多層版解析のための調和解析法と

選点法の理論展開と床版構造への適用

本章では多層構造となる実橋床版への厚板理論の展開を図るため，多層版での解析手法の検討 を実施する．解析の基本は三章で誘導した変位関数による厚板理論であり，境界条件の拡大を実 現した混合法を活用している．本章で用いる用語として調和解析法と選点法を以下に定義する．

調和解析法：各層が接合する界面での伝達力を連続関数として扱い，級数解の各項毎に連続式 を満足させる手法．接合面は完全合成となる．

選 点 法：連続関数である接合面での伝達力を，面的に離散的なブロックに分割してブロッ ク内の任意点で伝達力を代表させる手法．

４．１ はじめに

道路橋床版は舗装とコンクリート床版から構成されており，複数の層からなる構造である．道 路橋床版が輪荷重による繰返し載荷で疲労劣化すると，使用限界に至る前の段階で補修，補強が 施されるが，現状で採用されている対策工法は既設床版に面的に接着させる工法が主流である．

例えば床版上面から超速硬コンクリートを重ね打ちする上面増厚工法や，床版下面に機械式アン カーで固定した鋼板内部にエポキシ樹脂を注入充填して一体化させる鋼板接着工法（図-4.1.1），

並びに，炭素繊維やアラミド繊維をエポキシ樹脂などで床版下面に含浸接着させる繊維シート接 着工法などがその代表例として挙げられる．これらの対策後には床版を構成する層数はさらに増 加することになり3～4層からなる多層版構造となる．前述の通りこれらの層は接着することに よって一体化されて剛性を発揮することから，はく離がその補強効果の持続性に大きな障害とな る．はく離の原因には下地調整の不良や接着面での異物の混入，接着剤の硬化不良など各種に渡 るが，本研究ではそれらの施工時の配慮によって除去できる問題は対象とせず，力学的見地から はく離の発生とそれが進展する危険性に着目し，その評価の手段として，簡単でかつ有効な解析 手法を提案する．

図-4.1.1 鋼板接着工法の概念図

４．２ 調和解析法と選点法の概要

２．３で示された応力法による厚板理論から誘導される単一版の上下面におけるx，yおよび z方向の応力と変位u，v，wとの関係式を誘導する．これらの式を図-4.2.1に示す多層版界面で の連続条件に適用して，多層版界面の伝達力を求めると，多層版の変位や応力の解析ができるこ とになる．通常の多層版解析では各層の積分定数を未知量として扱っているため，その後の計算 精度に難点が生じる．そこで式(2.3.21)の積分定数C1～C6を式(2.3.16)に代入して上下面での各変 位を求め，変位を連続させる方法を以下に示す．この方法によれば級数の項数が増大しても発散 が防止できる．なお上添字u．lは上面と下面を意味している．

版の上下面での伝達力を図-4.2.1のようにとれば，上下面の変位u，v，wは次のように得られ る．なお，各式中の第7項は物体力による影響項である．

図-4.2.1 多層版の模式図

注入材 シール材

Z

_l

X

_l

Y

_l

z y

x

X

_u

Z

_u

Y

_u

m n

m u c u a u

u X D Y D Z D

u ₂/ ₃/ ₁ / ³

2

X^lD₅/ _a Y^lD₆/ _c Z^lD_{8 m}/ ³ B_u^u _m ² cos _mxsin _ny/ ，

m n

m u c u a u

l X D Y D Z D

u ₅/ ₆/ ₈ / ³

2

X^lD₂/ _a Y^lD₃/ _c Z^lD_{1 m}/ ³ B_u^l _m ² cos _mxsin _ny/ ，

m n

n u b u c u

u X D Y D Z D

v ₃/ ₂/ ₁ / ³

2

X^lD₆/ _c Y^lD₅/ _b Z^lD_{8 n}/ ³ B_v^u _n ² sin _mxcos _ny/ ，

m n

n u b u c u

l X D Y D Z D

v ₆/ ₅/ ₈ / ³

2

X^lD₃/ _c Y^lD₂/ _b Z^lD_{1 n}/ ³ B_v^l _n ² sin _mxcos _ny/ ，

m n

u n

u m

u

u X D Y D Z D

w ₁ / ₁ / ₄

2

X^lD_{8 m}/ Y^lD_{8 n}/ Z^lD₇ B_w^{u 3} sin _mxsin _ny/ ，

m n

u n

u m

u

l X D Y D Z D

w ₈ / ₈ / ₇

2

X^lD_{1 m}/ Y^lD_{1 n}/ Z^lD₄ B_w^{l 3} sin _mxsin _ny/ (4.1.1) ここで， _a ²/ _m²， _b ²/ _n²， _c ²/ _{m n}，

D₁ 1 1 1/D_p 1/D_m ，

2 2

2 1 tn /D_m ct /D_p tn ct _n / _m

D ，

2 2

2 1 tn /D_m ct /D_p tn ct _m / _n

D ，

ct tn D ct D tn

D₃ 1 / _m / _p ，

m

p ct D

D tn

D₄ 1 / / ，

2 2

5 1 tn /D_m ct /D_p tn ct _n / _m

D ，

2 2

5 1 tn /D_m ct /D_p tn ct _m / _n

D ，

ct tn D ct D tn

D₆ 1 / _m / _p ，

p

m tn D

D ct

D₇ 1 / / ，

1 ct tn

D_p ，D_m ct tn 1，

zm m zp

p u

u D S D S

B 1/2 1 / 1/2 1 /

_{1 /Dm n}²_{/ m}² _{Sxptn 1 /Dp n}²_{/ m}² _{Sxmct a} 1 /D_m 1 S_yptn 1 /D_p 1S_ymct _b

1 21 _a A_xh/2 B_{x m}/ ⁵ 1

A_yh/2 B_{y n}/ ⁵ 1 A_z / ⁵1 ，

zm m zp

p l

u D S D S

B 1/2 1 / 1/2 1 /

_{1 /Dm n}²_{/ m}² _{Sxptn 1 /Dp n}²_{/ m}² _{Sxmct a} 1 /D_m 1 S_yptn 1 /D_p 1S_ymct _b

1 21 _a A_x h/2 B_{x m}/ ⁵ 1

A_yh/2 B_{y n}/ ⁵1 A_z / ⁵1 ，

zm m zp

p u

v D S D S

B 1/2 1 / 1/2 1 /

_{1 /Dm m}²_{/ n}² _{Syptn 1 /Dp m}²_{/ n}² _{Symct b} 1 /D_m 1 S_xptn 1 /D_p 1 S_xmct _a

1 21 _b A_y h/2 B_{y n}/ ⁵1

A_xh/2 B_{x m}/ ⁵1 A_z / ⁵1 ，

zm m zp

p l

v D S D S

B 1/2 1 / 1/2 1 /

_{1 /Dm m}²_{/ n}² _{Syptn 1 /Dp m}²_{/ n}² _{Symct b} 1 /D_m 1 S_xptn 1 /D_p 1 S_xmct _a

1 21 _b A_yh/2 B_{y n}/ ⁵1

A_x h/2 B_{x m}/ ⁵1 A_z / ⁵1 ， ct

S D tn

S D

B^u_w 1 / _{p zp} 1 / _{m zm}

1 /D_m 1/2 S_yp 1 /D_p 1/2 S_{ym b} 1 /D_m 1/2 S_xp 1 /D_p 1/2 S_{xm a}

_{mAx nAy /} ⁶_{1 21 Azh/2 Bz /} ⁴₁ ， ct

S D tn

S D

B^l_w 1 / _{p zp} 1 / _{m zm}

1 /D_m 1/2 S_yp 1 /D_p 1/2 S_{ym b} 1 /D_m 1/2 S_xp 1 /D_p 1/2 S_{xm a mAx nAy /} ⁶_{1 21 Azh/2 Bz /} ⁴₁

多層版界面における連続条件から界面に作用する伝達力を求めるには，大別して2つの手法，

すなわち 1)連続化手法と 2)離散化手法がある．前者は界面での伝達力を連続関数として扱い級

数展開の各項(m．n)ごとに連続式を満足させる調和解析法で，接合状況としては界面全域で完全 合成となる状態を意味する．一方後者は連続関数である伝達力を離散的なブロックに分割し，ブ ロック内の任意点で伝達力を代表させる方法である．また離散化させる方法としては，a)矩形ブ ロックで代表点をブロックの中点とする場合，b)台形ブロックで代表点をブロック端点とする場 合，c)離散化を滑らかな2次曲線に置き換える場合，d)連続関数を高次の多項式でブロックを表 現する場合，等々が挙げられる．本論文では論理の簡潔さ，および計算の簡素化を図る目的で，

矩形ブロックによる方法を採用する．さらに伝達力に関する連立方程式にある操作を施すことに より，接合界面の任意領域での不連続性が存在する，例えば伝達力が喪失することに伴うはく離 等のずれ現象をもたらす場合の解析に，本方法が簡単でかつ有効な手段となることを明らかにす る．

図-4.2.2に示すN層からなる多層版を取り上げる．第i層と第(i＋1)層の界面を考えると，第i 層の上面の x，y，z 方向の伝達力を(Xi-1，Yi-1，Zi-1)，下面の伝達力を(Xi，Yi，Zi)，また第(i＋1) 層上面の伝達力は「作用・反作用の法則」から(Xi，Yi，Zi)となり，下面では(Xi+1，Yi+1，Zi+1)の 伝達力が作用する．

図-4.2.2 多層版モデル

界面での変位の連続条件式は次のように示される．

u_i^l u_i1^u

u i l

i v

v ₁

u i l

i w

w _{1 i 1,N 1} (4.1.2) 界面で既知のずれ現象が生じている場合には，式(4.1.2)の右辺にずれ関数δ(x^，y)を考慮すれ ばよい．

ａ）調和解析法

この方法は前述のようにFourier級数の各項(m，n)ごとに，変位の連続条件式を成立させる方 法である．式(4.1.1)を式(4.1.2)に代入すると，各方向での式が得られる．

・x方向

X_i1D₅ⁱ/ _a Y_i1D₆ⁱ/ _c Z_i1D₈ⁱ _m/ ²

X_i D₂ⁱ D₂ⁱ¹E_iⁱ¹ / _a Y_i D₃ⁱ D₃ⁱ¹E_iⁱ¹ / _c Z_i D₁ⁱ D₁^{i 1}E_iⁱ¹ _m/ ² X_i1D₅ⁱ¹E_iⁱ¹/ _a Y_i1D₆^{i 1}E_i^{i 1}/ _c Z_i1D₈^{i 1} _m/ ² B_u^l_,1 B_u^u_,i1E_iⁱ¹ _m 0

・y方向

X_i1D₆ⁱ/ _c Y_i1D₅ⁱ/ _b Z_{i 1}D₈ⁱ _n/ ²

X_i D₃ⁱ D₃ⁱ¹E_iⁱ¹ / _c Y_i D₂ⁱ D₂ⁱ¹E_iⁱ¹ / _b Z_i D₁ⁱ D₁^{i 1}E_iⁱ¹ _n/ ² X_i1D₆^{i 1}E_iⁱ¹/ _c Y_{i 1}D₅ⁱ¹E_i^{i 1}/ _b Z_i1D₈ⁱ¹ _n/ ² B_v^l_,1 B_v^u_,i1E_iⁱ¹ _n 0

x

_i

Y

_i-1

1層

i+1層 i層

・

・

Z

_i

X

_i-1

Z

_i-1

Y

_i

X

_i

・z方向

X_i1D₈ⁱ _m/ ² Y_i1D₈ⁱ _n/ ² Z_i1D₇ⁱ/

X_i D₁ⁱ D₁ⁱ¹E_iⁱ¹ _m/ ² Y_i D₁ⁱ D₁^{i 1}E_iⁱ¹ _n/ ² Z_i D₄ⁱ D₄ⁱ¹E_iⁱ¹ / 0 /

/

/ ² _{1 8} ^{1 1 2} _{1 7} ¹ _{,1 , 1} ^{1 2}

1 1 8 1

i i i u w l w i

i n

i i i i m

i i i

i D E Y D E Z D B B E

X (4.1.3)

ここで，E_i^{i 1} _i/ _{i 1}

式(4.1.3)を多層版の各界面に適用し，最上面と最下面の応力条件を考慮することから，界面で の伝達力が級数の各項(m^，n)ごとに，3(N

－

₁)元の連立方程式より求められる．また，伝達力を 各層の積分定数 C1i～C6i(i＝1，N)に代入することから，各層の変位および応力が得られる．ま た，変位法による解法は層状の地盤解析に威力を発揮するが，本論文では割愛する．

ｂ）選点法

界面の伝達力をx 方向に kx，y方向にky，つまり一界面当たりK=kx×ky個のブロックに分割 する．伝達力を各ブロック内では一様な矩形状とすると，式(4.1.1)で与えられる点(xj，yj)での変 位は次式のように変形される．

図-4.2.2 伝達力の分割の概念図

k m n

m k k z u c k

k y u a k

k x j u

u

iu X D₂/ Y D₃/ Z D₁ / ²

2

2 8 6

5/ / lk _z^k _m/

c k

k y l a k

k x

l D Y D Z D

X B_u^u _m cos _mx_jsin _ny_j，

_k ^m

k k z u c k

k y u

m n

a k

k x j u

l

iu X D₅/ Y D₆/ Z D₈ / ²

2

₂/ ₃/ lk _z^k _{1 m}/ ²

c k

k y l a k

k x

l D Y D Z D

X B_u^l _m cos _mx_jsin _ny_j，

i

1 k

_k ⁿ

k k z u b k

k y u

m n

c k

k x j u

u

iv X D₃/ Y D₂ / Z D₁ / ²

2

₆/ ₅ / lk _z^k _{8 m}/ ²

b k

k y l c k

k x

l D Y D Z D

X B_v^u _n sin _mx_jcos _ny_j，

_k ⁿ

k k z u b k

k y u

m n

c k

k x j u

l

iv X D₆/ Y D₅ / Z D₈ / ²

2

³/ ² / lk _z^{k 1} _m/ ²

b k

k y l c k

k x

l D Y D Z D

X Bv^l _n sin _mx_jcos _ny_j，

2 ₁ / ² ₁ / ² ₄/

k

k k z u n

k k y u

m n

m k k x j u

u

iw X D Y D Z D

/

/

/ ² ₈ ² ₇

8 Y D Z D

D

X lk _z^k

n k k y l m

k k x l

j n j m u

w x y

B ² sin cos ，

2 ₈ / ² ₈ / ² ₇/

k

k k z u n

k k y u

m n

m k k x j u

l

iw X D Y D Z D

X D₁ / ² Y D₁ / ² Zlk _z^kD₄/

n k k y l m

k k x l

j n j m l

w x y

B ² sin cos (4.1.4)

ここで， _x^k 16sin _mu_ksin _nv_kcos _{m k}sin _{n k}，

k n k m k n k m k

y 16sin u sin v sin cos

k n k m k n k m k

z 16sin u sin v sin sin

K k 1,

uk^，v_k^{：各ブロックの}x，y方向の幅

k， _k：各ブロックのx，y方向の中心位置

また界面でのブロックの中央点(xj，yj)で成立させる変位の連続条件式は，次のように示され る．

u j j i

i u

u1, 1,

u j j i

i v

v1, 1, u j j i

i w

w1, 1 ,

(4.1.5) したがって，1つの界面で分割ブロックの個数がKであるとき，未知の伝達力の層数は3Kと なる．多層版の層数がNである場合には，未知伝達力は3K(N－1)元の連立方程式を解くことで 得られる．

次に界面の任意領域でのはく離現象の発生は，この位置でのある方向の伝達力が無いと想定さ れる．以下の操作を伝達力に関する連立方程式に施せば，擬似的にこの現象が再現できる．簡単 のために，未知量がn^{個のベクトル}xの連立方程式が与えられているとする．

a₁₁x₁ a₁₂x₂ a₁₃x₃ a₁₄x₄ a_1nx_n b₁

2 2 4

24 3 23 2 22 1

21x a x a x a x a x b

a _{n n}

2 3 4

34 3 33 2 32 1

31x a x a x a x a x b

a _{n n}

・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・

n n nn n

n n

nx a x a x a x a x b

a_{1 1 2 2 3 3 4 4} (4.1.6)

ここで，a_ij i,j 1,n ：柔性マトリックス，b_i i 1,n は既知量

例えば，x2の値が零であるように設定する場合，x2の対角要素a22に大きな数Aを加える．す ると第2式は次のように変形される．

2 2 4

24 3 23 2 22 1

21x a A x a x a x a x b

a _{n n}

この式の両辺をAで除せば，上式は以下の式に変形されて，数値Aを限りなく無限大に漸近 させれば，最終的にはx2の値は零に近づくことになる．

A b Ax a Ax

a x A a Ax

a₂₁/ _{1 22}/ 1 _{2 23}/ _{3 2n}/ _{n 2}/ 1 x₂≒0

この操作をはく離領域内に存在するブロックに適用すれば，その領域に該当する伝達力はほぼ 零と近似できる．

界面の全ブロックにこの操作を適用することを考えると，Aの値を鉛直方向を除くxとy方向 の全てに適用すれば，選点法による数値解は非合成時，すなわち重ね版の状態に至る．

４．３ 調和解析法と選点法を用いた数値計算例

前節で誘導した多層版の解析手法を用いた実橋床版に対する計算例として，アスファルト舗装 を考慮した2層版や上面増厚工法を適用した劣化床版の計算を実施する．さらに選点法を用いて 防水層のはく離問題を取り上げ，その適用性を評価する．

４．３．１ 調和解析法による道路橋補強床版の数値解析

輪荷重の繰り返し作用により疲労劣化した道路橋床版への対策工法として，各種の補強工法が 提案されており，輪荷重走行試験によってその耐久性が確認され広く採用されている．それぞれ の補強工法では，既設床版との一体化で補強効果を確保するために，面的な接着を図ることが共 通点として挙げられる．しかし，接着状態を力学的に適切であると判断できる評価手法が見当た らないのが現状である．本項ではこのような現状に対して，調和解析法による多層版解析で接着 界面の応力状態を把握し，はく離発生の危険性を検討する^１）．はく離現象は活荷重のもたらす多 層版構造の界面に作用する付着せん断応力に支配されるので，本論文では横せん断応力に着目す る．また，多層版解析の応用として劣化床版を打ち替える際に観察される上側鉄筋に沿った水平 ひび割れ（写真-4.3.1）に関しても同様の解析法を駆使して，その発生の危険性を検討する．

写真-4.3.1 劣化床版の切断面

ａ）計算モデル

計算対象となる床版は図-4.3.1に示すとおり，橋軸方向が5000mmで橋軸直角方向が2500mm の単純支持長方形版で，その厚さを200mmとした．載荷荷重は道路橋示方書に準じて100kNと し，接触面の載荷形状は 200×500mm で床版中央に載荷した．健全床版 a)ではアスファルト舗 装 50mm が床版上面に敷設された現状と同様のモデルであり，舗装と床版にはズレがないもの としている．上面増厚工法の解析モデル b)では，施工時に既設床版上面を 10mm切削すること

水平ひび割れ

を考慮して床版厚さを190mmとし，増厚コンクリートの厚さは一般的な60mmで，床版劣化の 検討と同様に既設床版との付着界面にはズレがないものとした．何れの計算でも既設床版の状態 として健全床版と劣化床版を設定しており，健全床版の設計基準強度を f’ck=21N/mm²とし，道 路橋示方書のヤング係数 Ec=21.5kN/mm²を採用した．劣化床版は床版剛性が低下している状態 を表現するものとし，引張無視（ひび割れ考慮）のヤング係数比n=15に加え，既往の研究^２）で 確認されている等価なヤング係数比n=31でも計算している．本研究では，コンクリートのひび 割れ断面での骨材のかみ合わせ，鉄筋とコンクリートとの付着切れおよび鉄筋のダウエル効果等 による劣化床版のマクロ的な表現として，劣化床版のたわみと全断面有効時を想定する厚板理論 によるたわみ値とを等価にする床版の曲げ剛性から，劣化床版の換算ヤング係数を導入している．

床版と舗装，あるいは増厚コンクリートとの付着特性の把握には，床版の変形状態が主として影 響するため，ヤング係数を操作する手法で概ね問題はないと推量される.表-4.3.1は計算に用いた 物性値である．なお，解を得るための級数の項数は，収束していることを確認して設定した．

50200 60190

5000 200

500

2500

x y

P=100kN

P=100kN

P=100kN

アスファルト舗装

増厚コンクリート

（鉄筋コンクリート床版）

（鉄筋コンクリート床版）

図-4.3.1 計算モデル

表-4.3.1 計算に用いた物性値

材料 ヤング係数

（ｋN/mm²) ポアソン比

アスファルト舗装（冬季） 2.0 0.4

増厚コンクリート 33.0 0.2

既設コンクリート床版（健全） 21.5 0.2

既設コンクリート床版（劣化　n=15） 14.0 0.2

a) 健全床版

b) 上面増厚工法

ドキュメント内 博士論文 等方弾性体における変位関数の拡張と橋梁床版への応用に関する研究 金沢大学大学院自然科学研究科 環境科学専攻 環境創成講座 学籍番号 :4 氏 名 : 横山広 主任指導教官名 : 桝谷浩 (ページ 68-100)