‑ 一

m s 

T 

L凡

A' h

・1 n

+  v  

﹁lif

le il

﹂

ηζ

内/﹄

θ m   A ω  

﹁1

11 11 Fi

﹂

s 

T 

K 

4 'h e

a n  

 

汀‑

ー川

J

A'

h︐aTL 

8 m  

Aω 

rB Il l‑

‑L  

(6.21) 

ここで、先に~ ~ 2 ‑ 6 ‑1に 示 し た 手 順 に よ れ ば 、 式 (6.25)，(6.26)を 連 立 方 程 式 と し て 初 期 値 を 決 定 す る こ と に な る 。 し か し 、 上 の 場 合 に は 、 以 下 に 示 す よ う に、 ω m 1 と ω m2 は定まるが、‑，‑̲ ̲  /::，.8 1 と Aθ 2 が 不 定 に な る 。 す な わ ち 、 式(6.26)を(6.25)に代入すれば、

k +k・T豆t~三 2k +k・T に対して、

1 2 

s  ̲ 

1 '2 

s  ' .  ‑‑ . 

[:;::ト明 TS ) [~::J

^+b

^伺

^{T (6.22)} 

^{[~: : J}

^{= A(k2TS) [A(k1TS)} 

^{[~:: J}

^+ b(k1T

^品 M q J

(6.27) 

ただし、

変形して、

I 1 ‑T  {1‑exp(‑t/T  )) I  A(t) = I  m  m  1 

I 

0  exp(ーt/Tm) 

I 

^(6.23) 

ny  

nョ

Au

t A   A

‑ t  

一

π π

一叶

m F

‑

ト山

司S

T

qd

内ζ1k k( (

a0  

・0+S T 2 k A 

﹁Illi‑‑﹂

o m  

A ω  

﹁l

il

‑‑ ll L

﹁﹄

﹃﹂

S T k 

aA S T 

内ζ

ふん

aA 

F a 

﹁ll﹂

(6.28)  I‑K  K，，{t‑T +T  exp(イ/T ))l 

b<t) = I m  p  m  m  m  I 

L 

K 7 J p{l‑exp(ーt/Tm)) 

J 

^(6.24) 

こ こ で 、 式 (6.28)の 左 辺 の 係 数 行 列 の 中 身 を 式 (6.23)を 使 っ て 書 き 下 し て み れ ば 、 以上で、解析に必要な数式の準備が終わった。以下には、~ ~ 2 ‑6 ‑ 1に示し

た 手 順 に な ら っ て リ ミ ッ ト サ イ ク ル の 解 析 を 行 う 。 た だ し、位 相 差 の 初

1 m

倣 ikO1お よ び A82が 不 定 に な る か ら 計 算 上 の 工 夫 が 必 要 に な る 。

ま ず 、 各 初 期 値 の 満 た す べ き 方 程 式 を 導 出 す る。 式 (6.16，) (6.21)から、

﹁l

l Il l i t

‑

﹂‑

T

一

S寸

一 . 2 一

T

ふり

! 一

s

一 + ー 1一 E

K

一一T

2 ん 一 一

+1

一

ml T 

﹁1

11 11

1﹄l﹄1

11 11 11 L 什叶

T  S  ﹂

ふん

A T K A 

﹁ll﹂ (6.29) 

[ ~::J=A(ちTS) [ ~::J

^+ b(

^仏

^(6.25) 

ま た 、 式 (6.17)と(6.22)から、

式(6.29)の 行 列 式 は、 明らかに D で あ る 。 故 に 、 方 程 式 (6.28)の解は不定となる。

た だ し 、 式 (6.28)は、 ω  に 関 し て は 解 を も ち 、 そ れ を 式 (6.26)に代入して、

m1  ω  と ω が 次 の 織 に 定 ま る 。

m1  m2 

nヨ

AU  

A品

m

一向

S T k ‑A ν  

4y 

寸11

11

't

﹂F

o m  

A ω  

﹁IlllEL

e u  

T 

K 

A 

寸I

ll

11

1﹂

2 2   6 m   A ω  

﹁llJEIL

(6.26) 

K K  /::，.8 

m p   qr 

̲ ， ̲   ̲   ， .

=一一一一一一一一一一I‑n+(m+n)ε ‑ E̲e̲1  m1 ト E‑1 E ‑2 m+..， π L   2  1 2J 

(6.30) 

56 ‑ 戸 ︑ _υ^ηー

K  K̲ t;，.8 

m‑‑p  ‑ q.‑ 寸

ω _{m 2}

一

_ト

一 一

_{εεm+πL''''}

一 一 一 一 一 一 一

I+m‑(_，作 い_，，. n)_..， ε_{‑1  1} +ε  8̲ _‑2J I  1 2 

(6.31 ) 

k =笠K

2 

n 

1  (6.33) 

ただし、

(STEP3)  上 で 仮 に 決 め た k と k を 式(6.30)，(6.31)に 代 人 し て ω と ω 

1  2 作11 作12

をJj‑:算する。

(STEP4)  ^u) 

m1  ω  が 次 の 不 等 式 m 2  

1 = exp(‑k?SIT

m)  8

2 ⁼ exp(‑k2TsITm) 

" '  

~(s 甘l' 2  ‑""' ‑‑2‑

s '  

m 

上 記 に お い て 位 相 差 の 初 期 値 ikO1 が 不 定 と な る 物 理 的 出 由 は 、 次 の 織 に 説 明 ] さ れ る 。 す な わ ち 、 図2.6‑4で、 t;，.8 の 波 形 は 、 周 期 性 条 件 式(6.16)，(6.17)、およ び 、 切 り 換 え 条 件 式(6.18)，(6.19)を 満 た す 範 囲 内 で は 、 同 図 中 破 線 で 示 す 僚 に 上 下 に 平 行 移 動 し で も よ い 。 こ れ は 、 こ こ で 検 討 し て い る 図2.6‑3 の 系 に お い て 、 t;，.8 を 出 力 す る 位 相 差 検 出 器 は 単 な る 積 分 総 で あ る た め に 減 哀 が な く 、 そ の 初 期 値 の 影 響 が 残 る の で あ る 。 一 方 、 ω  を出力する積分総の初期値は、 II~ 定数

m 

Tm

で 減 衰 す る か ら、定 常 状 態 で は そ の 影 響 が 残 ら な い 。

さて、以上の検討では、また、 t;，.8. ム8 ， k.  ， k が 未 定 で あ る 。 と く 1 ' ‑ 2  1  '2 

に、 tLO1 と A62 が未定であるから、 ~~2-6-1 に示した手順のように、

切 り 答 え 条 件 を 使 っ て k と k を 決 め る こ と が で き な い 。 そ こ で 、 次 の よ う 2 

な 工 夫 を 行 う 。 も し 仮 に A81が 定 ま っ た と す れ ば 、 A02は 式(6.26)のl行 白 か ら、式(6.23)を考慮して、

ω くOく ω

m1 作12 (6.34) 

を 満 た す か ど う か チ ェ ッ ク す る ( 図2.6‑4参 照 ) 。 満 た せ ば(STEP5)へ、

満 た さ な け れ ば(STEP2)に戻り k

1 を更新する。

(STEP5)  次の不幸

1

・式

口<thOlくt h o q ( 6 3 5 )

を 満 た す 適 当 な ikOl に 対 し て 式(6.32)から iL02を

w

算する。

(STEP6)  上 で 求 め た I182 が

‑t;，.8q くt;，‑.8 く O2  ^(6.36)  t;，.8̲=t;，.8.‑T  (l‑exp(‑kT IT )iω 

2 ‑ 1 ‑m l .  . i‑s‑‑m' J m 1 

‑K̲.K̲ _P (k_l'i，T_‑s ̲‑T_‑m ‑m̲ +T e_‑x_"p_"(_' ‑k_"1，T_‑s̲IT _'‑m'

) i 

_J t;，

.~ー

_.8 

(6.32)

q 

を 満 た し て い れ ば(STEP7lへ、そうでなければ(STEP5)へ 戻 っ て aol を 再 設 定 す る 。 そ の 時 、 も し 式(6.35)を 満 た す す べ て の A61 に 対 し て 式 (636)を満たすようなt;，.8 が 存 在 し な け れ ば 、 (STEP2)で 仮 定 し た k

2 

に 対 す る リ ミ ッ ト サ イ ク ル が 存 在 し な い か ら 、 (STEP2)に 戻 っ て k 1を 更新する。

(STEP7l  以 上 でffl'算 さ れ た ω ，ω  ，t;，.8  t;，.8 ， k ， k  を 式

m1 作12 1  2  1  2 

(6.20)，  (6.21)に代入してt;，.8( わ が 切 り 倹 え 条 件 式(6.18)，(6.19)を す べ て 滅i

t

こ す か を チ ェ ッ ク す る 。 もし、満 た し て い れ ば リ ミ ッ ト サ イ ク ル が 存 在 す る か ら データ を 出 力 す る 。 もし、 満 た し て い な け れ ば(STEP5)へ 以上 に 求 め た 数 式 を 使 っ て 、 リ ミ ッ ト サ イ ク ル を 求 め る 手 順 は、次 の よ う に な

る。

￨ 非 対 称 リ ミ ッ ト サ イ ク ル を 求 め る 手 順 ￨ (STEP1)  m π を決める。

(STEP2)  k

1を 仮 定 す れ ば 、 式(6.15)から、

︒ ︒

にd ‑59 

戻り tLOl  を 再 設 定 す る 。 こ の 時 、 も し 、 式(6.35)を 満 た す す べ て の A61 に 対 し て 式(6.18)，(6.19)を 満 た す よ う な 初 期 値 Aθ が な い 渇 合 は、 (STEP2)で 仮 定 し た k

1

に 対 す る リ ミ ッ ト サ イ ク ル が 存 在 し な い か ら、 (STEP2)へ戻り k

1を更新する。

上 記 の 手 順 を 計 算 機 の プ ロ グ ラ ム 化 す れ ば 、 数 値 計 算 に よ り 存 在 可 能 な リ ミ ッ トサイクル を 求 め る こ と が で き る 。 こ こ で、 速 度 誤差の仮鯛は、位+目差の勿J'

J U J I

，直 に は 依 存 し な い こ と を 注 意 し て おく。すなわち、 存 在可 能 な リ ミ ッ ト サ イ ク ル の 周 期 を 決 め る k¥.，  k ‑2  が 定 ま れ ば 、 式(6.3¥)，(6.3けから 1:::.8. 企θ2に関わり なく ω m¥ ‑，ω nm2 が 一 意 に 決 定 さ れ 、 速 度 誤 差 の 娠 申 請.̲..‑

‑ ‑ ， ‑ ‑ • . 

-~---

‑ ̲ .   . . ̲  

ωml  ‑‑m2 ーω も定ま る。ここで、 1:::.8 ，1:::.θ  の 大 き さ は 、 先 に 示 し た 手 順 の (STEP5‑7)で明ら

2 

か な よ う に 、 あ る 定 め ら れ た k ， k  に 対 し て 、 そ の よ う な リ ミットサイクルが 1  2 

存 在 す る か ど う か を チ ェ ッ ク す る の に 使 わ れ る だ け で あ る 。

きて、

m:n

の比が同じであれば、 k+ k が 大 き い 方 が 誤 差 電 圧 が一 方向にJ!日

¥  2 

わ る 時 聞 が 長 く な る か ら 、 ω  ーω も 大 き く な る 。 放 に 、 速 度誤 差 の 政 大 ml  m2 

娠 帽 を 評 価 す る に は 、 各 mれ に 対 し て 存 在 し 得 る リ ミ ッ ト サ イ ク ル 中 k + k  1  2  が 最 大 と な る も の を 評 価 す れ ば よ い 。 そ こ で 、 各

m:n

に 対 し て 作 在 す る リ ミ γ

ト サ イ ク ル に よ る 母 大 速 度 誤 差 の 娠 幅 を プ ロ ッ ト し た グ ラ フ が 図2.6‑5である。 た だ し 、 計 算 を 行 っ た m と

n

の 範 囲 は ¥‑¥0 の 撃 数 で あ る 。 同 図 は 、 m/n = 1 の 縦 軸 に 対 し て 左 右 対 称 で あ り 、 m/n= ¥  の 付 近 ( 厳 密 に は 、

仇/n= 9/10お よ び10/9) で 誤 差 の 証 言 闘 が 段 大 に な る 。 ま た 同 区lか ら 、 リ ミ ッ ト サ イ ク ル に よ る 速 度 誤 差 の 評 価 と し て

m/n

= 1に お け る 法 度 誤 差 を 探JTI^{す れ ば} ほ ぼ 最 大 と な り 実 用 的 に は 差 し 支 え な い こ と が わ か る。 m/n= 1 の 場 合 は 、 式 (6.15)から k= k  で あ る か ら 、 リ ミ ッ ト サ イ ク ル の う ち 前 半 周 期 と 後半周期￨が

1  2 

等しいものを選んで速度誤差を評価すればよい。このことは、次の~ ~

2  ‑6  ‑

3で m/π=¥ の 渇 合 の リ ミ ッ ト サ イ ク ル か ら 速 度 誤 差 を 評 価 す る こ と の 妥 当 性 を支持する。

さて、本項の緑後として、 仇/n= 1の 場 合 に は、

①  位 相 差 の 振 幅 が そ の 時 間 平 上 旬 に 対 し て 正 負 対 称 の リ ミ ッ ト サ イ ク ル が 存 在 す ることと、

②  正 負 対 称 性 を 仮 定 し で も 、 速 度 誤差 の 仮 闘 は 変 わ ら な い こ と 、 を示しておく。まず、 m/n = ¥ の 場 合 に は 、 式(6.¥4)から

r 

+K̲1:::.8̲/2  (O~t~三 k.T. ) 

v 

(t) = ~ p  q ̲  . -~ ‑~ ‑1‑1 

α 

I 

l  P ‑K ̲ 1:::. 8 ̲ q ̲ /2  (k ¥ 主主~ t ‑歪~. (k+k̲)T  ) 1 '‑2'‑1 

(6.37) 

吏に、 式(6.15)から、

k ₁ = k _{'‑2  (6.38)} 

式(6.37)，(6.38)か ら 、 リ ミ ッ ト サ イ ク ル の 各 半 周 期 に お い て 電 動 機 に は 大 き さ が 等 し く 符 号 が 逆 の 電 圧 が 閉 じl時 間 だ け 交 互 に 加 減 速 電 圧 と し て 加 え ら れ る 。 放 に 、 リ ミ ッ ト サ イ ク ル 中 に は 、 1:::.8 を 含 め て 正 負 対 称 の も の が 存 在 す る 。 ( ① が い え た 。 )

一 方 、 速 度 額 差 の 仮 闘 は 、

k

， 

k 

が 定 ま れ ば 、 式(630)，  (6.31)に よ り 一 意 に 決 l'  ‑2 

定され、 1:::.82 ' 1:::.8

2に は 依 存 し な い 。 物 理 的 に は 、 位 伺 差 1:::.8 を 、 図2.6‑4 に お い て 、 上 下 に 平 行 移 動 し で も 、

k 

， 

k 

が 変 わ ら な い 範 囲 で は 、 速 度 誤 差 の

1  2 

8言 幅 も 変 わ ら な い。 結 局 、 k = k  で あ れ ば 、 正 負 対 称 で あ る と し て も 速 度 誤 1  2 

差 の 評 価 に は 影 響 が な い 。 ( ② が い え た 。 )

以上に示した、

m/n

= 1の 付 近 で 速 度 誤 差 が 段 大 に な る こ と と ① お よ び ② は 、 速度誤差の評価を正~対称のリミットサイクルにより行うことが、妥当であるこ

とを示している。

5 

~2-6-3 疋 負 対 祢 リ ミ ッ ト サ イ ク ル の 解 析

こ こ で は 、 位 相 差 の デ ィ ジ タ ル 検 出 に 伴 う 量 子 化 誤 差 を 考 慮 に 入 れ て 、 電 動 機 速 度 の 正 負 対 称 リ ミ ッ ト サ イ ク ル の 周 期 ! と 速 度 誤 差 の 賑 帽 を 解 析 的 に 求 め る 。 解 析 を 簡 単 に す る た め 、 次 の二 つ の 仮 定を設ける。

①  平n:1リ ア ク ト ル の イ ン ダ ク タ ン ス は 無 視 で き る も の と す る 。

~~2-6-2 と同じ。

②  リ ミ ッ ト サ イ ク ル は 正 負 対 物 で あ る と す る 。

正災対刷、性を仮定することの妥当性は、~ ~

2  ‑6  ‑2

で 詳 細 に 示 し た 。 す な わ ち 、 電 動 機 の 負 荷 変 化 を 考 慮 に 入 れ れ ば 、 電 動 機 速 度 を 設 定 速 度 に 一 致 さ せ る た め に 必 要 な 電 機 子 電 圧 は 述 続 ( ア ナ ロ グ ) 値 で

あ る 。 一 方 、 位 相 差 検 出 の 量 子 化 を 考l却 に 入 れ る と デ ィ ジ タ ル 制 御22 が 出 力 可 能 な 電 圧 は 、 飛 び 飛 び の 値 し か と り え な い 雌 倣 ( デ ィ ジ タ ル ) 値 で あ る 。 そ こ で 、 必 要 な 電 圧 が 、 山 ブJ可能な Jf~ ぴ Jf~ びの rlìfEの ち ょ う ど 中 央 に く る こ と が あ る 。 こ の 溺 合 の リ ミ ッ ト サ イ ク ル は 、

5

~ 2 ‑6 ‑ 1で 解 析 し た もの と 同僚に正 負 対 紘 と な る 。 も ち ろ ん 、 こ の よ う に ち ょ う ど 中 央 に な ら な い 場 合 が あ る 。 し か し 、 リ ミ ッ ト サ イ ク ル に よ る 速 度 精 度 の 劣 化 は 、 中 央 に な ら な い 渇 合 の ほ う が ち ょ う ど 中 央 に な る 場 合 に 比 べ て 、 ほ と ん ど の 渇 合 に 小 さ い こ と を

H 2‑6 

‑2で 確 認、したすなわち、 正 負 対 称の リ ミ ッ ト サ イ ク ル を 評 価 す る こ と が 、 速 度 誤 差 の 評 価 に と っ て 厳 し い も の に な る 。

/::.8 (k‑1.T s)くO ⁽⁶.41 ) 

リミットサイクルの周期l および大きさを決定するためには、~ ~ 2 ‑6一 lの 手 順 に よ る 。 ( た だ し 、 式(6.4)に相当 す る 次 式(6.42)で は、 式(6.4)の A に当 た る 行 列 が 正 則 で は ないこ と に注 意 す る 。 )

ま ず 、 状 態 方 程 式 を 解 く 。 図2.6‑3か ら 、 系 の 状 態 方 程 式 は 、

) 2 AU守

PO

 

{ ψaT 

a

υ  

A 

寸1 1i ll

o f ︐ T 

m 

﹂‑

kp

FIll‑‑L  k 

m 

 

+ 

寸t t1 11 11

﹂

) )  

t t  

( (  

o m  

A ω  

rill‑‑﹂

寸1ill﹂

m 

l T   一 ︐︐ ︐

nunu 

﹁1

11 11

11_﹂

= 

﹁l

ti ll

﹂‑

) )  

t t  

( (  

o m  

Aω 

﹁1

11 11 11 L

d

一 ω

上 記 の 仮 定 ① か ら 、 解 析 の 対 象 と な る デ ィ ジ タ ルPL L速 度 制 御系 の プ ロ ッ ク 図は、 H 2 ‑ 6 ‑ 2と同 僚 に 、 図2.6‑3に 示 す も の と な る 。 図rl'、 ikoqが{立 相 差 検 出の 量 子化 帽 で あ る。 一 方、② で 仮 定 し た 正 災 対 林 の リ ミ ッ ト サ イ ク ル の 概 略 波 形 は 、 図2.6‑6に 示 す よ う に な る 。 た だ し、同 図 に お い て は 平 衡 点 近 傍 の リ ミ ッ ト サ イ ク ル を 考 え る た め に 、 各 状 態 墨 の 原 点 を 次 の よ う に 変 更 し て い る 。 すなわち、 ω mの 原 点 は 、 屯 動 機 速 度 の 時 間 平 均 値 で あ る 。 ま た 、

M 

およ び/::，.8中 の 原 点 は 、 j/::，.8̲ ( j : 適 当 な 整 数 ) で あ る 。 す な わ ち 、 /::，.8 およ

ゆ q

び/::，.8中 は 、 実 際の値から、 j/::，.8  を 引 い た も の で あ る 。 同 僚 に 、

u

の 原 点 q 

は kp j /::.8 q で あ る。こ こ で 、 リ ミ ッ ト サ イ ク ル は 正 負 対 称 で あ る か ら 、 そ の 半 周 期 を kT

s ( 

k  :整 数 ) と す れ ば 、 周 期 性 条 件 は 、 ゆく式となる。

時 刻

t

= 0 に お け る 状 態 宣 の 初 期

l

値 を

﹁i ll

‑‑

﹄l﹂nunu 

o m  

A ω  

﹁111111﹂

一 一

一

﹁I

ll 11

円U円u ﹂1

o m  

A ω  

﹁1

11 11 1L

(6.43) 

とする。 0;;;t ;;; kT  の 期 間 で は、 位 相差検出値/::，.8 が 変 化 し な い こ と に 注 S 

窓 し て 式(6.42)を解けば、

[ : ; : ; 2 1 ‑ [ : ; : : j 

^(6.39) 

^{o ‑} 2

^{n vz ‑}

 

ふ一

J l l U

汀￨﹂

o m

わ

A ω

町︑

﹁ 1l

﹂

t m m

司 1Jdρ

仕

m

ト ψ

・

b m 1 (pトM1バW K h m k

川

km

k 

l o

﹁ ﹁

￨

￨ L

﹁I

ll

‑t

'+﹂

寸ti ll

‑‑

﹂l

o m  

A ω  

﹁1111ll﹄

(6.44) 

更 に 、 図2.6‑6に示 す よ う に 、 時 五JI

t 

= kT  に お い て 、 制 御 入)J

u

が 切 り 換 わ s 

る も の と す れ ば 、 位 相差検 出 から 操 作 量 出 力 ま で に lサ ン プ リ ン グ 周 期lの!!!!駄時 間 が あ る こ と に 注 意 し て 、 時 五JI t = (kーのT

s 

お よ び (k‑1)T

‑

.~ に お け る 位 相 差 /::，.8 ( t ) は 、 そ れ ぞ れ 、 次 式 で 与 え ら れ る 切 り 燃 え 条 件 を 満 た す。

ただし、

<p <t)三e

‑t/T 

m  _(6.45) 

/::.8 (k‑2・T )註口

S  (6.40) 

式(6.44)と周期!性 条 件 式(6.39)から、 状 態 量 の 初J'JtlJ(直が次のように求められる。

‑62‑ 63 ‑

[~:~]

⁼ 

[ : J ^子

^(6.46) 

ただし、

K  K̲T {卜伊(kT))2  1 2 m  P l s m l  s J J  2( 1 +ψ(kT

S)) 

可lJS一T

一

k

一

)s

my

一

T

‑ 7 k   rl 一l ︑ 伊

p‑ H 

K

一 m 一

K

一

一 一

一

2 U 

(6.47b) 

リミットサイクルを正負対称と限定したおかげで、~ ~ 2 ‑ 6 ‑2の 式(6.29)に 示 し た よ う な /';.8 の不定性が除かれ、 /';.8  が k の 関 数 と し て 確 定 す る の で ある。式(6 .46) を式 (6.44) に代入すれば初期値を合まない形で状悠li1の U.~IJ:I変 化 を 求めることができる。その結果を、位相差/';.8 (t)について記せば、

﹁1111111﹂一S

1‑ T  は一 仇

ψ

一伊

つι一

m T 

US

一

2

﹁l

il i‑

‑L

p k m K 

A va ‑

o ‑ 2  

A一

A υ  

A 

(6.48) 

た だ し 、 式(6.48)に お い て 、 リ ミ ッ ト サ イ ク ル の 半 周 期 を 決 め る k は ま だ 未 知 数 で あ る 。 こ れ を 決 定 す る た め に 、 式(6.48)を 切 り 換 え 条 件 式(6.40)、(6.41)に代入す る。その結果は、

T  1  2'{l(k‑2・T) 1 

(k‑4)士三

2 1  

_{1 一一一一一一~I} 三口

T 

m  L 

1+'{l(kT

s)  I

ー (6.49) 

T  2'{l(k‑l・T) 1 

(k‑2) =三~‑

2 1

トーー一一一三1

> 

n 

1"̲  I  1+伊(kT)I ー

m  L  S  1 

(6.50) 

64 

以 上 で 、 リ ミ ッ ト サ イ ク ル の 半 周 期jを 決 定 す る 整 数 k が 満 た す べ き 不 等 式 (6.49)、(6.50lが求められた。さて、不等式(6.49)、(6.50lを満たす整数 kが求めら れ れ ば 、 速 度 誤 差 の 仮 帽 を 次 の よ う に し て 、 決 め る こ と が で き る 。 す な わ ち 、 図 2.6‑6か ら 、 速 度 誤 差 の 級 大 値 は 、 ω (0)=ω  で あ る か ら 、 速 度 誤 差 の 振 幅

m  mO  は 、 式 (6.46)の 第2行目から、

‑kT /T 

S 骨L

1‑e 

21ω1  =  K  K ̲  / ' ; .   8  ' 

~.

̲ ̲ 

(6 51)  mO'  ‑‑m‑‑p‑ q  ‑kT /T 

S 作l 1 + e 

以上を整理して、正t.l対仰の リ ミ ッ ト サイ ク ル を 求 め る 手l順を示す。

￨ 正 負 対 称 の リ ミ ッ ト サ イ ク ル を 求 め る 手 順 ￨ (STEP1)  k =口 と す る。

(STEP2)  k = k+l とする。

(STEP3)  不 等 式(6.49)(6.50)を 満 た す か ど う か を チ ェ ッ ク す る 。 ( 下 記 の 注 記 を 参 照 。 )

(a) 両 方 満 たせば、リ ミ ッ ト サ イ ク ル が 存 在 す る か ら(STEP4)へ行く。

(b)式(6.50)が 満 た さ れ な い 渇 合 は 、 k をも っ と 大 き く す る こ と に よ り リ ミ ッ ト サ イ ク ル が 存 在 す る 可 能 性 が あ る か ら 、 (STEP2) へ 戻 っ て kを更新す る。

(c) 式(6.49)が 満 た さ れ な け れ ば 、 こ れ 以 上 k を 大 き く し て も リ ミ ッ ト サ イ ク ル は 見 つ か ら な い か ら 計 算 を 打 ち 切 る 。

(STEP4)  以 下 の (d)‑(f)を順次行う。

(d)初 期値 /';.8 ， ω  を式(6.46)から求める。

m  (e)必 要 な デ ー タ を 印 字 す る 。

(f) (STEP2)へ戻る。

注 記 : 式(6.49)お よ び(6.50)の 各 左 辺 と kの 関 係 は 、 図2.6‑7に 示 す よ う に 、 各 左 辺 は kに 対 し て 単 澗 附)1日 で あ り 、 す べ て の 正 整 数 kに 対 し て

〔式(6.49)の 左 辺 〕 く 〔 式(6.50)の 左辺〕

で あ る 。 こ の こ と か ら 、 同 図 巾 に (a)‑(c) で示す各符

i J

或は、それぞれ、 (STEP3)

65 ‑

の 各 項 目 (a)‑(c) に 対 応 し て い る 。

表 2.6‑2 に 、 上 記 の 手 順 で 求 め た k と T/T  の 関 係 を 示 す 。 同 表 か ら 、 同

S 押Z

ー の T /T  に 対 し て 複 数 の k が 存 在 す る。 こ の こ と は 、 同 ー の ア /T に 対

s  ‑ m 

S  7九

し て 複 数 の リ ミ ッ ト サ イ ク ル が 存 在 す る こ と を 意 味 す る 。 実 際 こ の こ と を 確 認 す る た め に 、 デ ィ ジ タ ル シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 な っ て み れ ば 、 図 2.6‑8 のように、

複 数 の リ ミ ッ ト サ イ ク ル が 存 在 す る 。 図 2.6‑8 から、kが 大 き い 程 ω mの 振 附 も 大 き い こ と が わ か る。 こ の こ と は 、 こ の 渇 合 に 限 ら ず 、 一 般 的 に 成 立 す る 。 す な わ ち 、 リ ミ ッ ト サ イ ク ル の 起 こ る 原 因 は 、 図 2.6‑3 において、 Gl子化;titが存《じ するために/::，.8 が D に な ら な い こ と で あ る 。 こ こ で 、 . t E政 対 紘の リ ミ ッ ト サ イクルでは、 /::，.8 の誤差は土/::，.8/2に 限 定 さ れ る 。 以 に 、 半 周 期 が 長 い 位 、

q 

電 動 機 に 大 き さ の 限 定 さ れ た 誤 差 電 圧 が一 方 向 に 長 〈 加 わ る こ と に な り 、 リ ミ ッ トサ イ ク ル の 振 幅 が 大 き く な る 。

さ て 以 上 か ら 、 速 度 誤 差 の 最 大 に す る 正 負 対 称 の リ ミ ッ ト サ イ ク ル は、 〔正負 対 称 の リ ミ ッ ト サ イ ク ル を 求 め る 手 順 〕 で 求 め ら れ る k の う ち & 大 の も の に 対 応 す る 。 以 下 に は 、 こ れ を 手 鍋 か り に し て 速 度 誤 差 を 評 価 す る 手 順 の 簡 略 化 を 検 討 す る 。 簡 略 化 の 目 標 は 、 電 車 な ど で 簡 単 に 計 算 が で き る 程 度 と す る。

ま ず 、 存 在 可 能 な リ ミ ッ ト サ イ ク ル の う ち 、 最 大 の 周 期 を 2k T  とする。

押hα

x

S  この k  を 求 め る 一 つ の 方 法 は 、 図 2.6‑7 を 多 照 に し て 、 k = 1 ，2・・・・を順に

wzαz 

式 (6.49)の 左 辺 に 代 入 し て 、 そ の 値 が 正 に な る 直 前の 整 数 k を k  と す れ ば Wlαz  主 主 主 ー し か し 、 こ の 計 算 も 、 電 卓 な ど で 行 う と 煩 わ しい 。 そ こ で 、 近 似 式 を 求 め て み る 。 ま ず 、 上 記 の k  を 求 め る 方 法 で 、 実 際 に k  を日￨算してみ

mαX  mαz 

る 。 そ の 結 果 を 図 2.6‑9 に 示 す 。 こ こ で 、 式 (6.49)の 左 辺 か ら 明 ら か な よ う に 、 k mα

x 

は T /

s 

T m の み の 関 数 で あ り 、 電 動 機 ゲ イ ン 定 数 な ど に 全 く 依 存 し て い な い こ と を 注 意 し て お く 。 図 2.6‑9 をみれば、 k と T/T  は 簡 単 な 近 似 式 で

mα x  s m 

表 わ せ そ う な こ と が 分 る 。 実 際 、 同 図 中 に 一 点 鎖 線 で 示 し た 直 線 の 傾 き と 切 片 か ら 、 次 の よ う な 近 似 式 を 得 る 。

kmαz=l M 8×

JF 三 )

^(6.52) 

た だ し 、 式(6.52)で int(・) は 四 姶 五 入 に よ る 整 数 化 を 表 わ す 。 式 (6.52)の桁)えを縦

66 ‑

認 す る た め 、 上 記 の 下 線 部 に 示 し た 方 法 で 求 め た 正 し い k  と式 (6.52)で 求 め

作Zαz

た も の を 比 較 し た も の が 表 2.6‑3 で あ る 。 同 表 か ら 、 T/T =1‑0.01 の 聞 で は

s  m 

式 (6.52)が 正 し い k  を 与 え る こ と が わ か る 。 一 方 、 正f，t対称のリミットサイ mαz 

ク ル に よ る 速 度 車

u

去 の 仮 闘 は 式 (6.51)に k  を 代 入 す れ ば mαz 

k  T  mα

x s  2 1 ω 

mO' 

1 

= K̲̲K̲m--p~ /::，.8 q‑‑̲tanh(一 一 一 一 )2T 

作も

以 上 を 整 理 し て 次 の 評 価 法 を 得 る 。

￨ 正 負 対 称 の リ ミ ッ ト サ イ クJレ に よ る 速 度 誤 差 の 評 価 法 ￨ (STEP1)  式(6.52)から k  を求める。

max 

(STEP2)  式(6.53)か ら 速 度 誤 差 の 仮 帽 を 求 め る 。

(6.53) 

この計算は、関数 m 卓などで簡単に行うことができる。結局、 ~~2 ~ 6 - 2

‑ 3

の 解 析 の 結 果 と し て 、 上 記の よ う な 非 常 に 簡 便 な 速 度 誤 差 の 評 価 法 が 導 出 で きた。

S ~2~6~4 実 験 結 果 と の 比 較

ここでは、~ ~

2  ‑6  ‑3

で 浮 出 し た 速 度 誤 差 の 評 価 法 の 妥 当 性 を 実 験 結 果 に よ り 検 証 す る 。

ま ず 、 図 2.6‑10 に リ ミ ッ ト サ イ ク ル の 実 験 結 果 と デ ィ ジ タ ル シ ミ ュ レーシ ョ ン 結 巣 を 示 す 。 両 者 は 、 非 常 に よ く 一 致 し て い る 。 こ の 実 験 お よ び シ ミ ュ レーショ ン の 条 件 は 、 下 記 の 泊 り で あ る 。 ま ず 、 表2.4‑1に 示 し た 実 験 装 位 の 定 数 か ら 、

LO = 10.16  [mHJ  (6.54) 

RO = 0.595  [ 

n 

J  (6.55) 

K m  = 2.746  [rad/(s'V))  (6.56) 

‑67 

ドキュメント内 屯 動 機 のディジタノレ ~I~J 御 系 の 高 性 能 化 に 閲 する 研 究 ~ 文 献 [3~] をもとに ~~3-8-2 ~~ (ページ 34-44)