ε < 0 の場合

Finally, we mention the dependence on the exponentn.

A significantly elongated case such as a giant arc appears near the Einstein ring (!^!1), around which Eqs. (11) and (12) are expanded as

"_þ ¼ ðnþ1Þð!^&1Þ &ðnþ1Þðnþ2Þ

2 ð!^&1Þ²

þOðð!^&1Þ³Þ; (15)

"_& ¼ nþ1&nðnþ1Þð!^&1Þ þOðð!^&1Þ²Þ; (16) where we used the identity!^¼ 1þ ð!^&1Þ. The ratio of the tangential elongation to the radial one (corresponding to the arc shape) is

"_&

"_þ ¼ 1

!^&1þ! 1&n

2

"

þOð!^&1Þ: (17)

This suggests that, for the fixed observed lens position!,^ elongation of images becomes weaker, when n becomes larger. This dependence onn is true of also the secondary image.

B. " <0case

Let us study the" <0case. In the units of the Einstein ring radius, Eq. (4) is rewritten in the vectorial form as FIG. 2 (color online). Numerical figures of lensed images for

attractive (" >0) and repulsive (" <0) cases. They are denoted by dashed curves. We take n¼2. The source for each case is denoted by solid circles, which are located on the horizontal axis and the vertical one for" <0 and" >0, respectively.

FIG. 1 (color online). #, "_þ, and "_& for " >0. They are denoted by solid (blue), dotted (purple), and dashed (red) curves, respectively. The horizontal axis denotes the image position!in the units of the Einstein radius. Top left:n¼0:5. Top right:n¼1.

Bottom left:n¼2. Bottom right:n¼3.

IZUMI et al. PHYSICAL REVIEW D 88,024049 (2013)

024049-4 図 4.2: 引力(ε>0)と斥力(ε<0)、それぞれの場合のレンズイメージの 数値計算。破線で表されている。ここではn=2としている。光源は実線 の丸で表されている。

! ^ ¼ " ^ þ " ^

! ^

ð ! ^ > 0 Þ ; (18)

! ^ ¼ " ^ þ " ^

ð% ! ^ Þ

ð ! ^ < 0 Þ : (19) Without loss of generality, we assume " ^ > 0. Then, Eq. (19) has no root satisfying ! ^ < 0, while Eq. (18) has at most two positive roots. Figure 3 shows that there are three cases of the image number. For a large impact parameter case, two images appear on the same side with respect to the lens position, while no image appears for a small impact parameter. Then only one image appears only when the impact parameter takes a particular value. Let us focus on the two image cases, from which the single image case can be discussed in the limit as the impact parameter approaches the particular value.

By using Eq. (18), we obtain

#

¼ " ^

! ^ ¼ 1 þ 1

! ^

; (20)

FIG. 3 (color online). Repulsive lens model (" <0). Solid curves denote 1=!^ⁿ and straight lines mean !^%". Their inter-^ sections correspond to image positions that are roots for the lens equation. There are three cases: No image for a small "^ (dot-dashed line), a single image for a particular"^ (dotted line), and two images for a large "^ (dashed line). The two images are on the same side of the lens object.

FIG. 4 (color online). $, #_þ, and #_% for " <0. They are denoted by solid (blue), dotted (purple) and dashed (red) curves, respectively. The horizontal axis denotes the image position!in the units of the Einstein radius. Top left:n ¼0:5. Top right: n¼ 1.

Bottom left: n ¼2. Bottom right: n ¼3.

GRAVITATIONAL LENSING SHEAR BY AN EXOTIC LENS . . . PHYSICAL REVIEW D 88, 024049 (2013)

図4.3: 斥力レンズモデル(ε<0)。実曲線は1/θˆⁿを、直線はθˆ−βˆをそれ ぞれ表す。二つの線の交点はレンズ方程式の解である像の位置に対応す る。直線は以下の三種である：βˆが小さくて像が出現しない直線(鎖線)、 ある特定のβˆでは単一の像(点線)、βˆが大きくて像が二つ出現する直線 (破線)。二つの像はレンズオブジェクトに対し同じ方向に現れる。

 式(4.12)を使うことによって式(4.14)、(4.15)を得る。

λ+ = βˆ

θˆ = 1 + 1

θˆⁿ⁺¹ (4.14)

λ₋ = dβˆ

dθˆ = 1− n

θˆⁿ⁺¹ (4.15)

この式はn > −1においてλ₋ < λ+を表す。従って両方の像はいつも動 径方向に歪む。図4.4はn=0.5,1,2,3の時のκとλ+、λ₋を図示したもの である。

これら４つのケースから、λ+は常にλ₋より大きくなる。κはn=0.5で 負となり、n=2,3では正となる。(負の質量を持つ)シュバルツシルトレン ズに対応するn=1ではκ= 0となる。

51

!^¼"^þ "^

!^^nþ1 ð!^>0Þ; (18)

!^¼"^þ "^

ð%!^Þ^nþ1 ð!^<0Þ: (19) Without loss of generality, we assume "^>0. Then, Eq. (19) has no root satisfying!^<0, while Eq. (18) has at most two positive roots. Figure3shows that there are three cases of the image number. For a large impact parameter case, two images appear on the same side with respect to the lens position, while no image appears for a small impact parameter. Then only one image appears only when the impact parameter takes a particular value. Let us focus on the two image cases, from which the single image case can be discussed in the limit as the impact parameter approaches the particular value.

By using Eq. (18), we obtain

#_þ¼"^

!^¼1þ 1

!^^nþ1; (20)

FIG. 3 (color online). Repulsive lens model (" <0). Solid curves denote1=!^ⁿand straight lines mean!^%". Their inter-^ sections correspond to image positions that are roots for the lens equation. There are three cases: No image for a small"^ (dot-dashed line), a single image for a particular"^(dotted line), and two images for a large"^(dashed line). The two images are on the same side of the lens object.

FIG. 4 (color online). $,#_þ, and#_%for" <0. They are denoted by solid (blue), dotted (purple) and dashed (red) curves, respectively. The horizontal axis denotes the image position!in the units of the Einstein radius. Top left:n¼0:5. Top right:n¼1.

Bottom left:n¼2. Bottom right:n¼3.

GRAVITATIONAL LENSING SHEAR BY AN EXOTIC LENS. . . PHYSICAL REVIEW D88,024049 (2013)

024049-5

図 4.4: ε <0でのκとλ+、λ₋。それぞれ実線(青)、点線(紫)、破線(オ レンジ)で表されている。横軸はアインシュタインリング半径で規格化さ れた像の位置θ。左上：n=0.5 右上：n=1.0 左下：n=2 右下：n=3

式(4.14)、(4.14)はシア(4.16)を与える。

γ = λ+−λ₋

2 = 1 +n 2

1

θˆⁿ⁺¹ (4.16)

次にε >0の時と同様に指数nの依存性について調べる。ε<0では像が著 しく歪む場合、(4.15)よりθnˆ ^1/(n+1)にその像は現れる。この時、式(4.14)、 (4.15)は式(4.17)、(4.18)として展開される。N =n^1/(n+1)として、

λ+ =

! 1 + 1

n

"

− n+ 1

Nⁿ⁺²(ˆθ−N) +O((ˆθ−N)²) (4.17) λ₋ = n+ 1

N (ˆθ−N)− 1 2

(n+ 1)(n+ 2)

N² (ˆθ−N)²+O((ˆθ−N)³) (4.18) ここで恒等式θˆ=N + (ˆθ−N)を使っている。接線方向の歪みに対する 動径方向の歪みの比率（アークの形状）は式(4.19)となる。

λ+

λ₋ = 1 Nⁿ

1

θˆ−N +1

2 +O(ˆθ−N) (4.19) この式から、像の位置θˆを固定すると、像の歪みはnが増大するととも

に小さくなっていくことを表している。

 斥力による重力レンズはボイドのような質量分布を持つ時空構造によっ て引き起こされるだろう。上記の計算は背景時空が平坦(ミンコフスキー) であると仮定している。宇宙論的な状況を考慮する場合、重力ポテンシャ ルと質量密度はフリードマンルメートル背景時空に基づいた宇宙論的摂動 アプローチ中のスカラー摂動と密度コントラストに対応するだろう[102]。 この宇宙論的な対応ではκ <0となる現在のモデルは、局所質量密度が 宇宙の平均密度以下、もしくは密度コントラストが負となるような、コ ズミックボイドと呼ばれる低密度領域に対応すると考えられる。その領 域を通過する光に働く重力は、球状のボイドの中心での曲がり角が負で あるため、斥力(ε<0)として解釈されるだろう。従って、コズミックボ イドはκ<0かつε<0のケースに相当すると考えられる。宇宙の平均密 度による正のコンバージェンスは宇宙論的距離の中で考慮されることに 注意する。銀河団中と比べボイドの中にはごく少数の銀河しか存在しな い。従って、トレーサーとして銀河を使用することによりボイド内部の 重力を調査するのは難しいと言える。重力レンズシア観測はボイド研究 をするための一つの手段となるだろう。

 この章を終える前に、レンズの位置を知らずとも接線方向の歪みと動 径方向の歪みが区別できるかについて述べる。普通レンズ天体は銀河の ような直接視認できるレンズ天体をのぞいて直接観測することはできな い。特に、この章で議論されたような新奇なレンズモデルはその傾向が 顕著であろう。上記の計算では、2次元座標の原点にレンズオブジェクト の中心をおいている。結果動径方向と接線方向はうまく決定することが できる。動径方向に歪んだ像のペア(ε<0)では、互いに直線上に並んで 存在している。接線方向に歪んだ像のペア(ε >0)では、互いに平行に並 んで存在している。従って、直列に並んだ像を観測することによって接 線方向と動径方向の歪みを識別することができる。図4.2をみると動径方 向に歪んだ像のペアを確認できる。