発展問題の陽解法やってみました

2. J. H. Bramble and B. E. Hubbard, On the formulation of finite difference analogues of the Dirichlet problem for Poisson’s equation, Numer. Math. 4 (1962), pp.313–327.

3. N. Matsunaga and T. Yamamoto, Superconvergence of the Shortley-Weller approxima-tion for Dirichlet problems, J. Comput. Appl. Math. 116, pp.263–273 (2000).

山本先生はその後も以下の論文を出している¹。

1. Tetsuro Yamamoto, Qing Fang and Xiaojun Chen, Superconvergence and nonsupercon-vergence of the Shortley-Weller approximations for Dirichlet problems, Numer. Funct. Anal.

and Optimiz., 22 (3&4), pp.455–470 (2001).

2. Zi-Cai Li, Hsin-Yun Hu, Qing Fang and Tetsuro Yamamoto, Superconvergence of So-lution Derivatives for the Shortley-Weller Defference Approximation of Poisson’s Equa-tion. II. Singularity Problems, Numer. Funct. Anal. and Optimiz., 24 (3&4), pp.195–221 (2003).

3. Qing Fang, Yukihiro Shogenji and Tetsuro Yamamoto, Error Analysis of Adaptive Finite Difference Methods Using Stretching Functions for Polor Coordinate Form of Poisson-Type Equation, Numer. Funct. Anal. and Optimiz., 24 ( 1&2), pp.17–44 (2003).

どうやってプログラミングするか²、学生にとって挑戦的な課題であると思う

(

直接参考に するものがないので)。山本先生が紹介している文献は楕円型の問題のみのようだけれど、発 展問題の解析はないのかなあ？

誰か陰解法やってくれないかなあ…

2011

年度卒研で濱勇樹君が『

S-W

近似による楕円領域での波動方程式のシミュレーション』

(http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/report/pdf/2011-hama.pdf)

というレポート を書いてくれた。

2013

年度卒研では、楕円体

(

_x

a

)

2

+ (

_y

b

)

2

+ (

_z

c

)

2

< 1

で波動方程式を解くことに取り組んで いる学生がいる

(2014

年

2

月

16

日現在

)

。

第 11 ^章 円柱領域における差分法

11.1 ^{やりかけですが…}

実は

3

人の人にやってもらって、部分的に分かっていることがある。

2004

年度桂田研卒研 レポートである吉原

[34],

岡田

[16]

と、その指導の際の個人的な覚え書き桂田

[9]

を参考文献 としてあげておく。

9.7.1

でも述べたように、

ADI

法には疑問を持っていて、誰かの再挑戦を待っている状況。

もう少しはっきりしたら、整理してこちらの文書に取り込む予定。

同次

Dirichlet

境界条件を課した熱方程式の初期値境界値問題の解の公式は、寺沢

[31]

に

載っている。

吉原君は卒研でやったことを全部書いてくれていないね…やれやれ、また発掘して書かな

いと

(まあ、ずいぶん色々やらせたので、最後ばてたのかもしれない、それにしてももったい

ない

)

。

第 12 ^{章 球領域における差分法}

極座標変換を利用する場合、

△ u = ∂

²

u

∂r

²

+ 2 r

∂u

∂r + 1 r

²

( ∂

²

u

∂θ

²

+ cot θ ∂u

∂θ + 1 sin

²

θ

∂

²

u

∂ϕ

²

)

を差分近似するのが真っ先に思いつくことであるが、この右辺に現われる分数の分母は

r = 0

や

θ = 0, π

のときに

0

になることに注意しよう。

原点においては、2次元の場合にやったのと同様の工夫をすると、

△ u(0) = 6 u

_mean

− u(0)

(∆r)

²

+ O(∆r

²

)

ただし

u

_mean は

r = ∆r

における

u

の平均値を表わす。

原点以外の

z

軸上の点

(0, 0, z)

における差分近似については、素朴な取り組みではあるが、

島倉・田邊の卒研レポート

[25]

がある。

なお、問題とする領域そのものが原点を含まない場合は、

u = w/r

と従属変数の変数変換 を行なうと

∂u

∂t = ∂

²

u

∂r

²

+ 2 r

∂u

∂r

は

∂w

∂t = ∂

²

w

∂r

² に変換される。

付 録 A ^{「周期三重対角行列」}

A.1 ^ルーツ

9.6.2

に書いたことは、簡単なことであるから多分よく知られているとは思うけれど、筆者

は文献で目にしたことはない

(

だから文献を紹介することはできない

)

。このことに気が付いた のは、1996年度学部卒研の松本英久君の研究

([30])

の指導をしたときである。

円盤領域の問題で初めて遭遇したわけであるが、考えて見れば、例えば

1

次元問題でも周期 境界条件などを課せば出て来る問題である。

三重対角行列の解析について、山本先生の業績があるが、それをもじって解析できないか な、と考えている。

ドキュメント内 II ( (ページ 94-98)