伝熱量の計算
4.1.2 平板と円筒の定常熱伝導
(1) 平板の定常熱伝導 冷凍機器や空調機器における，熱交換器の熱量計算 の基本となる平板と円筒の定常熱伝導について考えてみる．図4.1に示したように，
平板の片面を加熱または冷却した後，時間が十分に経過すると，平板内の温度がも はや変化しない(d)の定常状態となる．式(4.3)で示された三次元の非定常熱伝導 方程式を，平板の一次元定常熱伝導問題に適用してみる．この場合，左辺非定常項 は零となり，熱伝導率を一定とすると式(4.3)は一次元定常熱伝導の式として次式
で示される．
d2T
dx2 = 0 (4.5)
式(4.5)の解としては容易に次式が得られる．
T =C1x+C2 (4.6)
すなわち，一次元定常熱伝導において，熱伝導率が一定の場合には物体内の温度は 直線分布となる．C1，C2は積分定数である．ここで，平板両端の温度が図4.1で示 されるように，x= 0でT =T1，x=LでT=T2とし，式(4.6)に代入し，定数を 決めると，
T =T1+ x
L(T2−T1) (4.7)
となり，平板内部の温度が求まる．また，平板内部を流れる熱量はフーリエの法則 を示した式(4.1)に式(4.7)を代入することにより，
Q=−AλT2−T1
L (4.8)
から求めることができる．式(4.7)と式(4.8)は，定常一次元熱伝導における温度分 布と熱移動を表す基本的な式である．なお本章では，座標系がとくに定められてい ない場合は，式(4.8)の分子である温度差を正の値(T1−T2)にとり右辺の負号を省 略して表示することもある．
Q 4.1 厚さ25 mm，伝熱面積0.65 m2のアクリル樹脂(λ= 0.21 W/(m·K))の両面温度 がそれぞれ34◦Cと2◦Cであるとき，アクリル樹脂を通過する熱量を求めよ．ま た，厚さ方向の中央位置の温度も求めよ．
A 定常状態における熱移動量を表す式(4.8)を用いることにより，アクリル樹脂を通 過する熱量は以下のとおりとなる．
Q=−AλT2−T1
L =−0.65×0.212−34
0.025 = 174.7 W
また，厚さ方向中央位置の温度は，式(4.7)においてx= 12.5 mmを代入して以下の ようにして求めることができる．
T=T1+x
L(T2−T1) = 34 +0.0125
0.025(2−34) = 18◦C
なお，この例題の場合，アクリル樹脂内部の温度分布は熱伝導率が一定であり直線であ るから，厚さ方向中央温度は両面の平均温度としても求めることもできる．
複数の平板が密着している多層板の伝導伝熱について考える．図4.2に示した多 層平板において各平板を通過する熱量Qは，定常熱伝導においてはお互いに等しく
4.1 熱伝導による伝熱 149 なければならないから次式で示される．
Q=Aλ1T1−T2
L1 =Aλ2T2−T3
L2 =Aλ3T3−T4
L3 =· · ·=Aλn
Tn−Tn+1
Ln
(4.9)
上式において，各平板の熱抵抗Lk/λk(k= 1,2,· · ·n)が図4.2に示すように直列に 配置されているとみなせるから，多層平板を通過する熱量は次式として書ける．
Q= A(T1−Tn+1) L1
λ1 + L2 λ2 +L3
λ3 +· · ·+ Ln
λn
(4.10)
すなわち，各平板の熱伝導率と厚さが既知の場合，多層平板の両端温度を計測する ことで，多層平板に流れる熱量を求めることができる．
L1 L2 L3 Ln
T1
T2
T3
Tn+1 Tn
l1
L1 l1
L2 l2
L3 l3
Ln ln
ln
l3
l2
T4
…
熱抵抗Lk/lkが直列に 配置されていると考 えてよい
図4.2 多層板内熱伝導
(2) 円筒の定常熱伝導 冷凍機器や空調機器の熱交換器には，平板ばかりで なく二重管や管群も多く用いられている．このような管の温度挙動を知りたいとき は，円筒座標を使って熱伝導の式を考える必要がある．円筒座標による熱伝導の基
礎式(4.4)において，定常状態を扱ってみる．いま，熱の流れを半径方向のみにつ
いて考えると，式(4.4)は簡略化され次式で表現できる．
1 r
d dr
rdT
dr
= 0 (4.11)
上式の一般解は，次のように示される．
T =C1lnr+C2 (4.12)
式(4.12)から円筒座標における温度分布は対数曲線となることがわかる．これは，
平板の温度分布を示した式(4.7)のような直線状態とは異なっている．図4.3に示 すように，r=r1でT =T1，r=r2でT =T2となる境界条件を満足するように C1，C2を定めると次の温度分布の式が得られる．
T−T1
T2−T1 = ln(r/r1)
ln(r2/r1) (4.13)
したがって，円筒の長さをLとすると，半径方向に流れる熱量Qは次式によって 計算することができる．
Q=−2πrLλdT
dr = 2πLλ T1−T2
ln(r2/r1) (4.14)
多層平板の場合と同様に，多層円管の熱移動について考えてみる．異なる材質の 多層円管の半径方向一次元定常熱伝導において，各材質を通過する熱量はそれぞれ 等しいから熱量は次式で示される．
Q= 2πLλ1 T1−T2
ln(r2/r1) = 2πLλ2 T2−T3
ln(r3/r2)=· · ·= 2πLλn
Tn−Tn+1 ln(rn+1/rn)
(4.15)
したがって，多層平板と同様に多層円管の内面と外面温度を用いて，通過する熱量 を表示すると次式となる．
Q= 2πL(T1−Tn+1) ln(r2/r1)
λ1 + ln(r3/r2)
λ2 +· · ·+ln(rn+1/rn) λn
(4.16)
この式は多層平板の通過熱量の式(4.10)に対応している．
r1 r L T1
l
a T2
T1 T2 r2
定常状態の温度分布は 対数曲線になる
図4.3 円筒壁内温度分布
4.1 熱伝導による伝熱 151
Q 4.2 内径30 mm，厚さ8.0 mm，熱伝導率0.15 W/(m·K)の材料の外側に厚さ15 mm， 熱伝導率0.03 W/(m·K)の円管状材料が密着してある．外側の円管外表面温度が 25◦C，内側材料の内面温度が200◦Cのとき，円管単位長さあたりの放熱量を求 めよ．
A 本例題は2重円管における半径方向熱量計算の例である．
式(4.16)において，題意よりL= 1 m，T1= 200◦C，T3= 25◦Cであるから，
Q= 2πL(T1−T3) ln(r2/r1)
λ1 +ln(r3/r2) λ2
= 2π(200−25)
ln(0.038/0.030)
0.15 +ln(0.053/0.038) 0.03
= 86.8 W
すなわち，円管の内側から円管外へ86.8 Wの放熱がある．
なお，二つの材料が密着している位置の温度は，式(4.15)から内面温度または外面温 度を用いて得ることができる．すなわち内面温度からは，
T2=T1− Q 2πL
ln(r2/r1)
λ1 = 200−86.8 2π
ln(0.038/0.030)
0.15 = 178.2◦C また，外面温度からは次式で得ることができる．
T2=T3+ Q 2πL
ln(r3/r2)
λ2 = 25 +86.8 2π
ln(0.053/0.038)
0.03 = 178.2◦C