導波管から見た空洞の入力インピー

入力インピーダンスを求めよう。上に述べたよう に、入力波はzの正方向（単位ベクトルk方向）へ 向かうものとする。また、空洞の物理的な境界であ る小孔で発生した空間高調波が十分減衰している場 所であれば、空洞結合孔Saの位置はさしあたりど こでも良いとしておく。そして反射波は無限遠点で 整合され、再び戻ってこないものとする。

さて空洞結合孔Sa面上での電磁場は空洞の固有 モードで展開されるが、また導波管モードでも展開 できる。空洞固有モードを用いた式(151)ではhn

は定義により結合孔Sa面に平行であり、E˜ も同式 では平行成分のみ考えればよい。そこで導波管モー ドについてもも平行成分、いいかえれば、k方向に 垂直な成分（横成分）のみに注目すればよい。

結合孔における電磁場を導波管モードで記述する まえに、導波管を伝搬する波の性質の要点をとりあ えず、まとめておこう。導波管理論によれば、管内 を+z方向に伝わる、ある特定のモードの波は電場 でも磁場でも横成分(t)と縦成分(z)に分け、それ ぞれはさらに(x, y)とzの変数分離をして

A(x, y, z)e^jωt

= [At(x, y) +Az(x, y)]e^{j(ωt−βgz)} (152) の形に表そう。ここでβgは管内波数である。磁場 のz成分がないモードをTM (transverse magnetic) モード、電場のz成分がないモードをTE (transverse

electric)モードという。導波管理論によればある特

定のモードの電磁場横成分について

ZgHt,g(x, y) =±k×Et,g(x, y) (153) という関係が成立することが証明される[20]。この 式で+符号はe^−jβgzの形で+z方向へ伝わる波に ついて、−符号はe^jβgzの形で−z方向へ伝わる波 についてである。Zgは断面上の位置によらず、今 考えているモードに固有の定数であって、波動イン ピーダンス（wave impedance）とよばれる。波動イ

ンピーダンスは、自由空間の固有インピーダンス ζ₀= 376.73Ω、自由空間波数β、管内波数βgの間 に、TMでは

Zg= 1 Yg

= βg

β (154)

TEモードでは 

Zg= 1 Yg

= β βg

(155) の関係がある。ここでYgは波動アドミッタンスで ある。

ここで電場、磁場の横成分を導波管断面で規格化 したベクトル場eg(x, y)、hg(x, y)を単位にとって 次のように表そう。

E˜g,t(x, y, z) = ˜V(z)eg(x, y)

H˜g,t(x, y, z) = ˜I(z)hg(x, y) (156) 規格化ベクトル場eg(x, y)、hg(x, y)は導波管断面 Sg上の積分が

S_g

eg·egdxdy=

S_g

hg·hgdxdy= 1 (157) となるものである。なお式(153)と(157)から

e_g(x, y)=h_g(x, y) (158) が成立する。

式(156)で表される進行波の電圧、電流で+z方

向へ進むものは添字+、−zへのものは添字−^を付 けて表すと、式(153)、式(158)から、

V˜₊(z) =ZgI˜₊(z) = ˜I₊(z)/Yg∝e^−jβgz V˜₋(z) =−ZgI˜₋(z) =−I˜₋(z)/Yg∝e^+jβgz

(159) となることが分かる（電流の符号にに注意）。ここ で導波管がz= 0において負荷インピーダンスZL

で終端されている場合を考える。任意のz(≤0)で の全電圧、全電流は

V˜(z) = ˜V₊(z) + ˜V₋(z)

I(z) = ˜˜ I₊(z) + ˜I₋(z) (160)

と表されるが、z= 0では

V˜(0) =ZLI(0)˜ (161) を満足しなければならない。式(159)、(160)、(161) を用いれば反射波は

V˜₋(0)

V˜₊(0) = Z˜L−Zg

ZL+Zg

≡R (162)

となることが分かり、Rを反射率という。これらの 式 からはまた、任意のzから負荷側を見たインピー ダンスが

Zin=Zg

1 +Re^2jβgz 1−Re^2jβgz

=Zg

ZL−jZgtanβgz

Zg−jZLtanβgz (163) と導ける。

このような準備をしたうえで、空洞結合孔Sa面 での電磁場を導波管モードで表すことを始めよう。

それにはまず

E˜t(aperture) = ˜Vgeg t

H˜t(aperture) = ˜Ighg t (164)

と置いてみる。以下では、結合孔のあるz位置での 電圧、電流を単にV˜g、I˜gと表記する。さて式(164) を式(151)に代入すれば

I˜ghg t≈

n

hn



jV˜g

S_a(n×eg t)·hndS µ₀

ω−^jω_Qnⁿ−^ω_ωⁿ²





+

m

gm

jV˜g

µ₀ω

S_a

(n×eg t)·gmdS

(165)

となって、左辺の結合孔における導波管電流と右辺 の空洞電磁場と関係づけらる。この両辺について eg tとのベクトル積をとる。ベクトル恒等式

(n×A)·B=n·(A×B)

および式(157)、(158)から導かれる関係

Sa

(eg t×hg t)·kdS

=−

S_a

(eg t×hg t)·ndS

= 1 (166)

を使ってSa上で積分すれば

I˜g≈

−jV˜g

n

Sa(n×eg t)·hndS ₂ µ₀

ω−^jω_Qnⁿ−^ω_ωⁿ²

−jV˜g

m

1 µ₀ω

S_a

(n×eg t)·gmdS ₂

(167) という結果がえられる。この式で[ ]内のベクト ル積の面積分が導波管と空洞の結合強度を表わすこ とが以下の議論で明らかになる。なおこのベクトル 積は形式的にはポインティング・ベクトルと同形で ある。

以下の議論で式(167)が実は等価回路表現そのも のであり、従って導波管とた空洞の結合についての 解釈が大変分かりやすくなる。

まず入力高周波の周波数ωがn番目のモードの 共振周波数ωnに等しい場合を考えてみる。その場 合、簡単のために他モードからのインピーダンスへ の寄与は小さく無視出来るとしよう。そうすると式 (167)から

V˜g

I˜g

≈µ₀ω_n Qn

Sa

(n×eg t)·hndS ₋₂

≡rn

(168) という式が得られ、空洞は共振点で純抵抗rnであ ることが分かる。この抵抗rnを使ってさらに

Cn ≡ 1 ω_nrnQn

(169)

Ln≡ rnQn

ω_n (170)

を定義する。また非循環モードには

L₀≡ µ₀

.

n

Sa(n×eg t)·gmdS

₂ (171)

と置く。r、C、Lがそれぞれ抵抗(Ω)、容量(Farad)、

誘導(Henry)の次元を持っていることは容易に確

かめられる。結局、結合面Sa でにおける導波管 基 本波 モード で見 た空 洞の 入力ア ドミ ッタ ンス Y˜in= 1/Z˜inが

Y˜in= I˜g

V˜g

= 1

jωL₀+

n

1

1

jωCn+rn+jωLn

(172)

と表わされることが分かる。これを等価回路で表わ すと図32のようになる。

L

₀

L

₁

L

₂

r

₁

r

₂

C

₁

C

₂

図32:空洞入力アドミッタンス

この式からいくつかの実用的な結論が敷衍でき る。

(1) ω →0では式(172)の.

nの項はωによって

殆ど変化せず一定値と見なしてよい。そこでそ れをY˜と表わせば

Y˜in(ω→0)≈ 1

jωL₀ + ˜Y (173) となる。すなわち非循環モードからの寄与がサ セプタンスの主要部分である。従って最低共振 周波数のモードのQ値が小さく、そのサセプ タンス曲線の裾がω →0 まで延びていれば、

非循環モードも無視出来なくなる訳である。

(2) ある特定のモードの共振周波数近く(ω ≈ωn) では、共振周波数前後で急激に変化する項と、

周波数に殆ど依らず ほゞ一定の項Y˜(ωn)の 和で近似できる。すなわち

Y˜in(ω≈ωn)≈ 1

1

jωC_n+rn+jωLn

+ ˜Y(ωn) (174) (3) 導 波 管 伝 播 モ ー ド の 固 有 ア ド ミ ッ タ ン ス を Yg(1/Zg)と式(145)で与えられる内部Q値 Qnで外部Q値Qext, nを次のように定義する。

Qext, n≡ Ln

Cn

Yg=rnYgQn (175) これを使うとを使うと式(174)は

Y˜in(ω≈ωn)≈

1 Q_{ext, n}

j ω

ω n −^ωωⁿ

+_Q¹

n

Yg+ ˜Y(ωn) (176)

となる。この式で整合された導波管が外部負荷 として並列に接続された空洞共振回路という特 徴がはっきりする。

(4) 結合孔Saから導波管を1/4管内波長（∆z=

±₂^π_βg）前後した点で見た入力アドミッタンス (インピーダンス)をY˜_in

1/Z˜_in

と表せば結合 孔Sa における入力アドミッタンス(インピー ダンス)Y˜_in

1/Z˜_in

と

Y˜in = 1

Z˜_in = Y_g² Y˜in

= Z˜in

Z₀² (177) の関係にあることが式(163)を使って証明され る。そうすると式(173)、(174)より

Z˜_in =

n

1

1

jωL_n +jωC_n +_R¹

n

+ 1 jωC₀

(178) が得られる。ただし

C₀ ≡L₀Y₀² C_n ≡LnY₀² Ln≡CnZ₀²

R_n≡r⁻¹_n Z₀² (179)

と定義している。これを等価回路で表わすと図 33のようになる。

C'₀ C'₁ C'₂

R'₁ R'₂

L'₁ L'₂

図33:図31、図32で考えている結合孔位 置からλ^g/4だけ移動して計った空洞の入 力インピーダンス表現

(5) 最後に式(168)、(171)に現れる[ ]²の項は理 想トランス1次、2次巻線比に対応しているこ とを示そう。

まずトランスの復習をしておく。図34のよう な、抵抗成分のないトランス(理想トランス)の 入出力を結ぶ行列F

V₁ I₁

=F V₂

I₂

(180) は

F= )

L₁ M

jω(^L1L₂−M²)

1 M jωM

L₂ M

*

(181)

で表される。 

L₁ L₂

I₁ I₂

V₁ V₂

m : 1

M L₁ −M L₂ −M

M

図34:理想トランス

ただしL₁、L₂はそれぞれ1次、2次側のイン ダクタンス、M は結合インダクタンスである。

巻線比および結合度はそれぞれ m=sqrtL₁/L₂ k=M/

L₁L−2 (182)

で与えられるが、k= 1を保ったままM → ∞ としたのが理想トランスであり、その行列は

Fideal=

m 0 0 _m¹

(183) と書ける。図35のように、このような理想ト ランスの2次側にあるインピーダンスZ₂をつ ないだとき、1次側から見たインピーダンスZ₁ はZ₂/m²に等しい。すなわち

Z₁= V₁ I₁ = V₂

m²I₂ = Z₂

m² (184)

m : 1

Z m

²

Z

図35:理想トランスにおけるインピーダンス値の変換

さてここで式(168)、(171)の面積分[ ]での eg tおよびhnやgnについて調べてみる。eg t

は導波管断面で規格化された関数であり、空洞 形状に無関係である。一方hnやgnは空洞体 積について規格化されているが、空洞と導波管 の実際の境界にある結合孔の大きさや寸法に依 存する。したがって、問題の面積積分は実際の 結合孔Sa上における空洞の場hnやgnを、導 波管の場eg tを物差しとして測ったものと考 えることもでき、あたかもトランスの１次、２ 次間の巻線比に相当するようなものである。実 際、”仮想巻線比”を

mn= cn

S_a(eg t×hn)·ndS

m₀= c₀

.

m

S_a(eg t×hn)·ndS (185)

と選んでみよう。ただしc₀、cnは長さの平方 根の次元をもつが結合孔の形には無関係な適当

な定数であるとしよう。すると式(168)、(169)、 (171)、(171)は

Cn=C_n/m²_n Ln =m²_nL_n rn=m²_nr_n

L₀=m²_nL₀ (186) のように書ける。この表現では、結合の大きさ が全て無次元数m²_n、m²₀のなかに繰り込まれ、

新しい回路定数はそれと無関係になっている。

これはとりもなおさず図32の回路が、理想ト ランスを使った図36の回路に書き直せること を示している。結局、空洞の結合孔の働きは、

結合の大きさはともかくとして理想トランスそ のもであった訳である。なおm²_nはQext, nに 比例する量であることが式(175)から分かる。

最後に、結合の大きさが未定のまま残っている ことについて補足しておく。あるモードの回路 による表現には式(186)で分かるように４つの 独立定数が必要である。ところが観測量は例え ばω_n、Qn、Qext, nの3つである。従ってどれ か1つの量が不定のまま残ることになる。しか しここでの議論は理想トランス回路で空洞の共 振モードが表わせることにあったので、不定性 は問題ではない。 

1 : m₀ 1 : m₁ 1 : m₂

r''₂ r''₁

C''₂ C''₁

L''₀ L''₁ L''₂

図36: 結合の大きさを理想トランスの巻 線比で表したときの空洞の等価回路

5 ビーム・ローディング

空洞を通過するビームは空洞の様々なモードと結 合し、エネルギーのやり取りを行う。従って、空洞 にとってビームはもう一つの外部回路とみなせる。

ここでは加速モードとのエネルギーのやり取りに限 定して、相互作用の基本を述べる。

断面が一定の無限に長いビームパイプを走ってい る一個の荷電粒子が、途中で空洞を通過したとす る。空洞には初め電磁場が存在しなかったとすれ ば、粒子はそこに電磁場を励起し、運動エネルギー をその分減らして走り去る。この電磁場をウェーク 場といい、空洞の固有モードで展開するとあらゆる 成分を持っている。ウェーク場は、中心軸上におい て軸に平行な電場をもつ縦ウェーク場と、ビームを 偏向する直角方向電場および磁場をもつ横ウェー ク場の二つに大別さる。前者では電磁場エネルギー とビームの運動エネルギーのやりとりそのものが 問題になるが、後者ではビーム軌道の偏向が問題と なる。

さて、ここでは縦ウェーク場として代表的な加速 モードの励振について考察するわけであるが、簡単 のために、ビームを周波数成分にフーリエ分解した とき、直流成分以外には加速モードの固有周波数に ほゞ一致する成分しか持たないとする。他のモード は共振点から外れており無視できるとする。また ビームは超相対論的であり、空洞内の電磁場の影響 を受けてその速度が変わらないとする。すなわち ビーム電流の時間波形は空洞内の電磁場とは独立で るとする。^∗3

そうするとビームが励起する電磁場は外部高周波 源が作る電磁場とは独立な高周波源となる。すなわ ち空洞内の電磁場は両者のフェーザーベクトルの線 型和となる。ただしビーム加速へ働くのは両電圧ベ クトルの和のビームフェーザーベクトへの射影成分

∗3このような超相対論的ビーム近似は大抵の電子加速器で は十分に成り立っている。しかしクライストロンの空洞 のように数百kV程度の電圧のビームとの相互作用が問題 となる場合は、ビーム電流の時間波形への電磁場の反作 用が本質的で、数値シミュレーションで解かなければな らない。

ドキュメント内 Slater[] Collin[] [3] [4] AR 508.6MHz λ =58.9cm 4 9.7m APSAlternating Periodic Structure 50kW.M/m 3M cm 7.5 WR500 f c TE 0 f c = 393MHz 9 90k 0 (ページ 30-41)