且5

コ 4

に'0."-‘ _(/)

10 'U ^4A

、、 _... ヨ

、‘

国

に D

_同

同E

J

0.1

_‘ _.圃圃._-園町・・・・旬圃圃.Ax _{-、 句、}

1

旬、\

、、ミ

.、

、旬 ^圃‘

国

4/nπ←B_ (n ;odd) ^.、

5

²

0.01 0.5守

ミ?に

""0 ^ω

0.001卜|

I I I I I tI ^{‘" "" "}

，寸一一

。

z

0.01 0.1 1

^。

0.5 1

Frequency

.0

^Frequency

.0

図3.9 対称ソフトスプリング系の振幅の周波数応答

-74-1 0.1

Complementary modulus parameter μ1

10-40 10-20 0.001 0.01 10-60

10

1

同町二貯dhqlHh

A布、で1HqhH/ / /

JO

...05'"

10 「

1 0.1

0.01

0.001

HFhsdhqlH

hq

hH布、lHRHで

0.001

v、/f \

J4U\

。\\

一

\ 噌i

\ \ \ 、

0.1 0.01

Modulus parameter

1 0.1

0.01

0.001

μ。

補母数料 と諸特性値の対応 母数μ。，

図3.10

戸、JづI

3.4 対称スナップスルースプリング系両振りモード

スナップスルースプリング系の運動方程式は次式で表される.

d 2X

-dT7-X+X" 3 二0 ， 周期(T)二2π/Q (3.4.1)

この 系には， まったく性質の異なる二つの独立な周期解(“両振りモード"および

“片振りモード"の解〉が存在し， どちらの モードの解が実現するかは初期条件に 依存して決定される. 式(3.4.1)で表される系には 1個の不安定平衡点(X = 0)と 2 個の安定平衡点(X = i=1)が存在し， 両振りモードの解は， 不安定平衡点である変 位の原点(X = 0)を中心として， 3個の平衡点をすべて通過する形で振動を行い，

その 振幅Axは， IAxl> J2である 一方IAxl<nとなる場合には， 片振りモード の解となる. 本節では， 両振りモードの解の取り扱いについて述 べ， 片振りモー ドについては次節にて論じることとする.

解は対称ノ\ードスプリング系と同様cn関数にて記述できるが，母:数の値は，

1/2 <μ。<1 の範囲に限定される. まず，解を次の ように仮定する.

X(T) = Axcnu(T)， Ax = max(T)IX(T)1 ;定数

式(3.1.18)および表 3.2 を参照することにより次式を得る.

AX2 二2μ。/(2μ。-1)，ただし， 1/2 <μ。<1

(3.4.2)

(3.4.3) (KOQ)2 ⁼ 1/ (2μ。-1)，ただし， 1/2 <μ。<1 (3.4.4) 母数の 変域が 1/2<μ。<1 であるので， 2.1 節の議論に従い， 式(3.4.3)， (3.4.4) を

μ1を用いて変形 すると，

1-^，u

Ax" = 2一一:l(=1-2μ1 2�∞付μ1二0�1/2) (3.4.5)

(

^一一一

叫 r

^{. 1 = =} _1-^�

_�

^{� (= 一}1 �∞付μ1二0�1/2) 2Qノ 1-2μl

両式から， 陽なμlを消去すれば次式を得る.

1+1 -竺左手五| 二AX2(=2�∞付μ1 = 0�1/2)

\. 2Qノ A

(3.4.6)

(3.4.7)

3.4.1 強非線形低周波振動(Ax→，)2， Q→0， μl→0)

1)振幅Ax(^< J3→，)2) が与えられる問題

-76-式(3.4.5)を変形して， 与えられるAxに対して， μ1を得る表示は次式となる.

μ1 = (A x 2 /2-1) / (A x 2 -1)

= (A x / 12 -1)( 2 + A x / J2 -1) / (A x 2 -1) (3.4.8) 上式 からAxを与えて直接にμ1を計算しよう とするとき，

<<μ1/ AX)) = 6/ (2Ax 2 -1)(Ax2 -2 ) →∞， (AX→，)2) (3.4.9) であるので，Ax →12 においては，Axの誤差が異常に拡大されてμ1 の誤差にな る恐れがあるため，Axではなく (Ax-12)相当値を入力データとするよう注意す る必要がある. そのため， 式(3.4.5)を次式のように変更する.

C(2+ C) =μ1/ (1-2μJ，

ì

ただし，C三Ax/12-1

j

これから，

μ1二α/ (1 + 2a)， (α →0+)

ì

ただし，α 三C(2+C)， (C→0+)

j

上式によりμ1 μJα (C)Jを求める際の誤差増幅率は，

(3.4.10)

(3.4.11 )

<<μ1/ C)) = <<μ1/α ))<<α/ C)) = [1/ (1 + 2a)][2/ (2+ C)]→0(1)， _ì

ト (3.4.12)

(α→O，C→0， Ax →12)

J

であり， Ax →J2において安全となる. μ1 からqlを得るには， 式(2.1 .15)を試 行解法により解くか， ま たは 2.4節で作成したql =qj(μJ なる|場表示多項式[豆、

(2.4.6) ]を用 い る . さ らに ， 式 (2.1 .13) か らQ=Q(qJを， 式(2.1 .14) かり

�=民(qJを得る. これら一連の計算に関しては，2.5節より誤差の増幅に関し ては安全であることが確認済みである.決定されたμlヲQ，�を式(3.4.6) に代入す れば0が特定される. ここで， この0の計算においては， 式(3.4.6) ではなくず (3.4.7)を利用すると， 与えられたAxが部分的に関与するから若干の精度向上か 期待できるだけでなく， 形も簡潔であるから， より好ましい表示といえる.

-77-→

(

Ax / K1(μ1 =1/2) (→∞) π/川x/vÍ2-1)]

(�O)

^;Ax→;Ax →∞ l

� r

(3.4.13)

上式の誤差 増幅率を計算しておくと，

((f2/ Ax)) = Ax2 /(Ax2 -1)

+((Q /μ1))((μ1/ AX))+((ζ/μ1))((μ1/ Ax)) (3.4.14) であり，μ1 二，μl(Ax)を計算する際， 式(3.4.11)を用いる よう注意さえすれば，

((f2/Ax))→0(2)， (Ax→vÍ2) (3.4.15)

であり，誤差の増幅に関しては問題ない. こ れらf2，Qによって式(3.1.15)により フーリエ係数が決定される.

2)振動数。(< 1.03→0)が与えられる場合

式(3.4.6)を用いて， 与えられたρからμ1 あるいはq1を計算するとき の誤差 の増幅率を計算すると， 次の結果を得る.

((θ/ q)) = ((Q / q)) -((1(， / q)) + ((μ1/q1))[μ1/ (1-2μJ]，

ì

→O(((Q / q)))二0(11/1nμ1)1 →

�

^{� ( ， 5μ1→0)}

{

l

^{∞， (μl→1/2)}

J

^(3.4.16)

ゆえに， 111→0では与えられたβ からq1 あるいはμ1 を得るときに危険であ り，逆にμ1→1/2では，μ1 から0を得るときに危険となる.そこで，対祢ソフ

トスプリング系の場合と同様に， 式(3.4.6)を変形 して次なるL1F を定義する.

L1F二1rQ / 2Q -1 = 1/ K

f1三五 -1

^{= fun.(qJ， ì}

.・.πβ/2Q= 1+ L1F，

ト

π2 /2Q = (π/Q)(l+L1F) J

他方， 式(2.1.13)から，

q1二exp(-π2/2Q)=qoqndF 1 ただし，qn三exp(-π/f2)，

ト

qρðF三exp(-^7[ L1 ^F / f2) )

ここで，L1F = 1/ 1(，f1弓瓦-1 の情報落ちを防ぐ形に変形 すると，

(3.4.17)

(3.4.18)

A ニ8�ql(1+bJ4 - � (1 + 2�)

l

K]

$三五

^(1+KJ

$三五 ↓

= fun.[qJ( L1F， Q)] = O(12qJ， ql→o )

-78

(3.4.19)

与えられたβ に対して， この式をL1Fに関して試行的に解くことができる. 式 (3.4.19)の右辺のql中の4を仮定し計算すると， それに続く改善されたL1F を 得るからL1Fの試行解の出発値はL1F二0 とおけばよい L1F = L1F( Q)が得られ ると式(3.4.17)よりQ= Q( Q)が求まって， 式(3.1.15) よりフーリエ係数も定ま る. このQ=Q(β)の計算に関しては，ここで必要とされる変域[μl二0�1/2 ，

(.(2= O� ∞) ]のすべてにおいて， 精度的に安全であるこ とが確認済みである.

ここで，μ1-μl(ql)の計算の際必要となるqlを特定しようとするときには若工 の注意が必要となる. 図2. 7より，ql→0 ではqlから μ1 を計算することは精度 的にはまったく問題ないが，。あるいはQからqlを計算する際には対称ソトス プリング系の場合と同様の問題が生ずる. すなわち，οから式(3.4.18) によるに せよ，あるいは一旦求められたQから式(2.1.13) によるにせよ，。→0 において ql を求める場合に， その誤差 増幅率 を計算してみ ると，

((ql / / .(2))→π/.(2→O(11nOI)→∞， [式(3.4.18)J _ì ((ql / /Q))→ポ/2Q→π/.(2→O(11nOI)→∞， [ 式(2.1.13)J，

ト

ただし，ql→o ^j

(3.4.20)

となり計算精度上問題が生じる. 実 際問題として，計算機内部の最大~最小値は，

1075 �10-75程度であるから，qlの最小値 を10-75とすれば， それに見合うοある いはQの最小値ならびに式(3.4.20)の誤差の増幅率は，

。> 0. 02， Q > 0. 03， ((ql / /θ)) < 157

となって， 単精度 計算以外ならば， 何とか許容できる値と考えられる. しかし，

.(2，Qがこの値以下になると， 計算機内では事実上。=0と同等に扱われてしま うこ とに注意する必要がある 以上より得られた μ1=μJ(qJ を式(3.4.10) に適用 すればCが求められる. すなわち，

C二 μ1/ (1-2μJ

1 +

�

(1- μJ/ (1 -2μJ (3.4.21 )

Qノ勺I

なお，cの計算に，式(3.4.7)を用いても大差はないがその際のぷホには， Ir\接 L1Fを取り入れると，

c=ijjFK1 + 4�)(1 + Qρ)、J8q1→8e-Trtn 2Qn +

�

2(1 + Qn2) ぽ�(μ1=1/2)1 ただし，

;[2→0 2→∞;β→∞

(3.4.22) f _{1 ;[2→O}

Qρ三2QIπぽ� = 1 1 (1 + L1 F )K1→

1

ô;il→∞

ただし，q1を用いて 計算される式(3.4.21)， (3.4.22)の右辺の精度的危険は，I苅.i&

のようにq1= fun.( Q)あるいはq1= fun.([2) と同等で、あり，。→0では注意を要 する.

3.4.2 高周波振動(Ax→∞，[2→∞，μ1→1/2 )

振 動数が与えら れ た 場 合 に は ， 最終的に振幅を計算す るために ， Ax = Ax[μ1(qJ ]なる計算が必要となる.μ1→1/2なるとき μ1 μl(qJの計算は問

題ない として[式( 2.5.8)参照]，式(3.4.5)を用いてAx= Ax(μJを求める|僚には計 算精度上の問題が生じる. すなわち，μ1がんの誤差を持つと仮定するとき，

μ1 戸1+&μ' ただし，戸P'μ1の厳密値 と おけば，式(3.4.5)は，

Ax2 = 2(1-μJ 1 (1-2μJ 二211L+ 2εμ

1-2λ[1-2(戸1+&μ)](1-2戸J

= 2土J11 _1+主

r

_云1

1

1-2云1\. λ [1-2λ(1+&μ/λ )](1-2戸Jノ

となる上 式の右辺の第2項がεμに基ずくAX2の誤差であり，μl→1/2の場令 Axzと比肩する大きさとなり，得られたμ1は過大なる誤差を含んだものとな (3.4.23)

る. あるいは，μ1→1/2の場合，式(3.4.5) よりμ1-μ1(Ax)を計算するときのす 差増幅率を計算すると，

((Ax2 / ^ /μ• ))='" μ1 →∞， (μ1→1/2) (1-2μJ(l-μJ ^{" ，}

-80一

(3.4.24)

となる. よってμl→1/2 (Ax→∞?ο→∞)の場合 の大振幅高周波振動に対するl匂 精度計算の ためには， いま まで用いてきた(q1'μJ群を基調と する もので はなく，

2.3節で論じた(S1'vJ基調による アルゴリズム の構築がが必要となる. そこで，

式(3.4.5)あるいは式(3.4.10)に式(2.3.15)を適用すると，

Ax 2 = 1-1/ v1 (→∞)， ì

あるいは，

�

C (2 + C) = (-1/ v1 -1) / 2 (→∞)， v1→0+ J を得る. このとき ，

Ax 二1-1/v1+ Eν/予1(V1+εJ

.，... 、.... 1、戸

」ー...__ v'-，

v1 ; v1の厳密値， ム; v1の誤差 あるいは，

((Ax2 / /v)) = 1/ (v1 -1)→1， (v1→0)

(3.4.25)

(3.4.26)

(3.4.27) であるから ， v1から AX2を得ることにすれば， μ1→1/2 における誤差拡大の附 害[式(3.4.23)あるいは式(3.4.24)参照]は解消する. ま た上述まで の場合と逆に 振幅が与えられる場合においても， 式(3.4.16) で示したように， qlからβを計算

するとき問題が生じる. そこで ， μ1 →1/2 の大振|幅高周波振動については，

(Sl' VJ群を用いたアルゴリズムを構築 すること が有効であると考えられる. ゆえ に， μ1→Ou(1/2) の各場合に応じて (ql'μJ群 ， (Sl' VJ群による両計算手法を適

宜使い分けるのが最良と思われる.

1)振幅 Ax(> J3→∞)が与えられる場合 式(3.4.25) より導かれる次式

表3.6 式(3.4.30)の係数表

λ=

1.030364

!

12二0.362203 ! 13

=

0.117370

A二0.012835 同 ^{= 0 004586} i

よ^-玄二 1 /

JA;

^{= 一 l/JC}

1

^回

(=

1→o ^<=> Ax →-J2 ^<=> C

=

0→∞)

j

-81-(3.4.28)

により， まず与えられた Ax からv1

=

v1(Ax)を得る. この形を見ると与える入力 は， Ax'Cのいずれでも差し支えないが， 式(3.4.11)と形を揃えるために， Cに 統一するほうが好都合と思われる. このv](C)を用 いて， 式(2.3.16)�(2.3.18)に より， 試行解S1

=

S1(V)を得ると式(2.3.14)から q1を得る. これらの経過から待ら

れるKと式(2.1.9)により得られるQにより， 式(2.3.6)， (2.3.15)から，

βニ2Q/πK1

F正

(→∞)， ただし， v1→0-， ì

ここで，

�

lnq1二ln(l+sJ一久[式(2.1.9)， (2.3.14)参照] _J

(3.4.29)

を得， これから式(3.4.2)なる解が定まる. そして， 決定した Q ，Qを式(3.1.15)に 適用すればフーリエ係数が求まる.

2)振動数。(> 103→∞)が与えられる問題

式(3.4.29)と 2.3節の議論により， S1 ⁼ S1(Q)を解くことができる. すなわち，

引を仮定すると式(2.3.14)からq1' 式(2.1.9)からQが得られ， 式(2ふ17)かり H1 ' 式(2.3.16)から民， また式(2.3.18)から久を得る s1，b1，H1を式(2.3.19)に 代入するとv1を得， Q，}にとともに式(3.4.29)の右辺に代入して， 与えられた。

と等し くなるようS1

=

S1(Q)を試行解法にて解く. Slの試行解の初期値として は， 次の近似式が利用できる.

ウ­ORU

ql = e-π/ (1 + F)，

あるいは，

S二一F

/

(1+ F) ただし，

(3.4.30)

F ⁼ L fn n=l

/

[22n， fn:表3.6参照

V1を式(3.4.25)に用いて次式よりCが決定される，

c=il�vJ/-J二五;

-Jiコ

¹₊

ιz

^(3.4.31)

3.4.3 フーリエ級数の打ち切り誤差

フーリエ級数の有限項近似での打ち切り誤差εは， 3.2.4節にて詳論した対称ハ ードスプリング系の場合の結果を利用できる.

低周波強非線形域(Q→0，[2→0，Ax →12)では，打ち切り誤差εは，式(3.2.33) より次式で表される.

- E 川ヲ1n+1tm-1(e-(NQ)Q) -1 fN M

ε =

生

^{1い +eピf♂→叫Z (叩)胤u Q 二 t刷a叩n-1(ヤ e-(リN川川+吋￡りj川勺μつ2 �} _p-(似N仙M川+は叫2勾 )

p _一「l+e-�e-Q 百1l +Q : ¹ tan-1(〆) _一 t叩吋e-Q勺Q勺) ^{， "}

ただし， Q→0

ゆえに， 要求される相対誤差限界εを満足するために必要となるフーリエ級数の 項数Npは次式により求められる.

(3.4.32)

ln{tan[εtanペピQ)]}

N+2>-Q → N_ι� 三一ln{tan[εtan-1(e-Q

)]}

Q (3.4.33)

あるいは，

→

山 川

21nc 21nc

N+2>一^一一一_ハ → N ， .L'f"p ^こ_

JrJ.L JrJ.L /、

司、〕nkυ

また高周波振動域(Q→π/2，ο→∞，^Ax →∞〉については， 式(3.2.37)がそのま ま成立する. 図3.11には， ε= 10-5， 10-14， 10-32の各場合に対する式(3.4.33)による NFの計算結果を示した. ο→0において高精度数値解を得るには， 対称ソフト スプリング系と同様に多くの項数が必要となる.

Kh h 4 103

.匂口 a Uω B a 3

弘5ら a0^{4 B} ₄ ¹⁰²

g。 川「

^上

1

Frequencyρ

10 100

図3.11 フーリエ級数の有限項打ち切り誤差Eを満足するに必要な項数Np (対称スナップスルースプリング系両振りモード〉

-84-3.4.4 数値計算結果

図 3.12 に解X(T)の振動波形を示した この振動系には3佃の平衡点が存在 し， 対称両振りモードの解は， これら3個の平衡点をすべて通過する形で実刻す る. 中央の不安定な平衡点の反発ばね力とその両側に位置する2佃の安定な、v-衡 点の吸引ばね力の組み合わせのために， 特異な振動波形が出現する• ß鮮は振動数

。のすべての領域で存在するが， 単純な正弦波でななく， 目立つほどに高調波成

分を含有する歪んだ(尖った〉波形となるのが特徴である . 。→∞(Ax→∞ )の 場合には， 対称単項3次曲線ばね系(歪み率最小のh= 4. 5%， hの定義は下記〉

に漸近し， 逆に0→O(A→0)の場合には， nT=π の間隔で正負交互に符号を 反転する高さ J2の双方向性パルス列様波形(歪み率最大のh= 100% )に漸近す る. この超低周波パルス列様振動を高精度で数値化するためには， 式(3.1.14) の 計算で必要となるフーリエ級数の項数は， 。に反比例する膨大な項数が要求され る〈図3.11参照).

ヌI3.13には， 振幅Axおよびフーリエ係数[調波振|陥;定義式は式(3.2.39) に よる]の周波数特性の数値計算結果を示した . また図中に併記した高調波iliみボ hの定義は次式による .

h=

(ト)/(ト)

⁼

J3t;;;

。→∞ では， 対称ハードスプリング系の場合と同様に，

Ax →K1(μ1二1/2)n，An→2J2n / cosh(nπ/2) なる性質があり， またnが十分に大なるときには，

(3.4.35)

(3.4.36)

An→4F2n(e-tr勺n (3.4.37)

が成立する. これら の漸近特性はすべて原点( n ，Ax) = (0， 0)を通る直線であっ

て， μ1.=1/2 (: d 2X /dT2 +X3 = 0)の解に対応する . また0→0の低周波振動域 では， すべてのフーリエ係数が

An→2J2.a (3.4.38)

となり， 。に比例して零に収束するが， その総和は(Ax=)-J2である.

-8ベ

-ヌI 3.14には補母数ノミラメータμ1の関数として， 各種特性値をぶし た.

μ1→0(.0→0， Ax →�2)では，

Axーゾ2→μ1/ゾ2，

l

Q→π/ ln(16 /μJ， t.こだし， μ1→o ^J μ1→1/2 (.0→∞，Ax →∞)には，

Ax →1/ -fi

�

^{1/ 2-μl，}

₁

0→1/ KJ1/2)-fi

�

1/2-μ1 ，ただし， μ1→1/2 J なる漸近特性を有し， それらを図中に併記した.

3 2 む 1'-..../

N

� ⁰

c

ち -1ロ v)

-2

-3

0 π 2π

Independent variable m

(3.4.39)

(3.4.40)

図3.12 対称スナップスルースプリング系両振りモードの解の波形

-

⁸⁶

-(3Cid-xgω\q吟Nlirk-ω)q川、寸

/

ドキュメント内 九州大学学術情報リポジトリ (ページ 32-45)