切片の算出

次に、切片𝑍̂₀の算出方法について説明する。計算手順は二次 元の場合と同様に、セル内流体体積𝑉̂を𝑍̂₀の関数として求めて、

それを逆算することで算出する。

まず図B.2のように、水面𝑆(𝑥̂, 𝑦̂)が𝑧̂軸に平行なセル辺の延長 線上と交わる点の𝑧座標を、高い順に𝑍̂₁, 𝑍̂₂, 𝑍̂₃, 𝑍̂₄と定義する。

この点の𝑧̂座標は、絶対値を使用することで以下の式になる。

𝑍̂₁=|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|

2|𝑛̂_𝑧| + 𝑍̂₀ (B.19)

𝑍̂₂=||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦||

2|𝑛̂_𝑧| + 𝑍̂₀ (B.20)

𝑍̂₃= −||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦||

2|𝑛̂_𝑧| + 𝑍̂₀ (B.21)

𝑍̂₄= −|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|

2|𝑛̂_𝑧| + 𝑍̂₀ (B.22)

次に水面𝑆(𝑥̂, 𝑦̂)より下に流体が存在すると仮定して、ẑ軸に垂直な断面の流体面積Â(z)を考えていく。

断面形状は𝑍̂1, 𝑍̂2, 𝑍̂3, 𝑍̂4の点を境に変化するため、領域別に分けて考える。また、𝑛̂𝑥, 𝑛̂𝑦の絶対値が変 化しない限り断面積は変化しないため、𝑛̂𝑥, 𝑛̂𝑦の絶対値を使用する。

(a) ∞~𝑍̂1

この領域は水面より上の領域であるため、以下の式になる。

Â(ẑ) = 0.0 (B.23)

(b) 𝑍̂1~𝑍̂2

この領域では、水面形状は三角形になる（図B.3）。この場合は以下の式で流体面積Â(ẑ)を求められ る。

𝐴̂(𝑧̂) = |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂1− 𝑧̂)² (B.24)

(c) 𝑍̂₂~𝑍̂3

この領域では水面形状は台形になり（図B.4）、以下の式で求めることができる。

𝐴̂(𝑧̂) =1

2+ |𝑛̂_𝑧|

𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)(𝑍̂₀− 𝑧̂) (B.25) (d) 𝑍̂₃~𝑍̂4

この領域では水面形状は正方形から五角形になり（図B.5）、以下の式で計算できる。

𝐴̂(𝑧̂) = 1.0 − |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂4− 𝑧̂)² (B.26)

図B.2 三次元の水面

116 (e) 𝑍̂₄~−∞

この領域は水に満ちているため、𝐴̂(𝑧̂) = 1.0となる。

𝐴̂(𝑧̂) = 1.0 (B.27)

(a)~(e)に示した𝐴̂(𝑧̂)の式を閉区間,𝑧̂| − 0.5 ≤ 𝑧̂ ≤ 0.5-で定積分することで、流体の体積𝑉̂を得る。次 に、𝑍̂₀の変化による流体形状変化の流れを図B.6に示す。

それぞれの形状の成立条件と、流体体積の式𝑉̂と、各形状の体積が取りうる値の最小値𝑉̂𝑚𝑖𝑛と最大 値𝑉̂𝑚𝑎𝑥を示す。また、二次元の場合で示したように切片の絶対値を使用することで体積の式を半分に 減らすことができるため、図B.6の左半分の場合のみ示す。そのため𝑍0の最大値は0となる。

図B.3 𝑍̂₁~𝑍̂₂の断面 図B.4 𝑍̂₂~𝑍̂₃の断面 図B.5 𝑍̂3~𝑍̂₄の断面

図B.6 流体形状変化の流れ

117

①の場合

①は𝑍̂1≠ 𝑍̂2である限り必ず発生する。よって①の成立条件は以下の式である。

|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|

2|𝑛̂𝑧| + 𝑍̂₀≠||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦||

2|𝑛̂𝑧| + 𝑍̂₀

∴ |𝑛̂𝑥| ≠ |𝑛̂_𝑦| (B.28)

次に体積𝑉̂は𝐴̂(𝑧̂)を積分することにより、以下の式になる。

𝑉̂ = ∫ 𝐴̂(𝑧̂)

0.5

−0.5

𝑑𝑧

= ∫ 0.0𝑑𝑧

0.5

𝑍̂₁ + ∫ |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂1− 𝑧)²𝑑𝑧

𝑍1

−0.5

= |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂₁+ 0.5)³

∴ 𝑉̂ = |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂₁+ 0.5)³ (B.29)

体積の最小値𝑉̂𝑚𝑖𝑛は𝑍̂1= −0.5となる場合であり、流体がなくなるため以下の通りである。

𝑉̂_𝑚𝑖𝑛= 0.0 (B.30)

最大値𝑉̂𝑚𝑎𝑥は𝑍̂1= 0.5となる（③に移行する）場合と、𝑍̂2= −0.5となる（②に移行する）場合の二

通りに分かれる。

まず𝑍̂1= 0.5の場合は以下の式で与えられる。

𝑉̂_𝑚𝑎𝑥= |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| (B.31)

これが成立するのは𝑍̂2が−0.5に達する前にZ1が0.5に達する、つまりZ1− Z2がセル幅 1.0 より長い場 合であるため、以下の条件が必要になる。

𝑍̂1− 𝑍̂2= 4|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|

2|𝑛̂𝑧| + 𝑍̂05 − :||𝑛̂_𝑥| − |𝑛̂_𝑦||

2|𝑛̂𝑧| + 𝑍̂0;

=min(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

|𝑛̂_𝑧| > 1.0

∴ min(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) > |𝑛̂𝑧| (B.32)

次に、𝑍̂2= −0.5の場合は以下の式で与えられる。

𝑉̂_𝑚𝑎𝑥=min(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧| (B.33)

図B.7 ①の流体形状

118 これが成立するためには以下の条件が必要である。

min(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) < |𝑛̂𝑧| (B.34)

(B.31), (B.33)式は、その条件(B.32) , (B.34)式を考慮することで以下の式にまとめることができる。

𝑉̂_𝑚𝑎𝑥 =min(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑦|)³

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧| (B.35)

②の場合

②の成立条件は𝑍̂₁− 𝑍̂₂< 1であり、以下の式で表わされる。

min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) < |𝑛̂_𝑧| (B.36)

次に体積𝑉̂の式は以下の通りになる。

𝑉̂ = ∫ 0.0𝑑𝑧̂^0.5

𝑍̂₁

+ ∫ |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂₁− 𝑧̂)²𝑑𝑧̂

𝑍̂₁ 𝑍̂₂

+ ∫ :1

2+ |𝑛̂_𝑧|

𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)(𝑍̂₀− 𝑧̂); 𝑑𝑧̂

𝑍̂₂

−0.5

= |𝑛̂𝑧|

2𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂𝑦|)𝑍̂12+|𝑛̂_𝑧| − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

2𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂𝑦|) 𝑍̂1+4 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²− 6|𝑛̂_𝑧|𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) + 3|𝑛̂_𝑧|² 24|𝑛̂𝑧|𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂𝑦|)

∴ 𝑉̂ = |𝑛̂𝑧|

2𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂𝑦|)𝑍̂₁²+|𝑛̂_𝑧| − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) 2𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂𝑦|) 𝑍̂1

+4 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²− 6|𝑛̂_𝑧|𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) + 3|𝑛̂_𝑧|² 24|𝑛̂𝑧|𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂𝑦|)

(B.37)

最小値V̂_𝑚𝑖𝑛は①の最大値と等しいので、以下の通りになる。

V̂𝑚𝑖𝑛=𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)³

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧| (B.38)

次に最大値V̂_𝑚𝑎𝑥は①と同様、𝑍̂₁= 0.5の場合（⑤になる）と𝑍̂₃= −0.5の場合（④になる）がある。

まず𝑍̂₁= 0.5の場合は以下の式になる。

𝑉̂𝑚𝑎𝑥 =|𝑛̂_𝑧| − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

2 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂𝑦|) +𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂𝑦||𝑛̂𝑧| (B.39) これが成立する条件は𝑍̂₁− 𝑍̂₃> 1.0であり、以下の式で表される。

𝑍̂₁− 𝑍̂₃= 4|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|

2|𝑛̂_𝑧| + 𝑍̂₀5 − :−||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦||

2|𝑛̂_𝑧| + 𝑍̂₀;

図B.8 ②の流体形状

119

=𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

|𝑛̂_𝑧| > 1.0

∴ 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) > |𝑛̂𝑧| (B.40)

次に𝑍̂₃= −0.5の場合は以下の式になる。

𝑉̂_𝑚𝑎𝑥 =𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

2|𝑛̂𝑧| +𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧| (B.41) これが成立する条件は𝑍̂₁− 𝑍̂₃> 1.0であり、以下の式で表される。

𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) < |𝑛̂𝑧| (B.42)

(B.39)式と(B.41)式は(B.40)式と(B.42)式の条件を使用することで以下のようにまとめることが出来 る。

𝑉̂_𝑚𝑎𝑥 =𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂𝑧|) − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

2 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|) +𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧| (B.43)

③の場合

③の成立条件は𝑍̂₁− 𝑍̂₂> 1であり、以下の式で表わされる。

min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) > |𝑛̂_𝑧| (B.44)

次に体積𝑉̂の式は以下の通りになる。

𝑉̂ = ∫ |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂₁− 𝑧̂)²𝑑𝑧

0.5

−0.5

= |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍₁²+ |𝑛̂_𝑧|² 24|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|

∴ 𝑉̂ = |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍₁²+ |𝑛̂_𝑧|²

24|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| (B.45)

最小値V̂_𝑚𝑖𝑛は①の𝑍̂₁= 0.5の時の最大値と等しいので、(B.32)式より以下の式となる。

V̂_𝑚𝑖𝑛=min(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)³

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧| (B.46)

次に最大値V̂𝑚𝑎𝑥は、𝑍̂2= −0.5となる場合のみであり、以下の式になる。

V̂_𝑚𝑎𝑥 =min(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − |𝑛̂𝑧|

2 max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) + |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| (B.47)

図B.9 ③の流体形状

120

ここで、②と③の式を統合する。②と③の成立条件とV̂(𝑧̂)の式を𝑍̂₁の係数ごとに比較した表を下に 示す。

② ③

成立条件 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) < |𝑛̂_𝑧| 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) > |𝑛̂_𝑧|

𝑍̂₁² |𝑛̂_𝑧|

2𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

|𝑛̂_𝑧|² 2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₁¹ |𝑛̂_𝑧| − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

2𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) 0

𝑍̂₁⁰ 4 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂𝑦|)²− 6|𝑛̂𝑧|𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂𝑦|) + 3|𝑛̂𝑧|² 24|𝑛̂_𝑧|𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

|𝑛̂_𝑧|² 24|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| 各係数の式が同じ値を示すように整理すると、𝑉̂の式は以下のようにまとめることが出来る。

𝑉̂ =|𝑛̂_𝑧| 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₁²+|𝑛̂_𝑧|𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|) − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)²

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂1

+4 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)³− 6|𝑛̂_𝑧|𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)²+ 3|𝑛̂_𝑧|²𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|) 24|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧|

(B.48)

体積の最小値と最大値についても同様に表に示す。

② ③

成立条件 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) < |𝑛̂𝑧| 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) > |𝑛̂𝑧|

𝑉̂𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)³

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧|

𝑉̂𝑚𝑎𝑥

𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|), |𝑛̂𝑧|) − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) 2 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)

+𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³ 6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧|

𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − |𝑛̂𝑧| 2 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

+ |𝑛̂𝑧|² 6|𝑛̂𝑥||𝑛̂𝑦| これらを整理すると以下の式にまとめることができる。

V̂𝑚𝑖𝑛=min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)³

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧| (B.49)

V̂𝑚𝑎𝑥 =|min(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|), |𝑛̂_𝑧|) − min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)|

2 max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|) +min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)³

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧| (B.50)

121

④の場合

これの成立条件は𝑍̂1− 𝑍̂3< 1であり、整理すると以下の式になる。

max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) < |𝑛̂𝑧| (B.51)

次に体積の式を示す。

𝑉̂ = ∫ 0.0𝑑𝑧̂

0.5

𝑍̂₁ + ∫ |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂1− 𝑧̂)²𝑑𝑧̂

𝑍̂₁

𝑍̂₂ + ∫ :1

2+ |𝑛̂_𝑧|

𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)(𝑍̂0− 𝑧̂); 𝑑𝑧̂

𝑍̂₂ 𝑍̂₃

+ ∫ 41.0 − |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂4− 𝑧̂)²5 𝑑𝑧̂

𝑍̂₃

−0.5

= − |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍̂₂³+2|𝑛̂𝑧| 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − |𝑛̂𝑧|² 4|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₂²

+−|𝑛̂𝑧|²+ 4|𝑛̂𝑧| 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − 4 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²+ 8|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|

8|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₂

+−|𝑛̂𝑧|³+ 6|𝑛̂𝑧|²𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) + 12|𝑛̂𝑧| 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²+ 8 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³ 48|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧|

−||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| − |𝑛̂𝑧| 2|𝑛̂𝑧|

∴ 𝑉̂ = − |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍̂₂³+2|𝑛̂𝑧| 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − |𝑛̂𝑧|² 4|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₂²

+−|𝑛̂𝑧|²+ 4|𝑛̂𝑧| 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − 4 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²+ 8|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|

8|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₂

+−|𝑛̂𝑧|³+ 6|𝑛̂𝑧|²𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) + 12|𝑛̂𝑧| 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²+ 8 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³ 48|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧|

−||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| − |𝑛̂𝑧| 2|𝑛̂𝑧|

(B.52)

体積の最小値𝑉̂𝑚𝑖𝑛は②の最大値と等しいため、以下の通りになる。

𝑉̂_𝑚𝑖𝑛=|𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|), |𝑛̂𝑧|) − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)|

2 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|) +𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)³

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧| (B.53) 体積の最大値V̂𝑚𝑎𝑥は𝑍̂1= 0.5となる（⑦に移項する）場合と、𝑍̂4= −0.5となる（⑥に移項する）場 合に分かれる。まず𝑍̂1= 0.5の場合は以下の式になる。

図B.10 ④の流体形状

122 𝑉̂_𝑚𝑎𝑥 ={|𝑛̂𝑧| − (|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|)}{|𝑛̂𝑥| + |𝑛̂_𝑦|}

2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| +{|𝑛̂𝑥| + |𝑛̂_𝑦|}³− |𝑛̂𝑧|³

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧| +2|𝑛̂𝑧| − (|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|)

2|𝑛̂𝑧| (B.54)

これが成立する条件は𝑍̂₁− 𝑍̂₄> 1であるため、以下の式になる。

𝑍̂₁− 𝑍̂₄=|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|

|𝑛̂_𝑧| > 1

∴ |𝑛̂𝑥| + |𝑛̂_𝑦| > |𝑛̂𝑧| (B.55)

次に𝑍̂₄= −0.5の場合は以下の式になる。

𝑉̂_𝑚𝑎𝑥=|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|

2|𝑛̂𝑧| (B.56)

この場合が成立する条件は𝑍̂₁− 𝑍̂₄< 1であるため、以下の式になる。

|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦| < |𝑛̂𝑧| (B.57)

(B.54)式と(B.56)式を、(B.55)式と(B.57)式の条件で統合するためには、(B.54)式の分子の|𝑛̂_𝑧|が

|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|になればよい。そのため、(B.54)式に𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥| + |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)を導入して体積の最大値𝑉̂𝑚𝑎𝑥の 式を得る。

𝑉̂𝑚𝑎𝑥 ={𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|) − (|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|)}{|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|}

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|

+{|𝑛̂𝑥| + |𝑛̂_𝑦|}³− 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥| + |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)³ 6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧|

+2 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥| + |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|) − (|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|) 2|𝑛̂_𝑧|

(B.58)

123

⑤の場合

これが成立する条件は𝑍̂1− 𝑍̂3> 1であり、整理すると以下の式になる。

max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) < |𝑛̂𝑧| (B.59)

次に体積の式を示す。

𝑉̂ = ∫ |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂1− 𝑧̂)²𝑑𝑧̂

0.5

𝑍̂₂ + ∫ :1

2+ |𝑛̂_𝑧|

𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)(𝑍̂0− 𝑧̂); 𝑑𝑧̂

𝑍̂₂

−0.5

= − |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍̂₂³+ |𝑛̂_𝑧|²

4|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍̂₂²+8|𝑛̂𝑧| 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − |𝑛̂𝑧|²

8|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₂+24 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²+ |𝑛̂𝑧|² 48|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|

∴ V̂ = − |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍̂₂³+ |𝑛̂_𝑧|²

4|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍̂₂²+8|𝑛̂_𝑧| 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − |𝑛̂_𝑧|² 8|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₂ +24 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²+ |𝑛̂𝑧|²

48|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|

(B.60)

体積の最小値V̂minは②の𝑍̂1= 0.5の場合と、③の𝑍̂2= −0.5の場合の二通りに分かれる。この二つは (B.44)式に統合されているため、この式が⑤の体積の最小値となる。

𝑉̂_𝑚𝑖𝑛=|𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|), |𝑛̂𝑧|) − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)|

2 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|) +𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)³

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧| (B.61) 体積の最大値は𝑍̂2= 0.5（⑧に移項する）の場合と、𝑍̂3= −0.5（⑦に移項する）の場合に分かれる。

𝑍̂2= 0.5の場合は以下のとおりである。

V̂𝑚𝑎𝑥 = |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|(min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

|𝑛̂_𝑧| +min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²

|𝑛̂_𝑧|² ) (B.62)

これが成立するには𝑍̂2− 𝑍̂3> 1が必要であり、以下の式になる。

𝑍̂₂− 𝑍̂₃=||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦||

|𝑛̂_𝑧| > 1

∴ ||𝑛̂_𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| > |𝑛̂_𝑧| (B.63)

𝑍̂3= −0.5の場合は以下のとおりである。

図B.11 ⑤の流体形状

124 𝑉̂_𝑚𝑎𝑥= − |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|{||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦||³

|𝑛̂_𝑧|³ − 3||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦||²

|𝑛̂_𝑧|²

+ 3 41 −2 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

|𝑛̂_𝑧| 5||𝑛̂_𝑥| − |𝑛̂_𝑦||

|𝑛̂_𝑧|

+ (3 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

|𝑛̂_𝑧| −3 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²

|𝑛̂_𝑧|² − 1)}

(B.64)

これが成立するには𝑍̂₂− 𝑍̂₃< 1が必要であり、以下の条件になる。

∴ ||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| < |𝑛̂𝑧| (B.65)

(B.62)式と(B.64)式を、(B.63)式と(B.65)式の条件を考慮して、𝑚𝑖𝑛 .||𝑛̂_𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| , |𝑛̂_𝑧|/を導入するこ とで整理する。その式は以下の通りである。

𝑉̂_𝑚𝑎𝑥=|𝑛̂_𝑧|³− 𝑚𝑖𝑛 .||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| , |𝑛̂𝑧|/³ 6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧|

+2𝑚𝑖𝑛 .||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| , |𝑛̂𝑧|/ + 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)3² 2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|

−|𝑛̂_𝑧| .𝑚𝑖𝑛 .||𝑛̂_𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| , |𝑛̂_𝑧|/ + 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)/

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|

(B.66)

ここで、④と⑤の体積の式を統合する。下の表に④と⑤の分岐条件と体積V̂(ẑ)の式の各係数の比較 を示す。

④ ⑤

分岐条件 max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) < |𝑛̂_𝑧| max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) > |𝑛̂_𝑧|

𝑍̂₂³ − |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| − |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₂² 2|𝑛̂_𝑧| max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − |𝑛̂_𝑧|²

4|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|

|𝑛̂_𝑧|² 4|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|

𝑍̂₂¹

*−|𝑛̂_𝑧|²+ 4|𝑛̂_𝑧| max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

−4 max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²+ 8|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|+

8|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|

8|𝑛̂𝑧| min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − |𝑛̂𝑧|² 8|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|

𝑍̂₂⁰

−|𝑛̂𝑧|³+ 6|𝑛̂𝑧|²max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) 48|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧|

+12|𝑛̂𝑧| max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²+ 8 max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³+ 48|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧|

−||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| − |𝑛̂𝑧| 2|𝑛̂𝑧|

24 min(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)²+ |𝑛̂𝑧|² 48|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|

125

各係数の値が等しくなるように整理すると、体積V̂(z)の式は以下の式になる。

V̂ = − |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍̂23+2|𝑛̂_𝑧| min(max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|) − |𝑛̂_𝑧|² 4|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂22

+8 min(max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂𝑧|) min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − {|𝑛̂𝑧| − 2 min(max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂𝑧|)}²

8|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₂

+−|𝑛̂_𝑧|³+ 6|𝑛̂_𝑧|²min(max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|) 48|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧|

+12|𝑛̂𝑧| min(max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂𝑧|)²+ 8 min(max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂𝑧|)³ 48|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧|

+min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − min(max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|) + |𝑛̂_𝑧| 2 max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)

(B.67)

体積の最小値と最大値についても同様に表に示す。

④ ⑤

条件 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) < |𝑛̂_𝑧| 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) > |𝑛̂_𝑧| 最小値 |𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|), |𝑛̂_𝑧|) − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)|

2 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|) +𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)³ 6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧|

最大値

.𝑚𝑎𝑥 .||𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂𝑦|| , |𝑛̂_𝑧|/ − ||𝑛̂𝑥| + |𝑛̂𝑦||/ ||𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂𝑦||

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂𝑦|

+(|𝑛̂𝑥| + |𝑛̂𝑦|)³− 𝑚𝑎𝑥 .||𝑛̂𝑥| + |𝑛̂𝑦|| , |𝑛̂𝑧|/³ 6|𝑛̂𝑥||𝑛̂𝑦||𝑛̂𝑧|

+2 𝑚𝑎𝑥 .||𝑛̂𝑥| + |𝑛̂𝑦|| , |𝑛̂𝑧|/ − (|𝑛̂𝑥| + |𝑛̂𝑦|) 2|𝑛̂𝑧|

|𝑛̂𝑧|³− 𝑚𝑖𝑛 .||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂𝑦|| , |𝑛̂𝑧|/³ 6|𝑛̂𝑥||𝑛̂𝑦||𝑛̂𝑧|

+.𝑚𝑖𝑛 .||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂𝑦|| , |𝑛̂𝑧|/ + 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂𝑦|)/² 2|𝑛̂𝑥||𝑛̂𝑦|

−|𝑛̂𝑧| .𝑚𝑖𝑛 .||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂𝑦|| , |𝑛̂_𝑧|/ + 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂𝑦|)/

2|𝑛̂𝑥||𝑛̂𝑦| この場合、最大値𝑉̂𝑚𝑎𝑥の式は法線ベクトルの大小関係により二つに分類される。

・ ||𝑛̂_𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| < |𝑛̂_𝑧| < |𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|

𝑉̂𝑚𝑎𝑥 =𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³− ||𝑛_𝑧|³− 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³|

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧| +||𝑛_𝑧| − 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)|

2 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) +𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|) − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

2 𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|), |𝑛̂𝑧|)

(B.68)

・ |𝑛̂_𝑧| < ||𝑛̂_𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| 𝑜𝑟|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦| < |𝑛̂_𝑧|

𝑉̂_𝑚𝑎𝑥 =𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|) + 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

2 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|) (B.69)

126

⑥の場合

これの成立条件は𝑍̂₁− 𝑍̂₄< 1であり、これを整理すると以下の式になる。

|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦| < |𝑛̂_𝑧| (B.70)

次に体積の式を示す。

𝑉̂ = ∫ 0.0𝑑𝑧̂^0.5

𝑍̂₁

+ ∫ |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂₁− 𝑧̂)²𝑑𝑧̂

𝑍̂₁ 𝑍̂₂

+ ∫ :1

2+ |𝑛̂_𝑧|

𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)(𝑍̂₀− 𝑧̂); 𝑑𝑧̂

𝑍̂₂ 𝑍̂₃

+ ∫ 41.0 − |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂₄− 𝑧̂)²5 𝑑𝑧

𝑍̂₃ 𝑍̂₄

+ ∫ 1.0𝑑𝑧̂

𝑍̂₄

−0.5

=1 2+ 𝑍̂₀

∴ 𝑉̂ =1

2+ 𝑍̂₀ (B.71)

最小体積𝑉̂_𝑚𝑖𝑛は④の最大値と同じであり、以下の式の通りである。

𝑉̂𝑚𝑖𝑛=𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|), |𝑛̂_𝑧|) + 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

2 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|) (B.72)

今は𝑍̂₀= 0が𝑍̂₀の取りうる最大値であるため、最大体積𝑉̂_𝑚𝑎𝑥は以下の通りになる。

𝑉̂_𝑚𝑎𝑥 =1

2 (B.73)

図B.12 ⑥の流体形状

127

⑦の場合

これの成立条件は𝑍̂₁− 𝑍̂₄> 1且つ𝑍̂₂− 𝑍̂₃< 1であり、これを整理すると以下の式になる。

||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| < |𝑛̂𝑧| < |𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦| (B.74) 次に体積は以下の式になる。

𝑉̂ = ∫ |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂₁− 𝑧̂)²𝑑𝑧

0.5 𝑍̂₂

+ ∫ :1

2+ |𝑛̂_𝑧|

𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)(𝑍̂₀− 𝑧̂); 𝑑𝑧̂

𝑍̂₂ 𝑍̂₃

+ ∫ 41.0 − |𝑛̂_𝑧|²

2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂₄− 𝑧̂)²5 𝑑𝑧̂

𝑍̂₃

−0.5

= − |𝑛̂_𝑧|²

3|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍̂₀³+4|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| − (|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦| − |𝑛̂_𝑧|)²

4|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₀+ 0.5

∴ 𝑉̂ = − |𝑛̂_𝑧|²

3|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍̂₀³+4|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| − (|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦| − |𝑛̂_𝑧|)²

4|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₀+ 0.5 (B.75)

最小値は以下の式である。

𝑉̂𝑚𝑖𝑛=𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³− ||𝑛_𝑧|³− 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³|

6|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧| +||𝑛_𝑧| − 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)|

2 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) +𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|) − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

2 𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|), |𝑛̂𝑧|)

(B.76)

最大値は𝑍̂₀= 0の場合であるため、以下の通りになる。

𝑉̂_𝑚𝑎𝑥 =1

2 (B.77)

図B.13 ⑦の流体形状

128

⑧の場合

これの成立条件は𝑍̂1− 𝑍̂4< 1であり、これを整理すると以下の式になる。

|𝑛̂_𝑧| < ||𝑛̂_𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| (B.78)

次に体積は以下の式になる。

𝑉̂ = ∫ 81

2+ |𝑛̂_𝑧|

𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)(𝑍̂₀− 𝑧̂)9 𝑑𝑧̂

0.5

−0.5

=1

2+ |𝑛̂_𝑧|

𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)𝑍̂0

∴ 𝑉̂ =1

2 (B.79)

最小体積𝑉̂𝑚𝑖𝑛は以下の式の通りである。

𝑉̂_𝑚𝑖𝑛=min(max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂𝑧|) + min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

2 max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|) (B.80)

最大体積𝑉̂𝑚𝑎𝑥は𝑍̂0= 0の場合であるため、以下の通りになる。

𝑉̂𝑚𝑎𝑥 =1

2 (B.81)

ここで、⑥と⑧の式を統合する。以下に⑥と⑧の分岐条件と体積の式を示す。

⑥ ⑧

分岐条件 |𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦| < |𝑛̂_𝑧| |𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦| > |𝑛̂_𝑧|

Z₀¹ 1 |𝑛̂_𝑧|

𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

Z00 1

2

1 2 各係数が同じ値を示すように整理すると、以下の式になる。

𝑉̂ =1

2+ |𝑛̂_𝑧|

𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)𝑍̂0 (B.82)

体積の最小値と最大値は両方とも同じ値なので統合の必要はない。

図B.14 ⑧の流体形状

129

以上より、①～⑧の形状の流体体積の式を、５種類の式にまとめた。次に各体積の式の解を示す。

①の場合

𝑉̂ = |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|(𝑍̂1+ 0.5)³

𝑍̂₁= −0.5 + √𝑉̂6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|

|𝑛̂_𝑧|²

3

ここで𝑍̂₁を𝑍̂₀に変換すると以下の式になる。

𝑍̂₀= −|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦| + |𝑛̂𝑧|

2|𝑛̂𝑧| + √𝑉̂6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|

|𝑛̂_𝑧|²

3 (B.83)

②・③の場合

𝑉̂ =|𝑛̂_𝑧| min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)

2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₁²+|𝑛̂_𝑧|𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|) − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)²

2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₁

+4 min(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)³− 6|𝑛̂𝑧|𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)²+ 3|𝑛̂𝑧|²𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|) 24|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧|

𝑍̂1=𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|) 2|𝑛̂_𝑧| −1

2± √𝑉̂ 2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|

|𝑛̂_𝑧| 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)−𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)² 12|𝑛̂_𝑧|²

ここで𝑍̂₁の範囲は、②・③では𝑍̂₁> −0.5となるため、±の符号は+である必要がある。𝑍̂₁を𝑍̂₀に変換 すると解は以下の式になる。

𝑍̂₀= −|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|

2|𝑛̂_𝑧| +𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|) 2|𝑛̂_𝑧| −1

2

+ √𝑉̂ 2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|

|𝑛̂_𝑧| 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)−𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)² 12|𝑛̂_𝑧|²

(B.84)

④・⑤の場合 𝑉̂ = − |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍̂₂³+2|𝑛̂_𝑧| min(max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|) − |𝑛̂_𝑧|² 4|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₂²

+8 min(max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|) min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − {|𝑛̂_𝑧| − 2 min(max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|)}²

8|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍̂₂

−

*|𝑛̂𝑧|³− 6|𝑛̂𝑧|²min(max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂𝑧|)

+12|𝑛̂𝑧| min(max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂𝑧|)²− 8 min(max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂𝑧|)³+ 48|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂_𝑧|

+min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − min(max(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|) + |𝑛̂_𝑧| 2 max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)

これは三次方程式であるため、カルダノの公式を使用して計算する。カルダノの公式は、三次方程式 a₃X³+ 𝑎₂𝑋²+ 𝑎₁𝑋 + 𝑎₀= 0に対して以下の計算を行って解を得る。

𝑎₃𝑋³+ 𝑎₂𝑋²+ 𝑎₁𝑋 + 𝑎₀= 0

130 𝑋³+𝑎2

𝑎₃𝑋²+𝑎1

𝑎₃𝑋 +𝑎0

𝑎₃= 0 ここでX = Y −_3𝑎^𝑎2

3と置いて変形すると以下の通りになる。

𝑌³+ 4𝑎1

𝑎₃− 𝑎₂²

3𝑎₃²5 𝑌 + 4𝑎0

𝑎₃−𝑎1𝑎2

3𝑎₃² + 2𝑎₂³ 27𝑎₃³5 = 0 一次の項を𝑝、二次の項を𝑞と置くと、𝑌の解は以下の式になる。

Y = 𝜔^𝑘√−𝑞 2+ √.𝑞

2/²+ .𝑞 3/³

3

+ 𝜔^3−𝑘√−𝑞 2− √.𝑞

2/²+ .𝑞 3/³

3

, (𝑘 = 1,2,3) (B.85) この公式を用いて解を得る。詳細な式は複雑になるた

め省略する。また、三次方程式の解は三つ存在するた め、どの値が正しい解なのか判断する必要がある。④・

⑤の体積𝑉̂の式は三次の項が負であるため、図B.15の ような線を示す。セル内流体の体積は、Z₀の上昇によ って単純増加することが考えられるため、採用する解 は曲線の真中の線上にあることが考えられる。よって、

三つある解の内、値が中間のものを解として採用する。

⑥・⑧の場合

𝑉̂ =1

2+ |𝑛̂_𝑧|

𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)Ẑ₀ Ẑ₀=𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)

|𝑛̂_𝑧| (𝑉̂ −1

2) (B.86)

⑦の場合

𝑉̂ = − |𝑛̂_𝑧|²

3|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|Ẑ₀³+4|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| − (|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦| − |𝑛̂_𝑧|)²

4|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦| Ẑ₀+ 0.5 これも三次方程式であるため、カルダノの公式を使用して解く。詳細な式は省く。

以上が体積𝑉̂から切片Ẑ₀を求める式である。これらの式に対して、体積𝑉̂を体積の変化量𝛥𝑉̂ = 0.5 − 𝑉̂

に換算し、その絶対値を使用することで全部の流体形状に適応することができる。また、各式は体積 が取りうる範囲があるため、最初に体積の範囲を𝛥𝑉̂に換算して、閾値𝑉_𝑙𝑖𝑚として示す。

𝑉_{𝑙𝑖𝑚1}= 0.5 (B.87)

𝑉_{𝑙𝑖𝑚2}= 0.5 −𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)³

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧| (B.88)

𝑉_{𝑙𝑖𝑚3}= 0.5 −𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)³

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧| −|min(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|), |𝑛̂_𝑧|) − min(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)|

2 max(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|) (B.89)

図B.15 ④・⑤の𝑉̂のプロット図

V̂

Z₀

131

𝑉_{𝑙𝑖𝑚4}は法線ベクトルの大小関係によって式が以下のように分かれる。

・ ||𝑛̂𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| < |𝑛̂𝑧| < ||𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦||の場合

𝑉𝑙𝑖𝑚4= 0.5 −𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³− ||𝑛_𝑧|³− 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)³|

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧| −||𝑛̂_𝑧| − 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)|

2 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

−𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|) − 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) 2 𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|), |𝑛̂𝑧|)

(B.90)

・ |𝑛̂_𝑧| < ||𝑛̂_𝑥| − |𝑛̂_𝑦|| 𝑜𝑟 ||𝑛̂𝑥| + |𝑛̂_𝑦|| < |𝑛̂𝑧|の場合

𝑉𝑙𝑖𝑚4= 0.5 −𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛_𝑧|) + 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|)

2 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|) (B.91)

𝑉_{𝑙𝑖𝑚5}= 0.0 (B.92)

次に、𝑉_𝑙𝑖𝑚によるẐ₀の式の適用範囲と、それに対応するẐ₀の式を示す。

・ 𝑉_{𝑙𝑖𝑚2}< |𝛥𝑉̂| < 𝑉_{𝑙𝑖𝑚1}の場合

①の場合に相当し、以下の式を使用する。

Ẑ₀= −|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦| + |𝑛̂𝑧|

2|𝑛̂𝑧| + √(0.5 − |𝛥𝑉̂|)6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|

|𝑛̂_𝑧|²

3 (B.93)

・ 𝑉_{𝑙𝑖𝑚3}< |𝛥𝑉̂| < 𝑉_{𝑙𝑖𝑚2}の場合

②・③の場合に相当し、以下の式を使用する。

Ẑ₀= −|𝑛̂_𝑥| + |𝑛̂_𝑦|

2|𝑛̂_𝑧| +𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|) 2|𝑛̂_𝑧| −1

2

+ √(0.5 − |𝛥𝑉̂|) 2|𝑛̂_𝑥||𝑛̂_𝑦|

|𝑛̂_𝑧| 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|)−𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂_𝑧|)² 12|𝑛̂_𝑧|²

(B.94)

・ 𝑉_{𝑙𝑖𝑚4}< |𝛥𝑉̂| < 𝑉_{𝑙𝑖𝑚3}の場合

④・⑤の場合に相当し、以下の式をカルダノの式によって解く。

− |𝑛̂_𝑧|²

6|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦|𝑍2³+2|𝑛̂_𝑧| 𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|) − |𝑛̂_𝑧|²

4|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍2²

+8 𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|) 𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − {|𝑛̂_𝑧| − 2 𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|)}²

8|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦| 𝑍2

+−|𝑛̂_𝑧|³+ 6|𝑛̂_𝑧|²𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|) 48|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧|

+12|𝑛̂_𝑧| 𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|)²+ 8 𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|)³ 48|𝑛̂𝑥||𝑛̂_𝑦||𝑛̂𝑧|

+𝑚𝑖𝑛(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) − 𝑚𝑖𝑛(𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂_𝑥|, |𝑛̂_𝑦|) , |𝑛̂_𝑧|) + |𝑛̂_𝑧|

2 𝑚𝑎𝑥(|𝑛̂𝑥|, |𝑛̂_𝑦|, |𝑛̂𝑧|) − (0.5 − |𝛥𝑉̂|) = 0

(B.94)

ドキュメント内 平成 (ページ 119-136)