、全体で受ける力は
F =
˚
V
f(r)dV =
˚
V
ρ(r)v(r)×B(r)dV (6.27) となります。
一様磁場中における荷電粒子の運動: 一様な磁束密度B(r) =B0zˆ [T](B0 [T]は定数)を考えます。この磁束 密度中でt= 0 sにおいて、正の電荷q [C]の荷電粒子(質量m [kg])が速度v =v0xˆ [m/s]で、位置r=0に あるものとします。時刻t >0における荷電粒子の位置r(t)と速度v(t)を求めます。
運動方程式は
mdv(t)
dt =qv(t)×B0zˆ=qB0{vx(t)(−yˆ) +vy(t) ˆx} (6.28) となりますので、成分ごとに表示すると次のようになります。
mdvx
dt =qB0vy(t), mdvy
dt =−qB0vx(t) (6.29)
初期条件vx(0) =v0, vy(0) = 0を用いてこの連立微分方程式を解くと vx=v0cos
qB0 m t
, vy =−v0sin qB0
m t
(6.30) となります。ベクトルで表記すると
v(t) =v0
cos qB0
m t
xˆ−sin qB0
m t
yˆ
(6.31) となります。また、時刻tにおける荷電粒子の位置r(t)は、初期条件r(0) =0を用いて、
r(t) =r(0) + ˆ t
0 v(t)dt = mv0 qB0 sin
qB0 m t
xˆ+
cos
qB0 m t
−1
yˆ
(6.32) となります。
ホール効果 導体や半導体に電界を印加し電流が流れます。このとき、電界によって正の電荷または負の電荷 (キャリアと呼ぶ)が移動しています。
電界の向き(即ち、電流の流れている向き)に垂直に磁場を印加すると、キャリアはローレンツ力を受けま す。このローレンツ力によって、キャリアは電界・磁場ともに垂直な方向のどちらかに多く存在することにな り、この偏在による横方向(電流とも磁場とも垂直な)電界が生じることになります。
キャリアはローレンツ力とキャリア自身が生じさせた電界が釣り合ったところで平衡状態となります。この ように、横方向電界(あるいはそれによる電位差)が生じることをホール効果と呼びます。
力が、平衡した状態について考えましょう。キャリアが速度v で移動しているものとします。磁束密度Bが印加されているとす れば、ローレンツ力
FL=qv×B (6.33)
が生じていることになります(正のキャリアならq >0、負のキャ リアならq <0)。また、このキャリアの移動によって生じている、
“ホール効果による電界Eh”による力FE =qEhとローレンツ力 FLが釣り合っているので、次式が成立します。
qEh+qv×B=0 (6.34) また、この材料中にN [m−3]の密度でキャリアが存在していると き、電流密度J はJ =qNvとなりますので、式(6.34)中にNを かけるとqNEh+J ×B = 0という式が得られます。ここから、
ホール効果による電界は Eh=− 1
qNJ×B=−RJ×B (6.35)
図6.14: ホール効果
となります。ここで
R= 1
qN [C−1 m−3] (6.36)
はホール定数と呼ばれるものです。キャリアが正の場合、ホール定数は正、負のキャリアであればホール定数 は負となります。
ホール効果は19世紀末にHallによって発見されました。ホール効果の応用としては、半導体のキャリアの 測定や、磁場のモニタ、電流のセンサ(クランプメータ)などに用いられています。
6.4.3 アンペール力とローレンツ力の関係
アンペール力とローレンツ力は磁場中で力を受ける電荷の形態が異なりますが、同じ力を表しています。こ こでは同じ力であることを説明します。電流を移動する電荷群と表すことで両者を比較できます。
単位体積当たりN [m−3]のq[C]の電荷がv =v0ˆl[m/s]で移動しているも のとします。Δt[s]間に、電荷の移動に垂直な、面積ΔS [m2]を通過した電 荷ΔQ [C]は
ΔQ=qN v0ΔtΔS (6.37)
となります。従って、電流I [A]は以下で得られます。
I = ΔQ
Δt =qN v0ΔS (6.38)
この電流の微小部分Δr= ˆlΔrに働くアンペール力FA [N]は
FA=I dr×B =IˆlΔr×B =qNvΔSΔr×B= (NΔSΔr)qv×B (6.39) となります。この右辺は(NΔSΔr)個の電荷が受けた全ローレンツ力の合計 と等しいことが分かります。
q ΔS v
v 0Δt = Δr N[m ]−3
図 6.15: 移動する電荷群と電 流