第 3 章 力学系およびその平衡点・不動点の安定性 19
4.3 樋脇・山本の方法
本節では、関連論文[1]にしたがって、周期解の存在を精度保証法で検証するための手法として 提案した樋脇・山本の方法について述べる。前述したように、貝ヶ石らによって、この方法は二点 境界値問題の一種と同値であることが示された。しかしながら、樋脇・山本の方法は周期T∗に関
して準Newton法となるように構成されており、これが対応する二点境界値問題の優位性の理由と
なっている（関連論文[2]）。その意味で樋脇・山本の方法の意義は失われていないと考えられる。
式(4.1)を積分型に変形すると、次を得る。
u(t) =u0+
∫ t
0
f(φ(τ,u0))dτ,0< t < T.
今、近似周期T˜,近似基準点u˜0 を用いて単位ベクトルnΓ を
nΓ= f
( φ
(T ,˜ u˜0
)) f
( φ
(T ,˜ u˜0))
と定め、これを法線ベクトルとしu˜0 を含む（超）平面Γ を考える。このときu(T) が Γ 上にあ るための条件はnTΓ(u(T)−u˜0) = 0、 すなわち、
∫ T
0
nTΓf(φ(τ,u˜0))dτ = 0
となる。これよりT に関するNewton 法によって点列{Tk}k=0,1,2,···を構成すると、
Tk+1=Tk− 1 g(Tk,u˜0)
∫ Tk
0
nTΓf(φ(τ,u˜0))dτ, g(Tk,u˜0) =nTΓf(φ(Tk,u˜0))
となる。
これを受けて、z= (T,u−u˜0)T に対し次の写像Q(z) を定義する。
Q(z) =
T− 1 γ
∫ T
0
nTΓf(φ(τ,u))dτ φ(T,u)−u˜0
.
定数 γ は γ =nTΓf (
φ (T ,˜ u˜0
))
として定める。Q(z) の T 成分に関する定義は準Newton法の 形になっていることに注意する。
このとき写像Qの不動点z∗= (T∗,u0−u˜0)T は周期および閉軌道に対応する。また、u0∈Γ となることも示される。そこで、KQ=In−Qに対してKrawczyk法を適用すれば良いように見 える。しかしこれはうまくいかない。というのは、写像Q のJacobi 行列は固有値として 1 を持 ち、これがKQ のJacobi 行列を特異にするからである。このことは、Q のJacobi行列 Qz
Qz(z) =
( 1− 1γnTΓf(φ(T,u)) γ1nTΓ(I−φu(T,u)) f(φ(T,u)) φu(T,u)
)
に対して確認することができる。ここに、 φu(T,u) は軌道φ(T,u) の初期値 u に対する微分で あってn次正方行列となる。
実際、 In−φu(T,u)が正則であれば、x= (1,y)T を
y= (In−φu(T,u))−1f(φ(T,u))
によって定めることで、ベクトルx は固有値1 に属する固有ベクトルとなる。正則でない場合に は、In−φu(T,u) の0固有値に対する固有ベクトルをy0に取り、x0= (0,y0)T と置けば固有値 1の固有ベクトルとなる。
そこで Qのかわりに以下に示す PΓQ を用いる。
(T,Γ)上の写像PΓ を
PΓ=I− 1 nTΓnΓ
( 0 nΓ
)(0,nTΓ) ,
と定める。分母に現れるnTΓnΓ は 1 であるが、nΓ としてその近似値を用いる場合に備えて、こ のような形を示している。なお、u˜0 を原点に移す平行移動を施せば、PΓ はΓ への正射影になる。
このPΓQの不動点はQの不動点に一致することが簡単な考察でわかる。したがってPΓQ(z)−
z についてKrawczyk法を適用することで周期および周期解の存在が示せる。なお、PΓQの微分
については、∂(PΓQ)
∂z =PΓ
∂Q
∂z であることに注意する。
Jacobi行列に現れる φu(T,u)は2.6節で出てきた変分方程式の解に相当する。つまり、
V(t;u0) =φu0(t,u0) とおくと、これは
{ dV dt = ∂f
∂u(φ(t,u0))V(t;u0) V(0;u0) =In
の解である。これを精度保証するためには C1-Lohner法を用いることになる。
次に行列Q˜z を Qz(˜z) の近似値とし、写像 PΓQ(z)−z=0 に対する Newton型作用素 N(z) を次で定める:
N(z) =z−(
In+1−PΓQ˜z
)−1
(z−PΓQ(z)) (4.6)
= (
In+1−PΓQ˜z
)−1(
PΓQ(z)−PΓQ˜zz )
= (
In+1−PΓQ˜z
)−1
PΓ
(
Q(z)−Q˜zz )
. (4.7)
実際には区間ベクトル[z]を用いるので N([z]) =
(
In+1−PΓQ˜z
)−1
PΓ
(
Q([z])−Q˜z[z]
)
となる。逆行列の存在は、実際に精度保証法を適用した際に確認されることになる。
このとき区間値としての主要部はQ˜z[z]−Q([z]) なので、ここに対して平均値形式を適用する。
Q([z])−Q˜z[z]⊂Q(ˆz) ˜Qzzˆ+ (
Qz([z])−Q˜z
)
([z]−z).ˆ ˆ
z は[z]内の点であり、通常は中央値を取る。
以上より、PΓQ(z)−z に対するKrawczyk作用素KHY([z])は KHY([z]) =
(
In+1−PΓQ˜z
)−1
PΓ
(
Q(ˆz)−Q˜zˆz+ (
Qz([z])−Q˜z
)
([z]−z)ˆ )
(4.8) となる。nΓ, γ, およびQ˜z のみ浮動小数点数による計算で、それ以外は精度保証付きで計算を行 う。特にQz におけるV の計算は2.6節で述べた C1 Lohner 法を用いる。
KHY で得られた解に対応する u が Γ 上にあることを確認したい。もとの N(z) で確認する。
z= (T,u−u˜0)T, N(z) = (TN,u−u˜0)T とし、∆z =z−N(z)と置く。このとき式(4.6)より N(z)−z =−(
In+1−PΓQ˜z
)−1
(z−PΓQ(z))
∆z = (
In+1−PΓQ˜z
)−1
(z−PΓQ(z)).
したがって
(
In+1−PΓQ˜z
)
∆z =z−PΓQ(z) となるので、これより
∆z=z−PΓQ(z) +PΓQ˜z∆z (4.9) を得る。
ここで、PΓQ(z) およびPΓQ˜z∆z の u 成分はΓ 上にあるので、u∈Γ であれば式(4.9)の右 辺の各 u成分が Γ 上にあることになり、∆z の u 成分も Γ上にある。N(z) =z+ ∆z なので、
uN ∈Γ である。
次に、近似行列PΓQ˜z の取り方について検討する。区間演算を用いる精度保証付き計算では、数 学的に同値であっても表現が複雑になるほど区間拡大が起こりやすくなる。そこで、PΓQ˜z の形が 簡単になるようにQ˜z を選ぶことを考える。実際には PΓQ˜z として用いるので、この形そのもの を直接与えれば良いことに注意する。
まずPΓQz(˜z) を書き下す。
PΓQz(˜z) =
1 0
0 In− nΓnTΓ nTΓnΓ
1− 1 γnTΓf
( φ
(T ,˜ u˜0
)) 1 γnTΓ
( In−V
(T˜; ˜u0
))
f (
φ (T ,˜ u˜0
))
V (T; ˜˜ u0
)
=
1− 1 γf
( φ
(T ,˜ u˜0
)) 1
γnTΓ (
In−V (T˜; ˜u0
)) (
In−nΓnTΓ nTΓnΓ
) f
( φ
(T ,˜ u˜0
)) (
In−nΓnTΓ nTΓnΓ
) V
(T˜; ˜u0
)
ここで、γ の決め方より
nTΓf (
φ (T ,˜ u˜0
))
=γ が成立するので、
1− 1 γf
( φ
(T ,˜ u˜0
))
= 1− 1 γγ
= 1−1
= 0 および
(
In−nΓnTΓ nTΓnΓ
) f
( φ
(T ,˜ u˜0
))
=f (
φ (T ,˜ u˜0
))− nΓnTΓ nTΓnΓ
f (
φ (T ,˜ u˜0
))
=f (
φ (T ,˜ u˜0
))− nΓ
nTΓnΓ
γ
=f (
φ (T ,˜ u˜0
))−f (
φ (T ,˜ u˜0
))
=0
を導ける。したがって、
PΓQz =
0 1
γnTΓ (
In−V (T˜; ˜u0
))
0 (
In− nΓnTΓ nTΓnΓ
) V
(T˜; ˜u0
)
となる。以上の議論はnΓ および γ が定義にしたがって厳密に計算されたものとしている。この ことから、これを近似する場合にはPΓQ˜z の第1列が 0 であるようにとれば良いことがわかる。