x2Mx 2 x yMxy y2My xtxp ytyp h/2 qm xX yY zdz Zdz
x t2uzdz y t2vzdz t2wdz (付.6) 一方，版の変位について考える．版厚方向のせん断変形 xzおよび yzを無視すれば，xおよび y方向の変位uとvは以下のように得られる．
u u0 z xw，v v0 z yw (付.7) ここで，u0，v0；中央面(z=0)でのx，y方向の変位
式(付.7)から得られるひずみを式(付.1)と(付.2)に代入すれば，応力が求められる．
x E x0 y0 /1 2 zE x2w y2w /1 2 E T/1 ， 1
/ 1
/ 1
/ 2 2 2 2
0
0 zE w w E T
E y x y x
y ，
1 2 / 2
1 2
0/ zE w
E xy x y
xy (付.8) ここで， x0 xu0， y0 yv0， xy0 yu0 xv0
曲げモーメントMx，MyおよびMxyとたわみwとの関係式は次の通りである．
Mx D x2w y2w E Tzdz/1 ， My D y2w x2w E Tzdz/1 ，
w D
Mxy 1 x y (付.9) ここで，D Eh3/121 2 ；版の曲げ剛性
式(付.9)を式(付.6)に代入すると，たわみに関する基礎微分方程式が得られる．
D w h1 h2 /12 t2w
qm xtxp ytyp h/2 xX yY zdz Zdz E Tzdz/1 (付.10) ここで， x2 y2
また，引張り問題でのつりあい式は次のように示される．
udz Xdz
t N
Nx y xy xm t
x
2 (付.11) vdz
Ydz t
N
Nxy y y ym t
x
2 (付.12) ここで，Nx xdz，Ny ydz，Nxy xydz，txm txl txu，tym tyl tyu
式(付.8)より求められる軸力は次のように与えられる．
Nx Eh xu0 yv0 /1 2 E Tdz/1 ，
Ny Eh yv0 xu0 /1 2 E Tdz/1 1
2
0 /
0 v
u Eh
Nxy y x (付.13) 式(付.13)を式(付.11)および(付.12)に代入すれば，引張り問題でのNavier式が得られる．
H 2 x2 1 y2 2 h t2u0 1 x yv0 2 Xdz 2E x Tdz/1 2txm， H 1 x yu0 1 x2 2 y2 2 h t2v0
2 Ydz 2E y Tdz/1 2tym (付.14) ここで，H Eh/1 2 ；版の伸び剛性
式(付.14)を満たす変位を次のように設定する．
u01 1 x2 2 y2 2 h t2 1，
v01 1 x y 1 (付.15) 式(付.15)を式(付.14)に代入すると，式(付.14)の第2番目の式を自明で満たしていることが判る．
そこで第 1式を満足するように関数 1を決定すれば，関数 1は変位関数となる．この変位関数 の基礎式は，
H 1 2 h t2 h t2 1
txm Xdz E x Tdz/1 (付.16) 同様にして，変位関数 2も導入でき，その基礎式は次のように示される．
H 1 2 h t2 h t2 2
tym Ydz E y Tdz/1 (付.17) 変位関数 2に伴う変位は以下のように与えられる．
u02 1 x y 2，
2 2 2
2 2
0 2 x 1 y 2 h t
v (付.18) 静的問題の場合には上式で慣性項，すなわち h t2に関する項を削除することで得られる．例 えばたわみと変位関数に関するそれぞれの基礎方程式は次のようにまとめられる．
・曲げ問題
1 / 2
/ X Y zdz Zdz E Tzdz
h t t q w
D m x xp y yp x y (付.19)
・引張り問題
H1 1 txm Xdz E x Tdz/1 1 /
1 2 t Ydz E Tdz
H ym y (付.20)
ｂ）薄板理論の級数展開
従来，薄板解析ではS.P.Timoshenkoに代表されるFourier級数による古典的な級数解法が用い られてきたが，近年ではshell要素を用いる有限要素法が研究・実用面でも盛んに取り入れられ ている．しかしこの計算法では代数式で示される形状関数に近似度を有しているため，高次の微 分項である横せん断力や面内せん断力の算出には疑問が残る．そこで本論文では厳密解と位置づ けられる級数解法を採用する．
簡単な概要に留めるために，静的外荷重を受ける曲げ問題を取り上げ，特解と同次解について 以下に説明する．一般解は特解と同次解との和で表される．なお引張問題では同次解のみを記載 する．
ｂ－１）特解
式(付.19)の特解のうち
q
uのみが作用する場合について述べる．荷重q
uのFouier級数の展開は 次のように得られ，他の荷重t
xu，t
yu等についても同様である．m n
n m mn
u q x y
q sin sin (付.21) ここで， m m /a， n n /b， a，b；x，y方向のスパン，qmnはquのFourier係数，
特解によるたわみwpを次のような三角級数に仮定する．
m n
n m mn
p D w x y
w sin sin (付.22) 式(付.19)に上式を代入して級数項(m，n)に関して調和解析を行えば，係数 wmnいわゆ
るNavier解の係数が得られる．
wmn qmn/ 4 (付.23) ここで， 2 m2 n2
特解にはこの他にLevyタイプと呼ばれているはりの解が用いられることもある．
ｂ－２）同次解
同次解は版の境界条件を満足させるために導入する．誘導過程は式(3.3.15)と同様にして求め られる．この同次解をwhとすると次のように表される．