周期解とその安定性

本システムには様々な種類の周期解が存在するが，各半平面における解軌道の性質の違いから周期解の 分類を行なう．

半平面 H 上を運動する解軌道は次の2^{種類に分類される．}

• HS(Sliding): ^半平面 H ^上の Π0(y = b) を初期値とし出発した解軌道が dy

dt 6= 0 ^{を満たし，}

Π1(y=h) に到達する場合．

• HR(Rotating): ^半平面H ^上の Π0(y =b) を初期値とし出発した解軌道が dy

dt = 0^{を少なくとも} 一度以上満たし，Π1(y=h) ^{に到達する場合．}

例えば，図5.4.3(c)^は H_R¹H_S^{1 周期解であり，周期は}2^となる．Π0 上を出発した解軌道は HR もしく は HS を経て半平面B ^{上に移動する．}5.4.3^{節で述べたように，式}(5.4.2) は安定な平衡点を持つため，

システム全体にリミットサイクルが発生するためには HS により半平面 B ^{に移動した後，必ず} y =b を横断的に通過しなければならない．もしそうでなければ，解軌道は安定な平衡点に落ち着き2^度とス イッチング動作が発生しなくなってしまうためである．図5.4.5に上記の大域的分岐の発生する様子を 示す．半平面 B が解軌道として安定な平衡点を持つため，あるパラメータのとき解軌道が太い実線，

u2=T(u0) で示されたとすると，このパラメータにわずかなパラメータ変化を加えることでΠ1 に解軌 道が接し，その結果スイッチング動作が行なわれなくなる．この場合，解軌道は太い点線で示すように安 定な平衡点ue に落ち着いている．

ここで，(H_R^lH_S^m)ⁿ 周期解の安定性は合成写像T_ℓⁿ(u0) の微分値によって決定される．

定義(H_R^l H_S^m)^{n 周期解を}

• |µ|<1 ^{ならば，安定周期解}(^記号 S ^で略記)

• µ >1 ならば，正不安定周期解(^記号 D ^で略記)

• µ <−1ならば，逆不安定周期解(^記号 I ^で略記)

72 ^第 5章 状態依存型断続特性を有する非線形力学系における分岐

と呼ぶ．ここでµ ^は µ= ∂T_ℓⁿ

∂w0

(5.4.13) である．

(H_R^l H_L^m)ⁿ 周期解の分岐はµがスカラー値であるため次の3種類のみが発生する．

• ^接線分岐: µ= 1 ^{で生じる．}

• ^{周期倍分岐}: µ=−1 ^{で生じる．}

• ^大域分岐: 軌道の一部が局所断面に接することで生じる．

ここで，解軌道がΠ0もしくはΠ1に接するとき，スイッチング動作はおこらないと仮定する．

具体的に上記の分岐は，分岐パラメータ λ=λ0の前後について，次の関係式が成り立つことをいう．

• ^接線分岐:

Ø⇔ {D−type(H_R^l H_S^m)ⁿ}+{S−type(H_R^l H_S^m)ⁿ} (5.4.14)

• ^{周期倍分岐}:

S−type(H_R^lH_S^m)ⁿ⇔ {I−type(H_R^lH_S^m)ⁿ}+{S−type(H_R^lH_S^m)²ⁿ} (5.4.15)

• ^{大域的分岐}:

(H_R^lH_S^m)ⁿ⇔Ø (5.4.16)

ここで，⇔ は分岐の前後を表す分岐式を，Øは固定点が存在しない状態を示す．断続動作特性を有する 非線形力学系において，ある周期解に大域的分岐が発生した場合，新たにどのような周期解が発生するか はまったく予測できない．

5.4. 状態依存型断続特性を有するALPAZUR^発振器 73

(a)

(b)

(c)

図 5.4.3 コ ン ピ ュ ー タ シ ミ ュ レ ー シ ョ ン お よ び 回 路 実 装 1．大 域 的 分 岐 近 傍 の 安 定 な 周 期 解 (B2=5.0)．(a)H_R¹ 周期解(B1=1.86), (b)H_R⁴H_S¹ 周期解(B1=1.8), (c)H_R¹H_S¹ 周期解(B1=0.145).

74 ^第 5章 状態依存型断続特性を有する非線形力学系における分岐

(a)

(b)

(c)

図 5.4.4 コ ン ピ ュ ー タ シ ミ ュ レ ー シ ョ ン お よ び 回 路 実 装 2．カ オ ス ア ト ラ ク タ (B2=5.0)． (a)B1=0.56, (b)B1=0.5, (c)B1=−2.8．

5.4. 状態依存型断続特性を有するALPAZUR^発振器 75

図5.4.5 大域的分岐の様子．

76 ^第 5章 状態依存型断続特性を有する非線形力学系における分岐