' O 一 一
一
rJO 一
︒
(3.36)から
京 = x ( 号 ) T ( 会+手 t ; ;
(3.37)となる.式(3.32)より式(3.37)は正となることから，分散
s I
の入に関する単調増加性が示 された.ロ
3.3.パラメータ推定を伴う曲面再構成 30
3.3.3 パラメータ推定を伴う正則化アルゴリズム
あるパラメータ値Yの下で正員Ij化を行なって得られた分散
σ ?
がσ 3
と等しくなったとき，観測雑音が過不足なく除去されたということができる.本章では，このYを推定値として求 めることを目標とする.しかし，これらの分散は一般に未知であることが多いため，標本分 散ヰとsiを利用する.
まず，
a o / σ ?
の区間推定量として[
盆
1盆
1.. ，J I
(3.38)si Fno‑1，nl‑1;α/2?siFno‑lm‑klーα/2J
のような100(1‑α)%の信頼区間が得られることが統計理論から知られている [45]・ここで，
Fno‑1，nl‑1;1ーα/2は自由度η(0‑1
，
n 1 ‑1)のスネデカーF分布である.また， nO，
n1→ ∞ の ときFno‑1，nl‑1;α/2
=
Fno‑1，nl‑1;1ーα/2=
1 (3.39)となる.そこで，距離画像のように多くの標本点からなるデータに対しては，標本分散siとsoと が等しくなるときの入を推定値Y とみなしてよい.ただし，このときのsiは，エネルギー関 数(3.1)の局所最小解の中でも大域的最小解またはその近似解に対応して算出された値でなけ ればならない.
ところで，性質1により siの値を入で制御することは可能である.そこで， s?が目標 値soと等しくなるように，入の値を繰り返し修正していくことを考える.この反復計算の過 程で，入は大きな値から小さな値へと次第に降下しながら推定値に収束することが望ましい.
このとき，最初のうちは滑らかな曲面の当てはめが行なわれ，入が小さくなるにつれて実形状 の詳細部への曲面当てはめが行なわれるようになる.この3.2節で述べた温度パラメータに 関するアニーリングと同様の効果[20]によって，不適切な局所最小解が大幅に回避され，最 小解に基づく正しい入の推定と曲面再構成が同時に達成される.したがって，入の初期値は比 較的大きな値に設定する.
以上のことから，本章で提案する手法の具体手1)債は以下のように2段階に分けられる.
(1)初期再構成
(1 a)正則化パラメータ入の初期値として比較的大きな値を設定し，更新則(3.20)，(3.21) を収束するまで繰り返し実行することにより推定値
7
とライン過程7
を求める.(1 b)現在得られている
7
が0となっている点から連続領域Ncを抽出し，標準偏差Soを 求める. 7
により，標準偏差Slの初期値を求める.(2)反復再構成
(2 a) So ‑ Slを求め，その値に基づき入を更新する.
3 . 3 .
パラメータ推定を伴う曲面再構成3 1
(2 b)現在得られている
7
を初期値とし， (2 a)で得られた入のもとで式(3.21)を収束す るまで繰り返し実行する.(2 c)現在得られている了からS1を更新する.
(2 d) S1が80と等しくなるまで処理(2a) rv (2 b)を繰り返す.
なお，上記の(2b)では，
I
は(1)の処理でほぼ妥当な値が得られているので更新しない.また，本章では，入の更新則を次のように定義することにより，計算コストの短縮を図って いる.
入(t)
入(t+1)
=
1+α(S1 ‑so)，
[
ド
s(s勾0一釘川) + l ]
，入ぷ川社(収，¥(tt ここでは， α=s=l
とおいた.81 ‑So
>
0このデータ復元アルゴ リズムの具体手1]債をFig.3.3に示す.
ここまでは，式(3.1)のエネルギ一関数
(3.40)
U(f
，
l) =乞 { i AJ)2+μ [ ( ! i‑
fi̲l)2(1 ‑li)+ 吋} ( 3 . 4 1 )
の最小化による偏角関数の復元について述べてきた.これに対し，曲面再構成の問題では，
2.3.2節の式(2.23)で定義したエネルギー関数 ゃ ((fij ‑9ij)2 U(f
，
h，
v) = ~t ¥J 'J 2a~叫ん一
h̲1，j)2(1‑Vij)+
(fij ‑h，j̲1)2(1ー hij)+γ(hij
同心
(3.42)が対象となる.すなわち，曲面再構成のエネルギー関数(3.42)は，偏角再構成のエネルギー関 数(3.41)のんを曲面再構成データhj'giを距隣国像の画素値9ij'んを画素(i，j)と(i
，
j‑1) の境界におけるライン過程hijおよび画素(i，j)と(i‑l，j)の境界におけるライン過程Vij' にそれぞれ置き換えることになる(第2章のFig.2.2).まず， 3.2節に対しては，その最初の式(3.6)，(3.7)を
7
九 九
i行j=j ζ P ム 〆
j〆
e一W
附(げ川f
万 九
i行
ij=ト
戸=→括 j 忍 r h
んν ihi行 〆
jj〆 伊
e〆
e〆 一 イ 〆
附 川s V
門V
町(げ仏f λ '
仰川)百杭列i行j =
活 り
ije‑s V 山 )
(3必) (3.44)
(3必)
3.3. パラメータ推定を伴う曲面再構成
C a l c u l a t i o n o f f and 1 U s i n g D e t e r m i n i s t i c A p p r o x i m a t i o n
E s t i m a t i o n f o r s
0t モー O
C a l c u l a t i o n o f s
1C a l c u l a t i o n o f
λ(t+l)C a l c u l a t i o n o f f U s i n g G r a d i e n t D e s c e n t Method
Fig.3.3:
アルゴリズムの手順
32
t
ぐ‑t+l
i f s
1= 1 : ‑ s
03.3. パラメータ推定を伴う曲面再構成 33
と置き換える.ただし，
z= 玄
e‑sV(f，
九グ) (3.46)J，h，v
ゃ ((fij ‑gij) 2
(f
，
h，
υ)= L {
¥JtJ ~ Y1J}+
(fij ‑fi̲1，j)2(1 ‑hij)+
(fij ‑fi，j‑1)2(1‑Vij) ム‑'L 入+ γ
(hij+
叫j)} (3.4 7)である.
その後は，式(3.10)以降と全く同様にして，偏角再構成の更新則(3.20)，(3.21)に対応す る曲面再構成の更新則
7 3 + 1 ) = だ
)‑P5(t) (3.48)hj)=1+exp(P[γ‑h)‑721J)21)
(3.49);;"7(t+l) ̲ 1
Vij ‑ 1
+
exp{s[γ一C J g )‑
7~~J-1)2] } (3.50) が得られる.ここで，o(t)
= (yg) 一向)+入 [(7~Y -Y~~1，j)(1 一時))+(721J 一元))(1 一切1，j) + ( 7 3 ) ‑ 7 j j ‑ 1 ) ( l ‑ 均 ) ) + ( 7 j j + 1 ‑ 7 3 ) ) ( 1 一 吉 弘 1 ) ]
(3刊である.
次に， 3.3.1節に対しては，最初の式(3.23)を
gij ‑fij I"V N(O
， イ )
， (3.52)と書き換える.また，式(3.24)に対して
(2gij ‑2fij)一(gi‑1，j‑fiーしj)一(gi+1，j‑fi+1，j) I"V N(O
，
6a6) (3.53)(2gij ‑2fij)一(gi，j‑l‑fi，j‑1)一 (gi，j+l‑fi，j+l) I"V N(O， 6a6) (3.54)
が成り立つ. i， jの各々の方向について，式(3.24)以降と同様の手続きを進めることで，標 本分散
s i = 6 ( η o l ‑ 1 ) (
，Z53+ 乞 η 3 )
( i，j)ヒNe (i，j)EN&
(3.55)
3.4. 実験結果 34
が得られる.ただし， 3点gi‑1，j， gij ， gi+1，jが連続領域にあるとき (i，j)ε
N b
， 3点 gi，j‑1 ， gij ， gi什 1が連続領域にあるとき(i，j)εN b
と表す.また， Cij=
2gij ‑gi‑1，j ‑gi+1，j' ηij = 2gij ‑ gi‑1，j ‑ gi+1，jである.また， 3.3.2節に対しては
，
fijと観測データgijの差Yij= fij ‑ gijが正規分布N ( O ，
σI )
に従うと仮定することで，その標本分散