今後の展望は以下のとおりである。
• 優良解集合の探索において，クラスタ間の多様性を維持する機構，クラスタ内では 多様化・集中化を維持する機構の双方を陽に取り入れた手法の構築。
• 提案した優良解集合探索問題において使用者が定めるパラメータδ, εに関する検討。
• 本論文で取り扱った問題の次元よりも高い次元の優良解集合探索問題に対して，優 良解集合を効率良く探索できる優良解集合探索手法の提案。
• 優良解集合探索問題に対する手法の性能を評価するための指標の提案。
［1］ K. Yasuda: “The Present and The Future of Metaheuristics,” Journal of the Society of Instrument and Control Engineers, Vol.47, No.6, pp.453-458 (2008) (in Japanese)
安田恵一郎：「メタヒューリスティクスの現在と未来」，計測自動制御学会 計測と制
御，Vol.47，pp.453-458（2008）
［2］ 稲垣潤・長谷山美紀・北島秀夫：「GA経路探索における複数解候補の決定に関する 考察」，電子情報通信学会 技術研究報告，Vol.82, pp.1102-1111 (1999)
［3］ 藤井聡・北條成人・吉成勇介：「生産計画・物流計画への最適化技術の応用」，JFEス チール株式会社 技術論文誌，No.14，pp.49-54 (2006)
［4］ 玉置久 編著：「システム最適化」，オーム社 (2005)
［5］ 和田大典・本間俊雄：「自由曲面シェル構造の形態決定における優良解探索と解の多 様性」，日本建築学会 構造工学論文集，Vol.28B，pp.453-460 (2012)
［6］ L. Teng, T. Isumi, X. Lu, F. Wakui: “A Method of the Optimum Route Search by
Fuzzy-AHP,”IEEJ Trans. EIS, Vol.133, No.6, pp.1269-1276 (2013) (in Japanese) 滕琳，泉隆，魯暁鋒，涌井文雄：「ファジィAHPを応用した最適経路探索」，電気学 会 電子・情報・システム部門誌，Vol.133, No.6, pp.1269-1276 (2013)
［7］ S. Obayashi: “Multiobjective Optimization for Aerodynamic Design of Aircraft,”
ISCIE Trans., Vol. 47, No.6, pp.253-258 (2003) (in Japanese)
大林茂：「航空機空力設計における多目的最適化」，システム制御情報学会 論文誌，
Vol. 47，No.6，pp.253-258 (2003)
［8］ S. Watanabe, R. Minato: “Development of a Design Support System that Can
Efficiently Utilize Non-dominated Solutions -Through an Example of Tutbojet Engine Design-,”JSAI Trans., Vol. 24, No.1, pp.1-12 (2009-6) (in Japanese) 渡辺真也・湊亮二郎：「多数非劣解集合からの設計支援手法の開発―ジェットエンジ ン最適化を通して―」，人工知能学会 論文誌，Vol. 24, No.1, pp.1-12 (2009)
［9］ S. Kuninobu and K. Handa: “A Parts Arrangement Algorithm for Note
PC -An Algorithm for 3D Bin Packing Problem with Arrangement Con-straints,”Proc. ITC-CSCC 2008, pp.329-332 (2008)
［10］ K. Tagawa, K. Mizutani, K. Inoue, and H. Haneda: “An Imanishism-based
Ge-netic Algorithm for Seeking Various Optimal Solutions of the Module Placement Problem,”ISCIE Trans., Vol.14, No.10, pp.467-474 (2001) (in Japanese)
田川聖冶・水谷浩二・井上克己・羽根田博正：「今西進化論に基づく遺伝アルゴリズム によるモジュール配置問題の多様な最適解の探索」，システム制御情報学会 論文誌，
Vol.14，No.10，pp.467-474 (2001)
［11］ K. Ishikawa, K. Masuda, and T. Sekozawa: “Multiple Optimal Solutions Search
by Using Swarm Division Particle Swarm Optimization Algorithm which Utilizes the Distribution of Personal Best Solutions, ”IEEJ Trans. EIS, Vol.134, No.9, pp.1373-1383 (2014) (in Japanese)
石川健太・増田和明・瀬古沢照治：「自己最良解の分布情報を活用した粒子群分化型
Particle Swarm Optimizationによる複数解探索手法」，電気学会 電子・情報・シス
テム部門誌，Vol.134，No.9，pp.1373-1383 (2014)
［12］ X. Li: “Niching Without Niching Parameters: Particle Swarm Optimization
Using a Ring Topology, ”IEEE Trans. EC, Vol.14, No.1, pp.150-169 (2010)
［13］ D. E. Goldberg: “Genetic Algorithm in Search, Optimization, and Machine
Learning,” Addison-Wesley (1989)
［14］ J. Kennedy and R. Eberhart: “Particle Swarm Optimization,” Proc. IEEE In-ternational Conf. on Neural Networks, Vol.4, pp.1942-1948 (1995)
［15］ 半田恵一：「多様な解候補の探索：ニーズと事例」，日本オペレーションズ・リサー チ秋季研究発表会 アブストラクト集 2010，pp.94-95 (2010)
［16］ 中山弘隆・岡部達哉・荒川雅生・伊禮分：「多目的計画法と工学設計―しなやかなシ ステム工学アプローチ―」，星雲社（2007）
［17］ K. Yasuda: “Evolutionary Computation and Metaheuristics,” Journal of the
Society of Instrument and Control Engineers, Vol.122, No.3, pp.320-323 (2002) (in Japanese)
安田恵一郎：「進化論的計算手法とメタヒューリスティクス」，電気学会 電子・情報・
システム部門誌，Vol.122, No.3, pp.320-323 (2002)
［18］ 相吉英太郎・安田恵一郎 編著：「メタヒューリスティクスと応用」，電気学会，オー
ム社 (2007)
［19］ K. Yasuda, A. Ishigame: “Nonlinear Programming Algorithm : From the
Prac-tical Viewpoint,” Journal of the Society of Instrument and Control Engineers,
Vol.50, No.9, pp.344-349 (2006) (in Japanese)
安田恵一郎・石亀篤司：「非線形計画アルゴリズム―実用的観点から」，計測自動制御 学会 計測と制御，Vol.50, No.9, pp.344-349 (2006)
［20］ 高山真一・林巨己・福山良和：「電力系統分野への最適化技術の適用―新しい最適化技 術「メタヒューリスティクスの適用」―」，富士電気技報，Vol.74, No.12, pp.669-673 (2001)
［21］ 北川慎治・竹中道夫・福山良和：「最新の最適化手法とソリューションの展開」，富 士電機技報，Vol.77, No.2, pp.137-141 (2004)
［22］ Y. Fukuyama: “Applications of Meta-heuristics to Power and Energy Fields,”
IEEJ Trans. PE, Vol. 124, No.5, pp.550-557 (2004) (in Japanese)
福山良和：「メタヒューリスティク手法の電力・エネルギー分野への適用例」，電気学 会 電力・エネルギー部門誌，Vol. 124，No.5，pp.679-682 (2004)
［23］ 三宮信夫：「最適化―メタヒューリスティックスを中心として―」，システム制御情 報学会 学会誌，Vol.51, No.1, pp.39-41 (2007)
［24］ R. Storn, K. Price: “Differential Evolution - A Simple and Efficient Heuristic for
Global Optimization over Continuous Spaces”, Journal of Global Optimization,
Vol. 11, No.4, pp.341-359 (1997)
［25］ X. S. Yang: “Firefly Algorithms for Multimodal Optimization,”Proc. 5th
Sym-posium on Stochastic Algorithms, Foundations and Applications, Lecture Notes in Computer Science, Vol.5792, pp.169-178 (2009)
［26］ X. S. Yang: “Nature-Inspired Metaheuristic Algorithms,” 2nd Edition, Luniver
Press, pp.81-96 (2010)
［27］ X. S. Yang, Xingshi He: “Firefly Algorithms: Recent Advances and
Applica-tions,”Int. J. Swarm Intelligence, Vol. 1, No.1, pp.36-50 (2013)
［28］ X. S. Yang and S. Deb: “Cuckoo Search via L´evy Flights,” Proceedings of World
Congress on Nature and Biologically Inspired Computing 2009, pp.210-214 (2009)
［29］ J.Macqueen:“Some Methods for Classification and Analysis of Multivariate
Ob-servations, ”Proc. of 5th Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. University of California Press,” pp.281-297 (1967)
［30］ R.B.Calinski, J.Harabasz: “A dendrite method for cluster
analy-sis,”Communications in Statistics, Vol.3, No.1, pp.1-27 (1974)
［31］ X. Li, A. Engelbrecht, M. G. Epitropakis: “Benchmark functions for the
CEC’2013 special session and competition on niching methods for multimodal
function optimization,” RMIT University, Evolutionary Computation and
Ma-chine Learning Group, Tech Perport (2013)
［32］ 石川博・新見礼彦・白石陽・横山昌平：「データマイニングと集合知―基礎からWeb， ソーシャルメディアまで―」，共立出版 (2012)
［33］ D.Pelleg, A.Moore: “X-means: Extending K-means with Efficient Estimation of
the Number of Clusters, ” ICML. Vol.1, pp.723-734 (2000)
著者の研究業績
国内外の学術雑誌への研究論文の発表
［34］ 大隅竜太・熊谷渉・田村健一・安田恵一郎：「単一目的最適化における優良解集合探
索問題とFirefly Algorithmに基づく解法」，電気学会 電子・情報・システム部門誌，
Vol.136，No.10，pp.1947-1948 (2016) 【査読有】
［35］ 大隅竜太・熊谷渉・田村健一・土屋淳一・安田恵一郎：「優良解集合探索問題の提案・
定式化とFirefly Algorithmに基づく優良解集合探索手法の提案」，電気学会 電子・
情報・システム部門誌（投稿中・照会後判定）【査読有】
国際会議発表論文
［36］ R. Oosumi, K. Tamura and K. Yasuda: Novel Single-objective Optimization
Problem and Firefly Algorithm-based Optimization Method, 2016 IEEE
Inter-national Conference on Systems, Man, and Cybernetics, pp.1011-1015 (2016)【査
読有】
国内会議発表論文
［37］ 大隅竜太・田村健一・安田恵一郎：「Firefly Algorithmの解析および改良に関する 基礎検討」，進化計算学会 進化計算シンポジウム2015，P3-08，pp.278-285 (2015)
【査読無】
［38］ 大隅竜太・田村健一・土屋淳一・安田恵一郎：「単一目的最適化における新たな問
題設定とFirefly Algorithmに基づく解法」，平成28年 電気学会 全国大会，3-028，
pp.38-39 (2016) 【査読無】
［39］ R. Oosumi, W. Kumagai, K. Tamura, and K. Yasuda: “Formulation of Superior
Solution Set Search Problem and Proposal of Firefly Algorithm-based Optimiza-tion Method,” 2016 IEEJ Conference on Electronics, InformaOptimiza-tion and Systems,
SS1-1, pp.1378-1379 (2016)【査読無】
［40］ 大隅竜太・熊谷渉・田村健一・土屋淳一・安田恵一郎：「優良解集合の提案とFirefly
Algorithmに基づく最適化手法の提案」，進化計算学会 進化計算シンポジウム2016，
P1-03，pp.12-20 (2016) 【査読無】
本論文は，首都大学東京大学院 理工学研究科 博士前期過程において，首都大学東京大 学院 理工学研究科 電気電子工学専攻 安田恵一郎 教授のご指導の下で著者が行った新たな 最適化問題および最適化手法の構築に関する研究成果である。
本研究の遂行・本論文の作成にあたり，日頃から多大なご指導を頂いている安田恵一郎 先生をはじめ，助教授の田村先生，土屋先生，システム制御工学研究室の皆様には，多く の御指導，御助言を頂きました。心より御礼申し上げます。
A 多峰性のベンチマーク関数
本章では，本研究を進めるにあたって参考にしてきた多峰性のベンチマーク関 数について，本文中で掲載出来なかったものも含めて掲載する。
本文中で用いた図A.6〜図A.9の関数はSphere関数を並べたものであるが，他の関数 を並べることにより多峰性の様々なベンチマーク関数を定義することができる。例えば図
A.10のAckley関数を並べることでSphere関数を並べた問題よりも複雑な構造を有する問
題を作ることができ，アルゴリズムの性能をより詳細に評価できると考える。また，すでに 提案されている多峰性のベンチマーク関数に関しては文献［31］などを参照されたい。
-200 5 0 200
5
f(x)
400
x2 0
x1
600
0 -5 -5
(a)概形
-5 0 5
x1
-5 0 5
x2
(b)等高線
図A.1: 2nminima関数
f(x) =
∑n
i=1
(x4i −14x2i + 5xi)
0 15 200
10
f(x)
15 400
x2
5 10
x1 600
0 5 -5 -5 0
(a)概形
-5 0 5 10 15
x1
-5 0 5 10 15
x2
(b)等高線
図A.2: Branin関数
f(x) =
(
x2− 5.1
4π2x21+ 5
πx1−6 )2
+ 10 (
1− 1
8π )
cosx1+ 10
-200 2 0
2
f(x) 200
x2 0
x1 400
0 -2 -2
(a)概形
-2 -1 0 1 2
x1
-2 -1 0 1 2
x2
(b)等高線
図A.3: Shuberts関数
f(x) =
{ 5
∑
i=1
icos((i+ 1)x1+i)
}{ 5
∑
i=1
icos((i+ 1)x2+i)
}
-2 0
1 2
f(x)
4 6
2
x2 0
x1 0 -1 -2
(a)概形
-2 -1 0 1 2
x1
-1 -0.5 0 0.5 1
x2
(b)等高線
図A.4: Six-hump関数
f(x) =
(
4−2.1x21 +x41 3 x21
)
+x1x2+ (−4 + 4x22)x22
0 5 500
5
f(x)
x2 0
x1
1000
0 -5 -5
(a)概形
-5 0 5
x1
-5 0 5
x2
(b)等高線
図A.5: Himmelblau関数
f(x) = (x21+x2−11)2+ (x1+x22−7)2
0 5 50
x2
0
f(x)
5
x1 0 100
-5 -5
(a)概形
-5 0 5
x1
-5 0 5
x2
(b)等高線
図A.6: Double-Sphere関数
（式については表4.1を参照）
0 5 20
x2 0
f(x)
5 40
x1
-5 -5 0 60
(a)概形
-5 0 5
x1
-5 0 5
x2
(b)等高線
図A.7: Triple-Sphere関数
（式については表4.1を参照）
0 5
5
f(x)
x2 0 10
5 15
x1 -5 -5 0
(a)概形
-5 0 5
x1
-5 0 5
x2
(b)等高線
図A.8: Quadruple-Sphere関数
（式については表4.1を参照）
0 5 5
f(x)
x2
5 0
10
x1 0 15
-5 -5
(a)概形
-5 0 5
x1
-5 0 5
x2
(b)等高線
図A.9: Quintruple-Sphere関数
（式については表4.1を参照）
0 5 5
5
f(x) 10
x2 0
x1 15
0 -5 -5
(a)概形
-5 0 5
x1
-5 0 5
x2
(b)等高線
図A.10: Ackley関数
f(x) = −20
(
−0.2
√1 n
∑n
j=1
xj
)
−exp (
1 n
∑n
j=1
cos(2πxj)
)
+ 20 +e
B k-means 法のアルゴリズム
本章では，クラスタ情報を活用したFirefly Algorithmに基づく優良解集合探索 手法で用いたk-means法について述べる。
k-means法は類似したデータをまとめるクラスタリングを行うための手法の1つで，ハード
クラスタリング手法に属する［29］。ハードクラスタリングの定義は，m個のオブジェクトか ら構成されるデータベースDが与えられたとき，それをK個のクラスタCℓ(ℓ= 1,2,· · · , K) に分割することを指し，各クラスタは以下の条件を満たす［32］。
• すべてのオブジェクトは必ず1つのクラスタに属する。
• 1つのオブジェクトが2つ以上のクラスタに属する事はない。
• オブジェクトを1つも含まないクラスタは存在しない。
さらに，ハードクラスタリングは以下のように記述できる。
D=C1∪C2∪ · · · ∪CK, Ci∩Cj =ϕ (i̸=j)
k-means法によるクラスタリングも上の条件を満たす。以下にk-means法のアルゴリズム
を示す。
【k-means法】
Step 0 : [ 準備 ]
クラスタ数Kと終了条件tを定める。反復回数k= 1とする。