これまでに有理数同士での対応をつけたので，これをふまえて「無理数」同士の対応をつけよう．
22一意性については5.4節で，少し別の角度からもう一度考察する
5.3.1 写像の構成
まず，KとK0別々に「実数と極限」の議論を（通常の解析の講義のように）行っておく．これは実数の公理1.1.1 に基づけば行えるので，問題はない．このノートではそのような普通の議論はくり返さず，その結果（の一部）を 用いる．
さて，Kの任意の元xに対し，lim
n→∞xn =xとなるような有理数のコーシー列{xn}が存在する．x∈Kに収束 する有理コーシー列はいろいろあり得るが，それらのうちの２つを{xn}と{x˜n}とすると，これらは
nlim→∞|xn−x˜n|= 0 (5.3.1)
をみたす．（この関係は3章での「同値」な条件と同じである．） 同様にK0の任意の元y0に対しては lim
n→∞yn0 =y0となるような有理数のコーシー列{y0n}が存在する．
この準備の下に，Kの無理数からK0の無理数への写像Sを以下のように定義する．まず任意のx∈Kを固定 する．上で注意したように，xに収束する有理コーシー列{xn}がKの中にとれる．そこでこれを用いて写像Sを
S(x) := lim
n→∞S(xn) (5.3.2)
と定義する．
5.3.2 写像がwell-definedなこと
3章での議論と同じく，まずは上の定義がちゃんとした定義になっている（代表元の取り方によらない）事から確 かめる必要があるが，これは大丈夫だ．実際，{xn}と{x˜n}が共にx∈Kに収束する有理コーシー列だとしよう．
このとき，
nlim→∞|S(xn)−S(˜xn)|= lim
n→∞|S(xn−˜xn)|= lim
n→∞|x0n−x˜0n| (5.3.3) である（x0n,x˜0nは前節までに作ったxn,x˜nに対応するK0の有理数を表す）．ところが写像Sは絶対値を保存する
（|x0n−x˜0n|=|xn−x˜n|）ので，上の右辺は lim
n→∞|xn−˜xn|= 0に等しい．つまり，lim
n→∞|S(xn)−S(˜xn)|= 0が示 され，(5.3.2)の結果が代表元である{xn}によらない事が示された．
Sと同様にTも定義する．つまり，x0 ∈K0に対してx0に収束するK0内の有理コーシー列{x0n}を持ってきて，
T(x0) := lim
n→∞T(x0n) (5.3.4)
とするのである．この定義が代表元の取り方によらないのはSと同様にして証明できる．
5.3.3 写像の性質
さて，このように定義したS, T が我々の望む性質をもっていることを証明して行こう．
（１）x∈Kが有理数の場合，上の定義によるS(x)は前節までの定義による（有理数の対応としての）S前節(x) と一致する．Tについても同様である．
（証明）S(x)は代表元の取り方によらないのだから，{x, x, x, . . .}（各項がx∈Q）という代表元をとって計算 すると
S(x) := lim
n→∞S前節(xn) = lim
n→∞S前節(x) =S前節(x) (5.3.5)
となって一致．
（２）Sは四則演算と両立する．例えば，加法に関して
S(x+y) =S(x) +S(y) (5.3.6)
が成り立つ．Tについても同様である．
（証明）x, y ∈ Kの代表元をそれぞれ{xn},{yn}とすると，x+yの代表元の一つはzn := xn +yn である．
従って，
S(x+y) = lim
n→∞S(zn) = lim
n→∞S(xn+yn) = lim
n→∞
³
S(xn) +S(yn)
´
= lim
n→∞S(xn) + lim
n→∞S(yn)
=S(x) +S(y) (5.3.7)
となる．最初と最後の等号はSの定義(5.3.2)によるもので，その次の等号はznの定義，またそのあとの２つの等 号はK0において成り立つ極限の性質による．
（３）SはK, K0の順序を保存する．つまり，x, y∈Kに対して，
x < y =⇒ S(x)< S(y) (5.3.8)
が成り立つ．Tについても同様である．
（証明）有理数の順序を保存する事を用いるのが一番、簡単だろう．つまり，Kにおいて成り立つ極限の性質か ら，x < yならば両者の間の有理数rが存在する——x < r < yとなる有理数rがある．x, yの代表元を{xn},{yn} とするとき，すべてのnにおいてxn < r < ynとなっているようなものがとれる．このとき，有理数に対しては順 序がSによって保存されるからS(xn)< S(r)< S(yn)が成り立っている．ここでn→ ∞の極限をとると，K0に おける極限の性質から
nlim→∞S(xn)≤S(r)≤ lim
n→∞S(yn) (5.3.9)
が成立する．この式の左辺はS(x)，右辺はS(y)だから，
S(x)≤S(r)≤S(y) (5.3.10)
が得られた．最後に，どちらの等号も成り立たないことを示せば、証明は終わる．
（４）SはK→K0の，T はK0 →Kの単射である．
（証明）上の「順序の保存」からすぐに出る．つまり，x6=yということはx < yまたはx > yということであっ て，この時は順序の保存からS(x)< S(y)またはS(x)> S(y)となる．つまり，S(x)6=S(y)が保証される．
（５）任意のx∈Kに対して，T¡ S(x)¢
=xである．また，任意のx0∈K0に対して，S¡ T(x0)¢
x=x0 である．
（証明）SやTの結果は代表元の取り方によらないことを用いる．xに収束するK内の有理コーシー列の一つを {xn}とする．定義により，S(x) = lim
n→∞S(xn)であるので，S(x)の代表元としてはx0n=S(xn)を使うことができ る．すると，Tの定義により
T¡ S(x)¢
= lim
n→∞T(x0n) = lim
n→∞T¡ S(xn)¢
(5.3.11) となるが，有理数xnに対してはT◦Sは恒等写像であったから，T(S(xn)) =xnである．つまり，
T¡ S(x)¢
= lim
n→∞T¡ S(xn)¢
= lim
n→∞xn =x (5.3.12)
が得られる．S◦T も同様．
（６）SはK→K0の，T はK0 →Kの全射である．
（証明）SによるKの像S(K) :={S(x)|x∈K}がK0を部分集合として含む事，つまりS(K)⊃K0 を証明 したい．そこでy0 ∈K0を任意にとってみる．このy0 ∈ K0 に対しても写像T を施す事はできる（なぜなら，T はK0全体で定義されているから）から，Tによるy0の像をz:=T(y0)とおく．更にzにSを作用させた結果を x0 :=S(z) =S(T(y0))とおこう．
ところが，任意のy0∈K0に対してS(T(y0)) =y0であることは既に見た．従って上から，y0=S(T(y0)) =x0=S(z) が得られる．これはy0がz∈KのSによる像である事を意味する．これが任意のy0 ∈K0について成り立つから，
S(K)⊃K0である．
T の方も同様である．
以上から，これまでに構成したS, Tは我々の欲しい性質をすべて満たしており，特にKとK0の間の同型写像を 与える事がわかった．よって，この意味でKとK0は本質的に同じものであり，「実数の全体」は一意に定まる．