有限回転増分と板厚増分

本節では，各増分ステップ間の有限回転量および板厚の更新について示す．なお，変位 の3次以上の項は接線剛性を導く線形化の際消滅するため，ここでは2次項までを考える. いま，軸性ベクトルが^t_t⁰θ^kである反対称テンソル^t_t⁰Φ^kを定義する．反対称テンソル^t_t⁰Φ^k と軸性ベクトル^t_t⁰θ^kは次式のような関係がある.

∆t→0lim 1

∆t

t⁰

tΦ^ktV₃^k= lim

∆t→0

1

∆t

t⁰

tθ^k×^tV₃^k= ˙^tV₃^k (3.9)

このとき，有限回転テンソル^t_t⁰Rは，幾何学的関係から次式のように厳密に求めることが できる^(3.15).

t⁰

tR=I+h₁(ω)^t_t⁰Φ^k+h₂(ω)(^t_t⁰Φ^k)² (3.10) ここで

h₁(ω) =sinω

ω , h₂(ω) =1 2

µsin(ω/2) ω/2

¶₂ , ω=

¯¯

¯^t_t⁰θ^k

¯¯

¯ (3.11)

ωが微小のとき，sinω,sin(ω/2)をTaylor展開すると次式が成り立つ.

t⁰

tR=I +^t_t⁰Φ^k+ 1

2!(^t_t⁰Φ^k)²+· · · (3.12) いま，軸性ベクトル^t_t⁰θ^kはシェルのディレクターベクトル^tV₃^kに直交する面内の2つの ベクトル^tV₁^k,^tV₂^kに分解されると定義すると次式が成り立つ.

t⁰

tθ^k =α^ktV₁^k+β^ktV₂^k (3.13) この場合^t_t⁰Rは^t_t⁰θ^kのまわりのp

(α^k)²+ (β^k)²だけの有限回転を表している．回転が微 小なときには，ディレクター^tV₃^kの^tV₁^k,^tV₂^kのまわりの回転角をそれぞれα^k,β^kとみな すことができ，ディレクター自身のまわりの回転は考慮されない.

次に板厚とその増分量を考える．いま，^t₀C の第3不変量III(^t₀C)は次式のように式展 開できる．

III(^t₀C) = det^t₀C = [^tg₁^tg₂^tg₃]²

[G₁G₂G₃]² (3.14)

なお，[ ]は，スカラー3重積を表す．ここで，

tg = [^tg₁^tg₂^tg₃]² = det£_t g_ij¤

=ε^ijptg_i1^tg_j2^tg_p3

G = [G₁G₂G₃]²= det [G_ij] =ε^ijpG_i1G_j2G_p3 (3.15) とおく．なお，ε^ijpは交代記号である．このとき，非圧縮条件式(3.6)は次式のようになる．

tg

G = 1 (3.16)

3.2.1節式(3.2)，(3.6)より，式(3.16)はFig.3.1の点Mにおいて成立する．よって時刻t の板厚^thは，

th= 2√ G [^tg₁^tg₂^td]^r_r¹2⁼⁰=0

r³=0

(3.17)

で与えられる．ここで，

tg₃= 1 2

th^td (3.18)

の関係を用いた．^tdは要素内の任意の点のディレクターベクトルであり、形状関数N_iを 用いて次式のように表される．

td=N_k^tV₃^k (3.19)

なお，^tdは，要素内の任意の点における補間されたディレクターベクトルであり，初期形 状が曲面の場合や，あるいは大変形により各節点におけるディレクターの方向が異なる時 には，0<|^td| ≤1であり，単位ベクトルとはならない．この現象は，通常の板厚が変化 しない微小ひずみ問題においても生じ，計算に用いられる実効板厚が低めに見積もられる．

本要素での式(3.17)による板厚の更新は，それを補正する役割を果たしている．曲面の曲 率が小さい場合等は，^tdを_|^tt^dd|と正規化してもよい．なお，本シェル要素では，板厚変化 は面内ひずみの影響が支配的であるとの仮定の下，式(3.17)より板厚を算出するにあたっ ては，面外せん断項を次式のように無視する.

tg_α3 =g_α·g₃≈0 (3.20)

時刻tの板厚^thを式(3.17)，(3.20)を用いて求めるとき，点Mにおいては式(3.8)の第 2,3項すなわち回転項は消滅するため，^thは並進変位自由度u^kのみの関数とみなすこと ができる．u^kが微小なとき，時刻t⁰の板厚^t0hに関して次式のようなTaylor展開が成り 立つ.

t⁰h=^th+π^k·u^k+u^l·Π^lm·u^m+· · · (3.21) ここでπ^k,Π^lmはそれぞれTaylor展開の際に現れる係数ベクトル，係数テンソルである. それぞれの具体的な成分表示は，以下に示す通りである.

時刻t⁰の板厚^t0hを次式に示す．

t⁰h= 2√ G

[^t0g₁^t0g₂^t0d] (3.22) いま，板厚^t0hはFig.3.1のサンプリング点Mで評価されるため，^t0g_iは次式の^t0g_i^M に置 き換えられる．

t⁰g_i^M = ∂N_k^M

∂rⁱ

tx^k+ ∂N_k^M

∂rⁱ u^k (3.23)

なお，添え字Mはその諸量がサンプリング点Mで評価されたことを示すものとし，^∂N

M k

∂rⁱ

は次式のように置いた．

∂N_k^M

∂rⁱ = ∂N_k

∂ri r¹=0 r²=0

(3.24)

以上より，^tg_ij =^tg_i·^tg_j,^td=^td·^tdと式(3.20)を用いて式(3.22)を書き直すと次式のよ うになる。

t⁰h= 2 rG^M

t⁰d^M q 1

t⁰g^M₁₁^t0g^M₂₂−(^t0g₁₂^M)²

(3.25)

式(3.25)より板厚^t0hは並進変位自由度u^kの関数であることがわかり，これをTaylor展 開すれば係数ベクトルπ^k，テンソルΠ^lmはそれぞれ以下の式になる．

π^k = −2 rG^M

td^M

¡_t

g^M₁₁^tg^M₂₂−(^tg₁₂^M)²¢₋³

2

·

tg₂₂^M∂N_k^M

∂r¹

tg^M₁ +^tg^M₁₁∂N_k^M

∂r²

tg₂^M

−^tg₁₂^M

µ∂N_k^M

∂r¹

tg₂^M +∂N_k^M

∂r²

tg^M₁

¶¸

(3.26)

Π^lm = −3¡_t

g^M₁₁^tg^M₂₂−(^tg^M₁₂)²¢₋₁

π^l⊗π^m

−2 rG^M

td^M

¡_t

g^M₁₁^tg^M₂₂−(^tg₁₂^M)²¢₋³

2

·

tg₂₂^M∂N_l^M

∂r¹

∂N_m^M

∂r¹ I+^tg₁₁^M∂N_l^M

∂r²

∂N_m^M

∂r² I +2∂N_l^M

∂r¹

tg^M₁ ⊗∂N_m^M

∂r²

tg₂^M + 2∂N_l^M

∂r²

tg^M₂ ⊗∂N_m^M

∂r¹

tg₁^M

−

µ∂N_l^M

∂r¹

tg₂^M +∂N_l^M

∂r²

tg^M₁

¶

⊗

µ∂N_m^M

∂r¹

tg₂^M +∂N_m^M

∂r²

tg^M₁

¶

−^tg₁₂^M

µ∂N_l^M

∂r¹

∂N_m^M

∂r² +∂N_l^M

∂r²

∂N_m^M

∂r¹

¶ I

¸

(3.27)

ドキュメント内 目 次 (ページ 42-45)