検定に用いる統計量

２つの母集団がそれぞれ正規分布N(µ1, σ²₁),N(µ2, σ₂²)に従っていて，母分散σ²₁, σ2が既知の場合 Z =( ¯X−Y¯)−(µ1−µ2)

pσ²₁/n₁+σ²₂/n₂ ∼N(0,1)

２つの母集団がそれぞれ正規分布N(µ1, σ²₁),N(µ2, σ₂²)に従っていて，母分散σ₁², σ2が未知であるが等しいと みなせる場合

T =( ¯X−Y¯)−(µ₁−µ₂) pσˆ²/n1+ ˆσ²/n2

∼t(n₁+n₂−2), σˆ²=n₁S₁²+n₂S₂² n1+n2−2 . 母分散の比の検定

２つの母集団がそれぞれ正規分布N(µ1, σ²₁),N(µ2, σ₂²)に従っている場合 F = σ₂²S₁^′2

σ₁²S₂^′2 ∼F(n₁−1, n₂−1) 母比率の検定

二項母集団からの大きさnの標本のうち属性Aを持つものの個数を確率変数X で表すと，X ∼B(n, p)に 従う．nが十分大きいときはXは近似的に正規分布N(np, np(1−p))に従う(ラプラスの定理).これを用いて，

母比率pの検定を行う．

Z= X−np

pnp(1−p) ∼N(0,1) ただし，p= ^X_n^1+X2

1+n2

母比率の差の検定

２つの母集団A, Bの中で1つの特性Cを持つものの母比率をp₁, p₂とする．この母集団からそれぞれ大き さn1, n2個の標本を抽出し，その特性を持つものの個数をX1, X2とする．

Z = X₁/n₁−X₂/n₂ q

(_n¹

1 +_n¹

2)p(1−p) ∼N(0,1) 多項分布に対する適合度の検定

A1, A2, . . . , Akの互いに排反な事象のいずれかが現れる多項分布において，P(Ai) =piとすると，大きさn の標本のうちAiに入る期待値はnpi=miである．また，大きさnの標本のうちAiに入る個数を確率変数Xi

で表すと，m≥5のとき，

χ²= Xk i=1

(X_i−np_i)² npi

= Xk i=1

X_i²

npi −n∼χ²(k−1) 確率分布に対する適合度の検定

帰無仮説 H0 : 「ある分布Dに従う」において，Dの分布の型は既知であって，母数θ1, . . . , θlを含ん でいるとする．次に，A1, A₂, . . . , A_k の互いに排反な事象のいずれかが現れる個数(X₁, . . . , X_k)の実現値を (x1, . . . , xk)とし，母数θiを推測する．そして，このθiを用いてAiに入るべき期待度数m1, . . . , mkを計算す る．このとき，

χ²= Xk

i=1

(X_i−m_i)² npi

∼χ²(k−l−1)

4.5. 検定に用いる統計量 61 独立性の検定

対Ai, Bjの出現度数の確率変数をXij，Ai, Bjの実現する確率をpi, qj．また，Ai, Bjが同時に起こる確率 をP_ijとする．nPij ≥5のとき，

χ²= Xk i=1

Xl j=1

Xij−nPij

nPij ∼χ²((k−1)(l−1)), Pij =piqj

63

第 5 _{章 演習問題解答}

1 スタージスの式から

階級数= 1 +^{log 100}_{log 2} = 1 + 6.64 = 7.64また最大値440最小値300より，階級幅は

階級幅= ⁴⁴⁰_7.64⁻³⁰⁰ = 18.4となるので，階級幅を18ととることにします．これより度数分布表を作成します．

表5.1: 度数分布表

階級 階級値 度数 相対度数 累積度数 累積相対度数

300∼318 309 2 0.02 2 0.02

318∼336 327 10 0.1 12 0.12

336∼354 345 25 0.25 37 0.37

359∼372 363 31 0.31 68 0.68

372∼390 381 8 0.08 76 0.76

390∼408 399 18 0.18 94 0.94

408∼426 417 5 0.85 99 0.99

426∼444 435 1 0.01 100 1.00

平均値

x = 1

100[318·2 + 336·10 + 354·25 + 363·31 + 381·8 + 399·18 + 417·5 + 435·1]

= 365.16 最大値440

最小値300 中央値 360 + 360

2 = 360 最頻値363

図5.1: ヒストグラム

図5.2: 累積度数分布表 問題解答２ 2.

電卓を使う場合は必ず途中の値を書く必要があります．また，計算は小数点以下2桁までで表わすことにし ます．

T_x= 841 T_y = 806 x= 35.04 y= 33.58 Txx=

X24 i=1

x²_i = 45553 Tyy

X24 i=1

y²_i = 36990 s_x=

r1

24T_xx−(x)²= 25.88 s_y = r 1

24T_yy−(y)²= 20.34 T_xy=

X24 i=1

x_iy_i= 37192 これより

sxy = 1

nTxy−Tx

n Ty

n

= 1

24·37192−841 24 · 806

24 = 372.85 r= sxy

s_xs_y = 372.85

25.88·20.34 = 0.71

65

これより正の相関でかなり強い相関があるといえる．

問題解答３

3

階級数= 1 +^log_{log 2}ⁿ = 1 +^{log 24}_{log 2} = 1 + 4.58 = 5.58 またxの最大値109最小値13より

階級幅= ¹⁰⁹_5.58⁻¹³ = 17.20

これよりxの階級幅を17と取ります．またyの最大値65最小値5より 階級幅=65−5

5.58 = 10.75 これよりyの階級幅を10と取ります．

表5.2: 相関表

x 10∼27 27∼44 44∼61 61∼78 78∼95 95∼112

y 階級値 18.5 35.5 52.5 69.5 86.5 103.5 計

0 ∼10 5 3 3

10∼20 15 6 6

20∼30 25 1 2 3

30∼40 35 1 1

40∼50 45 1 1 2

50∼60 55 2 3 2 7

60∼70 65 1 1 2

13 7 1 3 1 24

T_x= 841 T_y= 806 x= 35.04 y= 33.58 Txx=

X24 i=1

x²_i = 45553 Tyy

X24 i=1

y²_i = 36990 s_x=

r 1

24T_xx−(x)²= 25.88 s_y= r1

24T_yy−(y)²= 20.34 T_xy=

X24 i=1

x_iy_i = 37192

sxy = 1

nTxy−Tx

n Ty

n

= 1

24·37192−841 24 ·806

24 = 372.85

r= sxy

s_xs_y = 372.85

25.88·20.34 = 0.71

これより，x上のyの回帰直線は

y−33.58 = 372.85

670.24(x−35.04) = 0.56(x−35.04) したがって

y= 0.56x+ 13.96 問題解答４ 1.

(a) 標準化する．

P_r(X≤90) = P_r

µX−80

6 ≤90−80 6

¶

= Pr(Z ≤1.67) =Pr(−∞< Z <0) +Pr(0≤Z≤1.67) = 0.95 (b)

Pr(|X−80| ≤12) = Pr

µ|X−80| 6 ≤12

6

¶

= P_r(|Z| ≤2) = 2P_r(0≤Z≤2) = 2(0.477) = 0.95

(2) Xを一人一日当たりの水需要量とすると，X∼N(210,21²)．これより一人当たりの水需要量(夏期を除 く)が250(l/人)以上になる確率はPr(X ≥250)で与えられる．したがって，

Pr(X ≥250) = Pr

µX−210

21 ≥ 250−210 21

¶

= Pr(Z≥1.90) = 1

2 −Pr(0< Z <1.96) = 0.5−0.475 = 0.025 問題解答５

1.

X¯ = 1

10(110 + 121 + 133 + 124 + 126 + 118 + 112 + 125 + 131 + 120) = 122(cm) U² = 1

9

¡(110−122)²+ (121−122)²+· · ·+ 120−122)²¢

= 55.111(cm) また，S²= 9

10U²= 49.5999より，S= 7.043となります．

問題解答６

1 ある水域の一定区間における水質BODをXとおくと，X ∼N(µ,6.25)．又，標本数は15で，標本平均 X= 7.2より，

X ∼N(µ,6.25 15 )

67

ここで，Xを標準化すると，

Z= X−µ q

6.25 15

=7.25−µ q

6.25 15

これより，

P_r(|Z| ≤z^α

2) = 0.95

を満たす，z^α₂ を標準正規分布表を用いて求めると，z^α₂ = 1.96したがって，95%信頼区間は

|Z|=|7.25−µ q6.25

15

| ≤1.96

つまり

7.25−1.96 r6.25

15 ≤µ≤7.25 + r6.25

15

2 標準偏差が2.2より，母分散σ² = 6.25は既知である．この母集団から無作為に選んだ標本Xi はXi ∼

N(µ,6.25)の正規分布に従っていると考えることができる．したがって，

X¯ ∼N(µ, σ²/5) となる．ここで，X¯ を求めると，

X¯ = 1

5[28 + 24 + 31 + 27 + 22] = 132 5 = 26.4 標準化を行なうと，

Z= X¯ −µ

pσ²/5 ∼N(0,1) となる．95%信頼区間より，Pr(|Z| ≤z^α

2) = 0.95. また，z^0.05

2 = 1.96. したがって，

X¯−z^α

2

rσ²

5 ≤µ≤X¯ +z^α

2

rσ² 5 26.4−1.96p

6.25/5≤µ≤26.4 + 1.96p 6.25/5 24.21≤µ≤28.59

3 母平均µ= 146であるが母分散σ²は未知である．この母集団から無作為に選んだ標本X_iはX_i∼N(146, σ²) の正規分布に従っていると考えることができる．したがって，

X¯ ∼N(146, σ²/4) となる．ここで，X¯ を求めると，

X¯ = 1

4[145.3 + 145.1 + 145.4 + 146.2] = 582

4 = 145.5 母分散の推定にS^′2を用いると，

T =

X¯ −µ q

S^′2/4

∼t_n−1,α/2

となる．そこで，S^′2を求めると，

S^′2 = 1

3[(145.3−145.5)²+ (145.1−145.5)²+ (145.4−145.5)²+ (146.2−145.5)²]

= 1

3(0.04 + 0.16 + 0.01 + 0.49) = 0.23 となる．

95%信頼区間より，Pr(|T| ≤t_n−1,α/2) = 0.95. また，t3,0.005/2= 3.18. したがって，

X¯ −t_3,0.05/2 s

S^′2

4 ≤µ≤X¯ +t_3,0.05/2 s

S^′2 4 145.5−3.18p

0.23/4≤µ≤145.5 + 3.18p 0.23/4 144.73≤µ≤146.26

問題解答7 1標本比率はpˆ=¹⁸⁰₉₀₀ = 0.2．また，z^α₂ =z^0.05

2 = 1.96であるから，十分大きなnに対して，統計量X¯の分布 が正規分布N(p,^pq_n)で近似される．したがって，与えられたαに対して

P(|X¯ −p|

√pqn ≤z^α

2) = 1−α が成り立つ．これより，

X¯ −z^α

2

rp(1−p)

n ≤p≤X¯+z^α

2

rp(1−p)

n が成り立つ．ここで，X¯ とpをp¯で置き換えると，

(¯p−z^α

2

rp(1¯ −p)¯ n ,p¯+z^α

2

rp(1¯ −p)¯ n

これより， Ã

0.2−1.96

r(0.2)(1−0.2)

900 , 0.2 + 1.96

r(0.2)(1−0.2) 900

!

より，(0.174,0.226)となる．

1標本比率はpˆ=¹⁸⁷₃₀₀ = 0.623．また，z^α₂ =z^0.05

2 = 1.96であるから，十分大きなnに対して，統計量X¯ の分 布が正規分布N(p,^pq_n)で近似される．したがって，与えられたαに対して

P(|X¯ −p|

√pqn ≤z^α

2) = 1−α が成り立つ．これより，

X¯ −z^α

2

rp(1−p)

n ≤p≤X¯+z^α

2

rp(1−p)

n が成り立つ．ここで，X¯ とpをp¯で置き換えると，

(¯p−z^α

2

rp(1¯ −p)¯ n ,p¯+z^α

2

rp(1¯ −p)¯ n

69

これより， Ã

0.623−1.96

r(0.623)(1−0.623)

300 , 0.623 + 1.96

r(0.623)(1−0.623) 300

!

より，(0.568,0.678)となる．

問題解答８

1 この工場の製品をXとすると，X ∼N(µ,0.20²)であることが分かる．この工場から16個の製品を取り出 したとき，X¯ をそれらの標本平均とすると，

X¯ = 7.09, X¯ ∼N(µ,0.20²/16) となる．次に，この日の製品が規格から外れているかの検定を行なう．

 

H₀ : µ= 7 H₁ : µ̸= 7  有意水準α= 0.05

 統計量σ²が既知より，

Z= X¯ −µ

σ²/n ∼N(0,1)  H0のもとで，

Z0= 7.09−7.00

p0.20²/16 = 4(0.09) 0.2 = 1.8  

図5.3: 正規分布 z0.05

2 = 1.96より，H0を容認する．

95%信頼区間は

7.09−1.96 r0.20²

16 ≤µ≤7.09−1.96 r0.20²

16

より，

6.99≤µ≤7.19

2 この工場の製品をXとすると，X∼N(µ,0.0016)であることが分かる．この工場から8個の製品を取り出 したとき，X¯ をそれらの標本平均とすると，

X¯ = 1

8(11.97 + 12.02 +· · ·+ 12.05) = 12.028

となる．次に，この日の製品の直径の分散は0.0016より大きいといえるかの検定を行なう．

 

H₀ : σ²= 0.0016 H₁ : σ²>0.0016  有意水準α= 0.05

 統計量µが既知でσ²の検定を行なうので χ²= nS²

σ² ∼χ²_α,n−1  H0のもとで

S²= 1

8[(11.97−12.02)²+· · ·+ (12.05−12.028)²] = 0.0021 χ²₀= 8(0.0021)

0.0016 = 10.5  

χ²₀> χ²_0.05,7= 14.07 となり，H0は棄却される．

71

図5.4: χ2乗分布 95%信頼区間は

χ²_{1−0.05/2,8−1}≤0.0168

σ² ≤χ_0.05/2,8−1 より，

1.690≤ 0.0168

σ² ≤16.01 0.0010≤σ²≤0.0099

問題解答１０

1

n_A = 10,X¯ = 82, S_A² = 54.41 n_B = 12,Y¯ = 76, S_B² = 59.17 母平均の差の検定である．σ²₁=σ²₂より，

  H₀:µ₁=µ₂ H1:µ1̸=µ2

 有意水準α= 0.05  統計量

T = ( ¯X−Y¯)−(µ1−µ2) qσˆ²

nA +_n^σˆ2

B

∼tn_A+n_B−2

ただし，

ˆ

σ²=n_AS_A² +n_BS_B² nA+nB−2  H0のもとで，

T₀= 82−76

p62.7/10 + 62.7/12 = 6

√6.27 + 5.23 = 1.77  t_0.05/2,20= 2.23より，

T0= 1.77< t_0.05/2,20= 2.09 したがって，H0は棄却されない．

II.

nA = 10,X¯ = 82, S_A² = 54.41, S_A^{′ 2}= 60.44 nB = 12,Y¯ = 76, S_B² = 59.17, S_B^{′ 2}= 64.53 2母分散の比の左側検定である．σ₁²< σ²₂

  H0:σ²_A=σ²_B H1:σ²_A< σ²_B  有意水準α= 0.05  統計量

F = σ_B²S_A^{′ 2}

σ_A²S_B^{′ 2} ∼Fn_A−1,n_B−1

 H0のもとで，

F0= 60.44

64.53 = 0.936  

F1−0.05,10−1,12−1= 1 F0.05,12−1,10−1

= 1

3.105 = 0.322 より，

F0= 0.936> F1−0.05,10−1,12−1= 0.322 したがって，H0は棄却されない．

一般に，

Fα,n₁,n₂= 1 F_1−α,n2,n1 が成り立つ．

問題解答１１ 1遺伝形質 A:B :C:D= 9 : 3 : 3 : 1

 

H₀ : 「メンデル比に従っている」(p1, p₂, p₃, p₄= ₁₆⁹,₁₆³,₁₆³,₁₆¹) H1 : 「メンデル比に従っていない」(p1, p2, p3, p4̸=₁₆⁹,₁₆³,₁₆³,₁₆¹)

 有意水準α= 0.05

73

 統計量

χ²= X4 i=1

(Xi−npi)² np_i =

X4 i=1

X² np_i −n

 H₀のもとで，

χ²₀ = 243² 229.5+ 72²

76.5 + 78² 76.5 + 15²

25.5 −408

= 257.294 + 67.764 + 79.529 + 8.824−408 = 5.411  χ²_0.05,4−1= 7.81より，

χ²₀= 5.411< χ²_0.05,3= 7.81 したがって，H0を容認．

問題解答１２ 1

 

H0 : 「ポワソン分布P(λ)に従っている」

 有意水準α= 0.05  統計量

この表をポワソン分布とみて，死亡数の理論値を求める．これがポワソン分布P(λ)によるものと考えて，λ の値を推定する．死亡者数kのときの確率をp_kとすると，

X∞ k=0

kp_k=E(X) =λ

死亡者数 k 0 1 2 3 4 計 部隊数 fk 142 99 46 11 2 300

kfk 0 99 92 33 8 232

pk 0.473 0.33 0.153 0.036 0.0066 理論度数  mk 141.9 99 45.9 10.8 1.98

ここで，npk≈f_kよりP

kkf_k≈λn．これより平均値λは λ≈ 1

n X

k

kfk =232 300 = 0.77

死亡者数 k 0 1 2 3 4 計 部隊数 f_k 142 99 46 11 2 300 理論度数  m_k 141.9 99 45.9 10.8 1.98

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