正規直交基と直交行列

この節でも V は内積 ( , ) を持つ R 上の有限次元 vector 空間を表すものとする. また Rⁿ は標準内積を持つ内積空間を表すものとする.

定義7.2.1 dim(V) = n とする. {u₁, · · ·, u_n} は V の基で (7.2.2) (u_i,u_j) =δ_ij ( 1≤i, j ≤n)

を満たすとする. この様な基を 正規直交基 と称する. 実際, 7.1.8, 5.5.11, および仮定 dim(V) = n により, (7.2.2) が成り立てば,{u₁, · · · , u_n} は基となることに注意せよ. 命題7.2.3 ( Gram-Schmidtの直交化²⁾) {v₁,· · · ,v_n} を V の基とする. このとき V の 正規直交基 {u1, · · · , un} で

⟨v₁, · · · , v_r⟩_R=⟨u₁, · · · , u_r⟩_R (1≤r≤n) となるものが存在する. (記号については5.5.1を見よ. )

証明 まづu₁ = _||v¹

1||v₁ としてr = 1 の場合が成り立つ. 次に v^′₂ =v₂−(v₂,u₁)u₁, u₂ = _||v¹_′

2||v^′₂

とおくと (u₂,u₁) = 0, ||u₂|| = 1 となることがわかるから r = 2 のときも成り立つ. 一般に u₁, · · ·, u_r が所望の条件を満たすとき,

v^′_r+1 =v_r+1−

∑r i=1

(v_r+1,u_i)u_i, u_r+1 = _||v′¹

r+1||v^′_r+1 とおけば (u_r+1,u_i) = 0 (i≤i≤r) であり,u_r+1 の作り方から

⟨u₁,· · · , u_r, u_r+1⟩_R =⟨u₁,· · · , u_r, v_r+1⟩_R=⟨v₁, · · · ,v_r, v_r+1⟩_R となる.

定義7.2.4 内積空間 V 上の線形変換T が, 任意の u,v ∈V に対して, 等式 (T(u), T(v)) = (u,v)

を満たすならば, T は 直交変換 と呼ばれる.

注意7.2.5 {u₁, · · · , u_n} を内積空間 V の正規直交基とする. u = a₁u₁+· · ·+a_nu_n, v = b₁u₁+· · ·+b_nu_n と書くとき,

(u,v) =

∑n j=1

∑n i=1

a_ib_j(u_i,u_j) =a₁b₁+· · ·+a_nb_n.

2) 生まれ. Erhard Schmidt (1876-1959) Estonia生まれ.

命題7.2.6 {u₁, · · · , u_n} を内積空間 V の正規直交基とする. V の線形変換 T が直交変 換であるためには, {T(u₁), · · ·, T(u_n)} が内積空間 V の正規直交基であることが必要十 分である.

証明 (必要性) T は直交変換だから

(T(ui), T(uj)) =δij (1≤i, j ≤n)

である. dimV =n であるから, {T(u₁),· · · , T(u_n)} は正規直交基である.

(十分性) u, v ∈V とし, u =a₁u₁+· · ·+a_nu_n, v =b₁u₁+· · ·+b_nu_n とすれば, 7.2.5 によ つて

(u,v) =a₁b₁+· · ·+a_nb_n.

しかるにT(u) =a₁T(u₁) +· · ·+a_nT(u_n),T(v) =b₁T(u₁) +· · ·+b_nT(u_n)でもあるから,仮 定により

(T(u), T(v)) = a₁b₁+· · ·+a_nb_n= (u,v) を得,T が直交変換であることがわかる.

注意7.2.7 高校までで学ぶ 3 次元以下 Euclid 空間において, 原点を中心とする回転移動や, 原点を通る1本の直線あるいは 1枚の平面に関する対称移動, さらにそれらの合成変換は任意 の 2 点間の距離を変へない. 直交変換はそれを内積空間 (Euclid 空間の自然な一般化) へ拡張 したものに他ならない. ^{余談であるが},距離が定められてゐないのに,あらゆる滑らかな曲線と曲線の 交点に角度のみが定義されてゐる様な空間も存在する. その様な空間から,それ自身への角度を変へな い変換が考へられる(^{等角写像と呼ぶ}). その例は複素函数論で学ぶであらう.

定義7.2.8 実正方行列 A が ^tAA=I を満たすとき A は 直交行列 であるといはれる.

問7.2.9 次の行列は直交行列であることを確かめよ.

[ cosθ −sinθ sinθ cosθ

] ,

[ 0 1 0 0 0 1

−1 0 0 ]

,

[ cosϕ −sinϕ 0 cosθsinϕ cosθcosϕ −sinθ sinθsinϕ sinθcosϕ cosθ

] .

問7.2.10 直交行列の行列式は 1 または−1 であることを示せ.

命題7.2.11 A= [a₁ · · · a_n]∈Mat(n,R) について, 次の3 つは同値. (1) A は直交行列.

(2) {a₁, · · · ,a_n} が Rⁿ の正規直交基. (3) T_A は直交変換.

証明 (1) ⇔(2). A^tA= [(a_i,a_j)] であることからわかる.

(2) ⇔ (3). 7.2.6 を V =Rⁿ, {u1, · · · , un}={e1, · · · , en}, T =TA として適用せよ.

演 習 問 題

7.2.12 R⁴ における 3つの vectors







−1 1 1 1







,







 1 3 3

−1







,







 1

−3 3 5









の生成する部分空間を W とする. この vectors を, この順序に関して Gram-Schmidt の直交 化により, 直交化し, W の直交基を求めよ.

7.2.13 R[x]₂ を 7.1.4 の内積に関する内積空間とする. このとき,次の基を Gram-Schmidtの 方法で正規直交化せよ.

(1) {1, x, x²} (2) {1 +x, x+x², 1}

7.2.14 P が直交行列であれば P⁻¹ も直交行列であることを示せ.

7.2.15 2 つの直交行列の積もまた直交行列であることを示せ.

7.2.16 T を V の線形変換とする. T が直交変換であるためには ∥T(u)∥= ∥u∥ が全ての u∈V について成り立つことが必要十分であることを示せ.

7.2.17 M ∈ Mat(n,C) を n 次正則行列とし, その固有値を α₁, · · ·, α_n とする. このとき, M⁻¹ の固有値は α₁⁻¹, · · ·,α_n⁻¹ であることを示せ.

7.2.18 交代行列 H ∈Mat(n,R)は −1 を固有値に持たないことを示せ.

( Hint : u ^とAu との標準内積を利用して Au=−u^ならば u=0 ^{となることを示せ}. )

7.2.19 直交行列 A∈ Mat(n,R) について |A|= −1 ならば −1 は A の固有値であることを 証明せよ.

( Hint : 行列式が−1であるいくつかの直交行列の固有多項式を挙げておく:

t³−³₇t²−³₇t+ 1, t⁴+⁴₉t³−⁴₉t−1, t⁵−³₅t⁴−²₅t³−²₅t²−³₅t+ 1. 7.2.17も使ふ. )

7.2.20 H が成分を有理数とする交代行列のときf(H) = (I−H)(I+H)⁻¹ は, −1を固有値 に持たず, しかも成分がすべて有理数である様な直交行列であることを示せ. さらに,f は

{H ∈Mat(n,Q)|H は交代行列} から

{T ∈Mat(n,Q)|T は |T|= 1 かつ −1を固有値に持たない直交行列}

への全単射であることを示し, これの逆の対応を求めよ. (f はCayley 変換 と呼ばれる. )