拡散方程式とラグランジュ未定乗数法

5.1で見たように，通常，ラグランジュ未定乗数法はシステムに対して課される拘束条件 を標準的な変分原理に取り込むときに用いられる。問題を非常に扱いやすいものにできる利 点があり，安直ではあるが運動方程式そのものに直接適用することもできる。Salmon （1988）

の例に従ってこの点をより詳しく説明しよう。温度Tに関する次の熱伝導式を考える: T= ∆κ T, κ>0

κ は正であるからこれは拡散方程式である。ラグランジュアン密度として次のものを採用す

る:

LT=

(

^T− ∆ ^T

)

実変数の補助場 α がラグランジュ未定乗数である。Action

ò

LTd dtr ^{で α について変分をと} れば初めの熱伝導式が得られるが，Tに関して変分をとると

 = − ∆

を得る。すなわち，α は凝集性の場である。境界条件は何でもいいので特に閉鎖系を考える と，そこでも凝集するということである。α はTの正準共役量であるが，実体的意味は不明・

非物理的で，あくまでも便宜上導入したものである。物理的世界では α=0 である。なお，

この‘Action’はSogo （2017），Takahashi （2017a） によっても考察されている。

正準‘ハミルトニアン’は

HT=

∫ (

^αT^−^LT

)

d^r

=

∫

∆^Tdr

となる。ハミルトンの正準方程式は

T=H^T = ∆T



= − H = − ∆ T^T

となり，確かに正しい運動方程式を与える。また，積分の境界で場が十分速く0になるとす ると，運動方程式を用いた後に部分積分を実行して

  

HT=

∫ (

∆ + ∆T T d

)

^r

=

∫

(

− ∆ ∆ +^T ∆^{2T d}

)

^r=0

より，ネーターの定理から期待される通り HT は運動の恒量であることが確かめられる。

動力学におけるラグランジュ未定乗数法は，もとの系の力学自由度を拘束条件の下で制限 する場合に用いられるのが普通である。この場合，系の位相空間の次元数は拘束条件の数だ け減り，力学の正準形式は次元数とハミルトニアンの変化によりもととは異なる形式をとる ことになる。（この事実は系を量子化するときに重大な意味を持つ。）ただし，拘束条件を使っ て余分の自由度を消去し，初めから力学自由度を減らしたラグランジュアンを書き下せば，

それを基に通常の正準形式をつくりあげることができる。

本節で議論したラグランジュ未定乗数法は，力学自由度を減らすものではなく，この点で 5.1の例と同類である。したがって，元の系の自由度をすべて生かして通常の方法で正準形 式を採用できるのである。

5.4. 複素場

ラグランジュ未定乗数法は，意味不明の凝集場を導入するという点を除くと，正準理論を 構成する上で良い見通しを提供する（Sogo 2017）。凝集場というこの招かれざる客を表面的 に取り除くことを考える（Takahashi 2017a）。

再び熱伝導式を取り上げる。次のような複素温度 τ _{を導入しよう:} = +T i

これは温度を仮りに複素数にまで拡張するということで，物理的に意味のある結果を得るた めには最終的には →0 とすべきものである。（実際，α=0 は適当な初期条件のもとでの 解である。）τ _と ^＊= -T i で LT を書き直すと

( )

( )

L^T=      ^-4i^＊  + ^＊- D + ^＊

( ) ( )

(

^{2 2 2}

)

4i      

= ^＊+  ^＊ - 

となる。全微分の項は落としている。ハミルトニアンは

( ) ( )

(

^{2 2}

)

T 4i

H =

ò

 -^^＊ +^ d^r

であるが，τ の共役運動量 =i^＊/ 2 を使ってこれを書き直すと

HT=i

∫

^_

( )

^{Ñ 2}+¹4

( )

^{Ñ 2}_dr

となる。フーリエ成分で次のように書くと

( )

_V^{2 ei ,}

( )

₂ⁱ_V ^{e i}

 = å^{k k r⋅}  = å^{＊k - ⋅k r}

k k

r r

ハミルトニアンは

( )

2 T i2

H =  å  ^{ }-^{k k}- ^{ ＊ ＊}-^{k k} k

k

( )( ) ( )( )

2

4 i ^k i i i ^k

 é-  -  -  -  ù

= å êë ^k- ^{＊k ＊k}+ ^k - ^＊k- ^{ k k}+ ^＊kúû

k

k

である。ハミルトン方程式は

2

HT i

^= ^{= -}    ^{D = D ＊}

T 2

H i

^{= -} ⁼  ^{D = - D} ^＊

で，先に得た T と α の運動方程式に一致し，正準形式が可能であることが分かる。実数の 温度にするには最後に →0 とすればよい。なお，正準形式におけるポアッソン括弧式は

r r r

r r r

r r

( ) ( )

^′ r

{

^,

}

_P^{≡ }

_{( )} ^{( )}

_′′

_{( )} ^{( )}

_′′^{′ −}

_{( )} ^{( )}

_′′

_{( )} ^{( )}

_′′^′









 ′′ =

(

− ′

)

∫

r dr r r

であり，フーリエ成分で表すと

{ }

^{( )}

, P

, ^{i i} 1 ⁱ

i e e

V   ¢ ^{⋅ - ⋅¢ ¢} V ^{⋅ -¢}

¢ =

å ^{ k ＊k k r k r} å ^{k r r}

k k k

であるから

{

^{  k,i＊k¢}

}

_P^{=k k,¢}

となければならない。これは，フーリエ係数に関するポアッソン括弧式は

{

A B^,

}

_P ^{A B A B}

i i

   

 ^¢¢   ^¢¢

¢¢ ¢¢ ¢¢

æ ö÷

=åçççè _{ ＊} - _{＊ } ÷÷ø

k k

k k k

のように定義されなければならないことを意味する。

［以下次号］

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【研究ノート】

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