安定平衡点に対する不安定化

6.3.1 制御器の構成

x^{∗ を式}(6.2.1)の平衡点とし，パラメータλ^∗ に状態フィードバックする不安定制御器を構成する．平

衡点周りの変分:

x=x^∗+ξ,λ=λ^∗+u (6.3.1)

に関する線形化方程式は次式となる．

dξ

dt =Aξ+Bu (6.3.2)

ここで，

A= ∂f

∂x

x=x^∗,λ=λ^∗

(n×n) (6.3.3)

B = ∂f

∂λ

x=x^∗,λ=λ^∗

(n×r) (6.3.4)

式(6.3.2)に対して次の状態フィードバックを構成する．

u=C^⊤ξ=C^⊤(x−x^∗) (6.3.5)

ここで >^{は転置を表し，}C^は (r×n)の定行列である．制御を加えたときの系の方程式は次式となる．

dx

dt =f(x,λ^∗+C^⊤ξ) (6.3.6)

このとき，制御系の特性方程式は次式で表される．

A+BC^⊤−µIn= 0 (6.3.7)

ここでInは(n×n)^{の単位行列である．式}(6.3.7)の極を極配置法により任意に指定することにより，式

(6.2.1)の平衡点周りの局所的な安定性を操作することができる．ここで，制御対象が可制御条件を満た

す場合には，任意の極配置が可能である [54]^{．可制御条件は，}

rank

B|AB|A²B| · · · |Aⁿ⁻¹B

=n (6.3.8)

で示される．つまり，式(6.3.8)^{を満たすとき，式}(6.3.2)に対し極を不安定に指定すれば，平衡点を不安 定化する制御系を構成できる．ここで制御を始める条件は，

||x−x^∗||< δ (6.3.9)

である．制御対象が安定結節点である場合，制御によって弾かれた軌道が再び安定多様体上に乗ってしま い，周期解が発生する可能性がある．そのため，δ は，線形近似が意味を失わない程度の大きい値を取る 必要がある．

6.3. 安定平衡点に対する不安定化 87

ここで，制御時間を示すパラメータτ ^{を導入する．式}(6.2.1)の解軌道が 平衡点近傍に来る，すなわち

式(6.3.9)を満たすならば，次の手順で制御を行う:

1. ^式(6.3.5)^{を用い，制御入力}u ^{を計算する．}

2. τ ^時間だけuを制御パラメータに印加する．

δ ^内に式(6.2.1)の軌道が入るたびに上記の制御を繰り返す．その結果，解軌道は安定平衡点近傍で不安

定となり，安定平衡点に落ち着くことはなくなる．

6.3.2 勾配系 (Gradient System)

図6.3.1で示される非線形抵抗を含むRC回路を考える．非線形抵抗は次式で表される特性をもつと仮

定する．

g(v2) =−αv2+βv₂³ (6.3.10)

回路定数を:

C1=C2= 1.0, R1=R2= 1.0, E = 0.5, α= 2.0, β= 1.0 (6.3.11) と固定すると，回路方程式は次式となる．





 dv1

dt =E−2v1+v2

dv2

dt =v1−

−v2+v³₂ (6.3.12)

この回路の位相平面図を図6.3.2に示す．ここでは電源電圧を制御して，安定結節点N1を不安定化し，

カオスアトラクタを得たいする．

変分をv1= ˆv1+ξ, v2= ˆv2+η, E = ˆE+u ^とし，式(6.3.2)^{に対応するヤコビ行列} A ^{および制御パ} ラメータ E ^の変分 BE を求めるとrank [BE|ABE] = 2 となり，可制御である．従って，制御を加え た系全体の特性方程式は次式となる．

A+BEC^⊤−µI2=µ²−pµ+q= 0 (6.3.13)

p ^，q を適当な不安定領域上に置いたとき，制御器C = (C1, C2)^{⊤ は次式で示される．}

C1=p+ (1−α+ 3v²₂) + 2

C2= (−(1−α+ 3v²₂))(p+ (1−α+ 3v₂²))−q−1 (6.3.14) τ =Runge-Kutta^{の繰り返し回数}×^刻み幅= 700×0.0005^，p= 3.0^，q = 3.0^，δ = 0.2^{と選び，制御を} 加えたときの位相平面図を図6.3.2に示す．振動的な素子の存在しない系から，カオス的な解軌道を生成 することができたことがわかる．

88 ^第 6章 不安定化制御によるカオスの一生成法

v

1

E

v

R

R

c c g v( )

図6.3.1 RC回路

図6.3.2 RC回路の位相平面図