基底の取りかたによる表現行列の違い

線形写像T :U →V の表現行列が基底の取り換えによってどう変化するか考察しよう. U の基底: u₁,· · · ,u_n および u^′₁,· · · ,u^′_n,

V の基底: v₁,· · · ,v_m および v^′₁,· · · ,v^′_m,

とし, u1,· · · ,unとv1,· · ·,vmに関するT ^{の表現行列を}A,u^′₁,· · · ,u^′_n^とv^′₁,· · · ,v^′_m^に関するT ^の表 現行列をB^とする. ^また, ^基底u1,· · · ,unによる基底u^′₁,· · ·,u^′_n^{の変換行列を}P, ^基底v1,· · · ,vmに よる基底v^′₁,· · ·,v^′_mの変換行列をQとする. このとき,

命題 26.3.1. ^{上の設定のもとで}B =Q⁻¹AP.

この命題は,それぞれの表現行列に関する可換図式をまとめた次の可換図式からほとんど明らかとも 言える.

Rⁿ ←−−−−^F2 U −−−−→^F1 Rⁿ

TB



y ^Ty y^TA R^m ←−−−−^G2 V −−−−→^G1 R^m

(26.3.1)

ここで,F₁, F₂, G₁, G₂は次の対応を意味する線形同型写像である:

F1: F1(uj) =ej ∈R^{nを満たす写像}, G1: G1(vi) =ei∈R^{mを満たす写像}, F₂: F₂(u^′_j) =e_j ∈R^{nを満たす写像}, G₂: G₂(v^′_i) =e_i∈R^{mを満たす写像}.

上の図式においてF1◦F₂⁻¹=T_P ^およびG1◦G⁻₂¹ =T_Q^である. これは変換行列の定義から直ちに得ら れる(詳しくは備考25.5.4を見よ). 可換図式(26.3.1)における左上のR^{nから左下の}R^{mへの写像が近道} と遠回りで同等なことからT_B=T_Q−1◦T_A◦T_P であり,これはB =Q⁻¹AP であることに他ならない.

命題26.3.1の証明. F₁◦F₂⁻¹ =T_P およびG₁◦G⁻₂¹=T_Qであり,次の可換図式が成り立つ: Rⁿ −−−−→^TP Rⁿ

TB



y y^TA R^m −−−−→^TQ R^m

可換図式(26.3.1)から上の可換図式が導かれること(つまりT_A◦T_P =T_Q◦T_B)はほとんど明らかではあ るが,^{一応確認しておこう}. G1◦T =TA◦F1の両辺に左からG1−1を合成することでT =G⁻₁¹◦TA◦F1

を得る. ^また,^同様にT =G⁻₂¹◦TB◦F2でもある. G⁻₁¹◦TA◦F1 =G⁻₂¹◦TB◦F2の両辺に左からG1

を右からF₂^{−1それぞれ合成すると}

G₁◦G⁻₁¹◦T_A◦F₁◦F₂⁻¹=G₁◦G⁻₂¹◦T_B◦F₂◦F₂⁻¹ id_R^m◦TA◦TP =TQ◦TB◦id_Rⁿ

T_A◦T_P =T_Q◦T_B.

ゆえに命題21.3.3^よりTAP = TQBおよびAP = QB^を得る. ^{この両辺に左から}Q^{−1 をかけて}B = Q⁻¹APである.

定理の主張への理解を促すため,上では図式を用いて説明した. 計算結果が正しければそれでよいとい うのであれば,次のような証明もある.

命題26.3.1の別証明. [T(u^′₁),· · · , T(u^′_n)]を二通りの方法で計算する. [u^′₁,· · ·,u^′_n] = [u₁,· · ·,u_n]P にT をほどこすと練習25.3.2より

[T(u^′₁),· · · , T(u^′_n)] = [T(u1),· · · , T(un)]P = [v1,· · ·,vm]AP.

一方で,

[T(u^′₁),· · · , T(u^′_n)] = [v^′₁,· · ·,v^′_m]B = [v1,· · ·,vm]QB.

以上より[v₁,· · ·,v_m]AP = [v₁,· · · ,v_m]QBである. 練習25.3.1よりAP =QB. したがってQ⁻¹AP = B.

線形変換T :U →U^において,Tで写すことによりベクトルが元の位置からどう変化するかを見るので あれば,定義域と終域において同一の基底を取っておくことが望ましい. ^そこで,^{定義域の基底}u1,· · · ,un

および終域の基底u1,· · · ,unに関するT^{の表現行列のことを}, ^{以下では単に基底}u1,· · ·,unに関する Tの表現行列と呼ぶことにしよう. 前命題の特別な場合として次を得る.

196

系 26.3.2. T :U →U^{を線形変換とし},U ^{の二組の基底}u1,· · · ,unおよびu^′₁,· · · ,u^′_n^{が与えられてい} るとする. ^このとき, u1,· · · ,unに関するT^{の表現行列を}A, u^′₁,· · · ,u^′_n^に関するT ^{の表現行列を}B, u1,· · · ,unによるu^′₁,· · ·,u^′_n^{の変換行列を}P^とすれば,B =P⁻¹AP^である.

線形写像を分析する立場からは,表現行列に現れる成分があまり複雑でないことが望ましい. ^そのため には基底を上手く選ぶ必要がある. ^{次章以降では},与えられた線形変換と相性のよい基底,^{すなわち表現} 行列が複雑にならないような基底の探し方を考察する.

定義 26.3.3. ^{同じサイズの正方行列}A, B^において,B=P⁻¹AP ^{を満たす可逆行列}P ^{が存在するとき}, A^とB^は相似(similar)^{であるという}.

行列A, Bが相似であるとき,これらは異なる座標軸を通して同じ線形変換を表したものと捉えること ができる. 実際,B =P⁻¹AP とすれば,標準基底に関するT_Aの表現行列はAであり,P の列ベクトル の組からなる基底によるTAの表現行列はB^である.

練習 26.3.4. 二つの行列が相似であるという関係は同値関係である. これを示せ.

命題 26.3.5. ^正方行列A, B^{が相似ならば}, trA= trB.

Proof. 仮定より,B =P⁻¹APと書ける. 命題20.4.3を用いれば, trB = tr(P⁻¹AP) = tr(

(P⁻¹A)P)

= tr(

P(P⁻¹A))

= trA.

トレースは相似な行列について不変な線形写像であり,相似について不変な性質(例えば座標軸の取り 換えについて不変な性質)を調べる際の指標²となることだろう.

26.4 1 対 1 の対応と可換図式

一般の線形写像Tを表現行列Aを用いて調べるにあたって,T が持つ性質とT_Aが持つ性質が同等で あることを理解しておく必要がある. 例えば,次のような性質をT が持つこととT_Aが持つことは同値で ある:

単射性, 全射性, 像の次元がℓ, 核の次元がr.

これらの同値性が可換図式(26.1.2)^{における全単射}F, Gを通して導かれることを確認しておこう. ^上の 四つの性質のほかにも,λ∈R^{が固有値となること},および固有値λに関する固有空間の次元, あるいは 一般固有空間の次元について同様の対応を次章以降で論ずることになる.

線形空間の枠組みの外でも通用する基本的な事実として,次の命題が成り立つ.

命題 26.4.1. 次の可換図式が成り立っているとする(^すなわちG◦T = S◦F ^{が成り立つ}). ^ここで, U, V, R_n, R_mは集合であり(線形空間でなくてもよい),T, S, F, Gは写像である.

U −−−−→^T V

F



y y^G R_n −−−−→^S R_m FおよびGが全単射であるとき次が成り立つ.

(1) T =G⁻¹◦S◦F, S =G◦T ◦F⁻¹.

(2) T^は単射 ⇐⇒S^は単射, T ^は全射 ⇐⇒S^は全射, T ^は全単射⇐⇒S^は全単射. (3) X⊂U について,T(X) =G⁻¹

( S(

F(X)) ) . (4) Y ⊂V ^について,T⁻¹(Y) =F⁻¹

( S⁻¹(

G(Y))) .

Proof. (1): G◦T =S◦F ^{の両辺に左から}G^{−1を合成すれば}T =G⁻¹◦S◦F^を得る. ^また, ^両辺に右 からF^{−1を合成すれば}S =G◦T ◦F⁻¹.

(2): 単射の合成は単射であること,および全射の合成が全射となることから, (1)^{より直ちに従う}. (3): 写像T =G⁻¹◦S◦FにおけるXによる像として,T(X) =G⁻¹◦S◦F(X) =G⁻¹

( S(

F(X)) ) である.

(4): 逆写像G⁻¹のY による逆像について(G⁻¹)⁻¹(Y) =G(Y)であることに注意して,T =G⁻¹◦S◦F におけるY の逆像を取ると,命題19.4.5により

T⁻¹(Y) = (G⁻¹◦S◦F)⁻¹(Y) =F⁻¹ (

S⁻¹(

(G⁻¹)⁻¹(Y)) )

=F⁻¹ (

S⁻¹(

G(Y)) ) .

備考: (3)および(4)の証明にFの全単射性は実は不要であり,これらはGの単射性のみから導かれる:

Gの単射性のみを用いた(3)と(4)の別証明.

(3): Gの単射性より各B ⊂ V についてG⁻¹(G(B)) = B である(練習19.2.5(1)). S ◦F = G◦ T より S◦F(X) =G◦T(X) =G(T(X)). この両辺によるGの逆像をとれば,G⁻¹(

S◦F(X))

=G⁻¹(

G(T(X)))

=T(X).

(4): 両方の包含関係を示す. 各x∈T⁻¹(Y)に対して,T(x)∈Y より(S◦F)(x) =G◦T(x) =G(T(x))∈G(Y).

ゆえにx∈(S◦F)⁻¹( G(Y))

=F⁻¹(

S⁻¹(G(Y)))

. 一方,各w∈F⁻¹(

S⁻¹(G(Y)))

= (S◦F)⁻¹( G(Y))

に対して, S◦F(w)∈G(Y)より,あるy∈Y を用いてS◦F(w) =G(y)と書ける. G(T(w)) =G◦T(w) =S◦F(w) =G(y) よりG(T(w)) =G(y)であり,Gの単射性からT(w) =y∈Y. したがってw∈T⁻¹(Y)である.

上の命題の応用として,一般の線形写像T :U →V の像と核が表現行列についての線形写像の像と核 にそれぞれ対応することを見よう.

命題 26.4.2. U ^の基底u1,· · · ,unおよびV ^の基底v1,· · ·,vmに関するT :U →V ^{の表現行列を}A^と すれば,^{次が成り立つ}.

(1) ImT ≃ImT_A, (2) KerT ≃KerTA,

(3) dim ImT = dim ImT_A= rankA, (4) dim KerT = dim KerT_A=n−rankA.

Proof. 可換図式(26.1.2):

U −−−−→^T V

F



y y^G Rⁿ −−−−→^TA R^m について前命題を適用する.

(1): X =U^{について前命題}(3)^{を適用すると} ImT =T(U) =G⁻¹

( T_A(

F(U)))

=G⁻¹ (

T_A(Rⁿ) )

=G⁻¹(ImT_A).

(^{↑ここで前命題}(3)^を用いた)

すなわち,線形同型写像G⁻¹: ImT_A→ImT が存在するゆえ,これらは同型である. 198

(2): Y ={0V}^{について前命題}(4)^{を適用すれば}, KerT =T⁻¹({0_V}) =F⁻¹

( T_A⁻¹(

G({0_V})))

=F⁻¹ (

T_A⁻¹( {0}))

=F⁻¹ (

KerT_A )

. (↑ここで前命題(4)を用いた)

線形同型写像F⁻¹ : KerTA→KerT^により,^{これらは同型である}.

(3)^と(4): ^{前半の等号は}(1)^と(2)^{より明らか}. ^{後半の等号は}, ^既に例22.1.3(2)^{で述べた通りであ} る.

TA:Rⁿ→R^{mにおける次元定理は例}23.2.5^{でみた通りであり},^{これと上の}(3)^および(4)^{を合わせる} ことで,^{一般の線形写像}T :U →V における次元公式の別証明を得る.

ドキュメント内 線形代数学講義ノート(2020/05/03ver) (ページ 195-200)