5.1.1 個数
5. 自然数 5.1 個数・計数・系列
ここでは，イメージに訴えて系列の形を示していますが，この形を数学 的にきちんと定義したものが「ペアノ (Peano) の公理」です。ペアノ の公理については，『いろいろな数がつくられるしくみ』にあたってくだ さい。
5.1.2 系列
「自然数」はそれ自体一つの形 ( 構造 ) です。それは「系列」と呼ばれ る構造とその上の算法 ( 加法と乗法 ) で構成されています。
自然数は，系列の構造のみでも重要な道具になります。実際，計数の道 具として機能するのは系列の部分です。また，識別番号，順番という使 われ方も，系列の道具性に属します。
系列は，つぎのような形を指すことばです：
すなわち，「はじめ」があり，これのつぎがあり，さらにつぎがあり，
‥‥この関係が際限なく続きます：
はじめ → はじめのつぎ → はじめのつぎのつぎ → ‥‥
算法 自然数 系列
5.1.2 系列
5. 自然数 5.1 個数・計数・系列
5.1.4 識別番号・順番
系列の用途には，個数の表現の他に，個の識別があります。すなわち，
識別の番号 ( 背番号，登録番号，ユニット番号，製品番号，等々 ) とし て使うというものです。──系列は異なる要素を限りなくもっています が，このことを利用します。
識別番号の特別なものに「順番」があります。
すなわち，識別番号は系列の一部と一対一の対応をつくるわけですが，
その系列の部分として系列の切片（とびとびではなく，きっちり１→２
→３→‥‥→ｎ）を選ぶとき，「識別番号」は特に「順番」と呼ばれます。
順番がつけられる形は，計数の形と同じです：
1 2
3 4 5
5.1.3 計数
系列は，つぎのような具合に，計数の「ものさし」として使われます：
系列「１ → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → ‥‥ 」では，
すなわち，系列を「落ちなく重なりなく」対象に添わせたときのその最 後の要素をもって，個数の表現とします。
個数を考えるときの＜個＞は，あくまでも人の解釈であるということ に注意しましょう。何を＜個＞と見なすかに絶対はありません──基本 的に，状況依存です。
1
2
3 4
5
36 18
：５個
5.1.4 識別番号・順番 5.1.3 計数
5. 自然数 5.1 個数・計数・系列
5.2.1 求和アルゴリズム
数の和は倍の和として導入されます ( 6.2 和の意味 )。
そこで，自然数の場合は，つぎのようになります：
さて，上の関係が成り立つようにするには，自然数の和をどのように 定めたらよいでしょう？
つぎの操作をします：
4 個と 3 個から始めて，一方から他方への一個ずつの移動を，
尽きるまで続ける：
尽きたときのもう一方の側の個数 ( ７) が，4 ＋ 3 に対応させればよい ものになります。