無限次元の対称性

この節では、fK(z)1の場合の代数を具体的に調べていきます³⁶ 。

前節で、fK(z) = 1の場合にはアフィン化が起こると述べました。数学の知識として、ア

フィンLie^代数G^の根には長さが2^{のもの以外に長さが}0のものが含まれていることが知 られています。これを虚根~^{と呼びます。}~^は長さ2の単純根の線形接合で与えられ、全て の根~^に対して~ ~= 0を満たします。弦の接合で虚根に対応するものは、() = 0^を

満たすことから種数1^{、境界の数が}0ですから、底空間上のループであることが分かりま す。また( ) = 0^{より、このループは}7-brane配位全体の周りを回っています（図17^）。

接合がとれるのはfK(z) = 1のときだけであることが示せます。前節に引続き、既知

36この節の内容は4]に詳しく書かれています。

32

のbrane^配位をGとし 、そのモノド ロミーをKとします。新たに加える7-brane^の電荷

はz^{でモノド ロミーは}Kz^{です。このとき}z⁰弦のループが作れるための条件は

KzKz⁰ =z⁰ (36)

です。ループのうち^Xzの切断を横切る部分に注目すると、ある整数n^に対してKz^0;z⁰ = nzが成り立つことが分かります。さらにt= TrK^として(K^;1)^;1 = (K^;1;1)=(2^;t)

が成り立つことを使うと

z⁰ = n

2^;t⁽K^;1;1)z

となります。これを(36)^{に代入すると}

(¹+zz^TS)(^1;K)z = (K^;1;1)z

です。ここで(6)^からKz =¹+zz^TSと書けることを使いました。これをK^;1 =t^1;K

及び z^TSz= 0^{を使って変形すると}

(z^TSKz)z = (2^;t)z

を得ます。(34)式より、これが成り立つのはfK(z) = 1のときだけであることが分かり ます。

Gに対してどのようなz^を選べばfK(z) = 1^{になるのかは、表}3^{から調べてやることが}

できます。例えば^G=^En^E~n^に対してz = (31)がとれます。全体のモノド ロミーは

K =

1 9^;N

0 1

!

で、このとき固有値1^{の固有ベクトル}(10)^{Tを持ちます。つまり、}7-brane^{配位全体を一}

周するループ は(10)弦によって作られます。EN^{には根の他に長さが}2^{の重みはあり}

ませんから、代数はE^N^{に拡大します。}

以上の知識を使うと、数学的に知られた事実E^⁸ = E^9を7-brane^{の立場で示すことが}

できます。^E8の代数は31]7-braneを加えることでアフィン化し 、E^^{8を与えます。一方、}

E

8に^A-brane^{を加えればE9になりますが 、E9}のモノド ロミーには固有ベクトル(31)^T

が取れるので、(31)^{弦のループ}が現れてアフィン代数になっていることが分かります。

^

E

8と^E9は切断の取り替えとg =

0 ^;1 1 ^;3

!

によるSL(2^Z)変換で結び付きますから 、 確かにE^⁸ =E⁹であることが分かります。

さて、E^8にA-brane^と(31)-braneを加えればアフィン化したE^{9が得られます。これ}

はどんな代数でしょうか。ループは二種類、^A-brane^{とE8の周りを回る}(31)^{弦及び E8}

と31]-brane^{の周りを回る}(10)^{弦があります（ 図}18^）。(31)^弦は31]-brane^を飛び越 33

10] E⁸ 31]

(31) (10)

図 18: ^E^{9のループ}

E⁶ E^{^6} E^6H

図 19: hyperbolic^代数のDynkin^図:E^6の場合

えて全体を一周する になりますし 、(10)弦についても同じことが言えます。つまり、

E^⁹は虚根を二つ含むループ代数です。実際^E^9のモノド ロミーは¹ですから2^{つの固有ベ}

クトルとれます。4.2^{節の方法で}E^^{9の単純根を求めると、}E⁸の単純根に加えて出てくる

2つの単純根の間の内積が正であることが分かります。Kac-Moody^{代数では異なる単純}

根の間の内積は0^{以下ですから、}E^^9はKac-Moody代数の枠外にあります。

En^{以外の系列について表}3からアフィン化の可能性を調べると、まず^An^{はアフィン} 化できないことが分かります。^Hn^Dn^{についてはいくつかの}n^でfK(z) = 1^を満たすz

が存在します。しかしこれらを詳しく調べてみると、^D5 =^{E5のように}En^{の系列と等価} なものであるか、あるいは^D8のように長さ2の重みが根以外に存在し 、このために単に アフィン化された代数が現れるのではなくE^nが現れていることがわかります。つまり、

7-brane配位で実現できるアフィン代数はEn^{起源のものだけです。}

fK(z) > 1の場合についても具体例を紹介しておきます。^En^に31]7-brane^を加えて

アフィン化し 、更にもう一枚の31]7-brane^{を加えてE}_Hn =^{An;1BC2X231]を考えると、}

fK(z) >1^{になります。このとき}Dynkin図は 、アフィン化した時に現れる新しい単純根

に、2^枚の31]7-braneを結ぶ開弦に相当する単純根が付け加わったものになります（ 図

19^{）。このような}Dynkin^{図に対応する}Kac-Moody^代数はhyperbolic^{代数と呼ばれていま}

す³⁷ 。

数学的にはE^8H =E¹⁰であることが知られていて、これはbrane^{の立場からも示すこと}

ができます。なお、^E10は^E8に二枚の^A-brane^{を加えたものです。E}^9に似て^E8と各^A

37但し^n>8ではアフィン化の時点でKac-Moody^{代数から外れ 、}hyperbolic^{代数とは言いません。}

34

10]

10]

E⁸ (31)

(31) (21)

図 20: E^{10のループ}

を回る2個のループが存在しますが 、これらは交叉していて全体を回るループにはなりま せん（ 図20^）。

以上、この節までに出てきたbrane^{配位を、j}TrK^j= 7まで表にまとめておきます。表 中のH(t)^はt= TrKの関数で、数学的に調べられたSL(2^Z)で同一視出来ないモノド ロ ミーの数を与えています。