/ ノ

-

⁸⁶

-(3Cid-xgω\q吟Nlirk-ω)q川、寸

/

-87-0.1

10

1

0.1

0.01

ぷhodd--N布、hNて

戸、Jウu nU

0.001

50

10

π/2

e

-tr

Ax ___〆4

・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・圃・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 圃・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・・聞・・・・・・・・・ ・・聞・・・・・・ ・・・・・ ・・ ' ・・・・・ / J/〆 ノ

，

ノ μ F り〆 -o ノノ ， ， ノ ノ ノ

-/ r ノノ'

日

A

，〈/

- V 〆んF . 〈 ，\ ~ ノ .'，r / /ρ / 4 nu ro nU 司1ム

12

0.1 0.5 μ1 10-40 10-20 0.001

Complementary modulus parameter 0.01 0.1

0.01

0.001

ぷdd

hqlHでよで

補母数μ1と諸特性値の対応 火13.14

-88

3.5 対称スナップスルースプリング系片振りモード

片振りモードの解とは， 2個存在する安定平衡点X=1またはX=-1のどちら か一方を中心として振動し， 不安定平衡点 である 変位の原点( X =0)を通過す

ることはなく， 解が変位の正または負の範囲のみに遍在する非零定符号の解であ る• X=1 を中心とした周期解はo< X (T) <12， X二一1 を中心とした周期解は -12 < X(T) < 0 範囲のみに存在する• X =1まわりとX=-1まわりのふたつの解 は互いに鏡像関係にあり， X=1まわりの解がX(T)とするとき， X=-lまわり の解は-X(T)で表すことができる. また， 前述ま での3つの対称Duffmg系の解 の波形はすべて， X(T+π/θ) = -X(T) [π/Q;半周期]なる， いわゆる対称波 形であるのに反し， 片振りモードの解の波形は， X(T+π/ Q) ^� -X(T)となる非 対称波形となるのが特徴である. ゆえに， このモードの解に限り， 解の最大振IIJ面 と最小振幅を区別して考えなければならない.

片振りモードの解は， dn関数を用いて表すことができ， 母数はμ。=0�1の範 囲のすべての値をとり得るため， 厳密解の計算に際しては， 式(2.2.16)にぷした ように， μ0'μlの使い分けの必要が生じる. このため， 式(3.1.16)によりフーリ エ係数を計算する際には， 3.1節で論じたように誤差の増殖に対する配慮かり μ。三1/2 の場合(準線形微小振動域〉にはq。による表示式を， またμ151/2 (μ02::1/2)の場合にはQ(強非線形振動域〉による表示式を用いて計算を行うこ

とに注意する.

まず， 片振りモードの解を次のように仮定する.

X(T) = Axdnu(T)， Ax二max(T) IX (T)I :定数1

Ax二1�12件。= 12�o付μ。= 0�1 J ^(3.5.1) 最大振幅Axの対となる最小振幅をBxとするとき， 式(3.4.1) のエネルギ積分カ ら次の関係式が導かれる.

Ax ² + B x ² = 2 ， ì 42二1�2付 Bxz二1�O J

また式(3.1.18)および表3.2から， 次なる基礎式を得る.

(3.5.2)

Ax2 =2/(2-μ。)= 2/ (1 +μJ

什2り0=0---1引l=l�O)

}

。2二_{(2 -f.1}4 _0)KOL a =_{1 +μ1 \}-L

目

_7rK1^立_ノ

) 1 _ト

(=2---0付μ。=0---1付μ1 =1---0) )

式(3.5.3)，(3.5.4)から陽な(2-μ。)= (1+μJを消去すると，

(乎r

⁼

( �Qr

^二

千

^二1

与

また， 式(3.5み， (3.5.3)から次の関係式を得る.

AX2-1=1-Bxz二μ。/(2-μ。) = (0---1)， ì

2-AJ=BJ=2μ1/ (1 +μJ = (0---1)，ト ( 付 μ。=0---1 付 μ1= 1---0) J

3.5.1 準線形微小振動(Ax→1， Bx→1，ρ→花μ。→0) 1) 振幅Ax(→1) [またはん(→1) ]が与えられる問題

-89

-(3.5.3)

(3.5.4)

(3.5.5)

(3.5.6)

0::;μ。<1/2に対する振幅 は， 1壬Ax< 213または1三Bx> .)2/3である.まず，

式(3.5みから次式を得る.

((Ax2//μ。>>=μ。/(2-μ。)= 0---1付μ。=0---1

ゆえに， 式(3.5.3)から直接的=μ。(Ax) を求めるとき， 誤差の拡大率は，

((μ。//Ax>>=∞---0(1)ομ。=0---1

となり， μ。→0では危険である. そこで式(3.5.6)から次式を得る.

μ。=2ao / (1 +α。)= 2bo / (1 + bo)(= 0---1)， ì ao = (Ax -1)[2+(Ax -1)](= 0---1)， ト 九=(1-Bx)[2-(1-Bx)](= 0---1) ^J

、� 、� )，戸

"_"_V'-，

((μ。//α。>>=((μ。//bo > > = 1/ (1 +α。)= 1---1/ 2 = 0(1)， ì

(3.5. 7 )

(3.5.8)

(3.5.9)

((α。II(Ax-1)))二((boII(Bx -1))) ⁼ 2[1 + (Ax -1)] I [2 + (Ax -1)]ト(3.5.10) 二1---1172 = 0(1)， ただし，μ。=0---1 J

90一

これらにより， 入力値を Ax，Bxではなく， (Ax -1)， ( Bx -1)からんを求めること は， その逆関数とともに安全であることが確認できる. ただし， ao =α。(μ。 )から

二次方程式の根と し て (Ax-1)を 得 る際に は ， 得 ら れ る 2恨のうち ， O(Ax -1) = O(α。)→oとなる分枝をとることに注意すべきであり， bo' (1- Bx)に ついても同様である. すなわち，

x(2 ::t x) = c(� 0) → x=c/(1+..J1::tc) (3.5.11)

以後， この形は度々出現する. んから Ko，q。を求めるには， 式(2.1.17)の逆関数 試行解あるいは， qo = qo(μ。)の陽近似多項式[式(2.4.6) ]によるが， これ も

ん<1/2 であるならば安全である.μo，Koを用いて式(3.5.4) あるいは (3.5.5) から ρを得， q。とともに式(3.1.16)のフーリエ係数が定まる. ただし， フーリエ係数 は， そ れ自身の相対誤差としては， O(次数)の危険があり， Axあるいはんに対 する相対誤差として評価する場合に限って安全である.なお0の計算の ために後

述する式(3.5.13) を利用すると 1-Q/J2が得られ， ο→J2におけるοの高精 度表示となる.

2)振動数。(→J2)が与えられる問題

O壬μ。<1/2に対して， J2壬β<1384が対応する. まず式(3.5.4)かり，

((Q / /μ。>>三((Q2/ /qo>>→0，ただし μo，q。→o (3.5.12) となるから， ρその ものが与えられでも qo = qo(Q)なる値は， 必要な精度が得り

れないこととなる. そ こで式(2.1.17)，(2.1.18) により式(3.5.4) を変形して，

(1- Q / -fi )[2 -(1-Q / -fi)] = 1-β 2/2

= 8)l{ / (1-μo /2) Ko2 = O(24qo) ただし，

)五三(K02_1-μOK02/2) / 8 = (1 + 2Pa)Pa -qo(1 + bor 二qo[Po(3+2pひ-b凡6+4b。(1+Zqf+1)/bJ+b九]

n�2

+九(1+ 3PO + 12 qoPo + 2p03 + 4イ)二O(勾乃，

ここで， (((1-Q/.J2)/ /qO>> = O(2)，( q。→0)

(3.5.13)

QJ

表 3.7 式(3.5.14)の係数表

11 = 0.000000

!

^{12 = 0.708147}

!

13二0.005057 A=0559 862

l

^f5=0289340

i

とする. これを試行的に解き qo=qo(1-f2/-J2)を定 め ること ができる. その試行 解q。の初期値の仮定のために，次の近似式が得られている.

qo ⁼ (1 +

か

^りz/必

₎

ただし，z三

-J

1-f2/.fi ;係数九:表3.7参照

j

さらに ， 式(2.1.17) か ら μ。=μ。(qo) を得， それ を式(3.5.6)に適用す ると ， (3.5.14)

(Ax -1)， (1-B x)を得る. あるいは， 1-f2 /-J2とと もに式(3.5.6)， (2.1.17) より導 かれる次式，

Ax2 -1= 1_BX2 = 8 (1+2 Pa)Pa -(1-f2/2)Ko2 (3.5.15) を用いても よい. さらに， 与え られたοと q。により式(3.1.16)のフーリエ係数 が決定される.

3.5.2 強非線形低周波振動(Ax→12， Bx →0 ，f2→0 ，μ。→1/2) 1)振幅Ax(→)2) [またはBx(→0)]が与えられる問題

O壬μ1 <1/2に対し， .fi> ^Ax > 2/、13， 0 < Bx <必73が対応し，式(3.1 .16)のフ ーリエ展開式においてはQによる表示を用いることに注意する.まず式(3.5.3)カ ら次式を得る.

((Ax2 / /μ))=μ1/(1 +μJ = 0"-'1/2付μ1=0"-'1 (3.5.16) ゆえに式(3.5.3) を用いて μ1=μl(Ax)を得ること は μ1→0において危険であ る. そこで式(3.5.6)から次式を得る.

μ1 α1 / (1-aJ ⁼ b1 / (1-bJ( = 0"-' 1)， _ì a1二(1-Ax / J2)[2一(1- Ax / J2](= 0"-' /12)，

�

b1二Bx2 / 2( = 0"-'1/2) ^J

(3.5.17)

つ­Qノ

式(3.5.10)と同様にして， μ1 μ1 (1 - ^{A x} /

-J

2 )またはμ1-μI(Bλ)およびその逆|均 数の計 算 は安 全 で あ る こ と が確か め ら れ る . 前節の場令とIr:1J織に

ql二ql(μJ， �[ql(μJ]を得ると， Q [式(2.1.19)]から式(3.5.4)あるいは式(3.5.5) を 経て 0 を得， 式(3.1.16) のフーリeエ係数も定められる. これらの過程も誤ぷの榊 殖に関 してはμ1 ^< 1/2 ならば， すべて安全である.

2)振動数が与えられる場合

O壬μ1^< 1/2 に対して， 0 ^< fl ^< 1384 が 対応する. 式(3.5.4) あるいは(2.5.7)か

ら次式 を得る.

<<Q / /q))く<<Q/ /q))二l/llnqll = O(Q)→0， ql→o (3.5.18) よって， ql =ql(β)なる計算の精度に不安があるから， 式(3.5.4) を次のように変 形する.

L1 H ⁼⁼ 1

- JrQ

/ 4Q = 1 -1/ K1

fl弓l' ₁

πn / 4Q = 1 -L1 H J (3.5.19)

ここで， L1H=l- l/叫立を桁落ち を防止する形に変形すると，

=8 �(1 + 2�) + 2ql(l +bJ4 二O(l2qJ κ

J弓:

^(1+民

J弓:

他方， 式(2.1.9)， (3.5.19)から qlの定義により，

ql = exp(-πZ/2Q)=qo/qI3AH ^{ヲ 1} ただし， qρ 三exp(-2π/θ)

ト

qodH三exp(-2πz1H/

Q) )

(3.5.20)

(3.5.21)

ゆえに式(3.5.20) は4に関する超越方程式となり試行的に解くことができる.

L1Hの初期値と して右辺のql中でAH=0 と仮定すれば，上式から自然に逐次L1f1 が得られる• L1Hが求められると，ただちにQ = Q(fl)を得，それとρを式(3.1.16) に適用して フーリエ係数が定まる.

問題はqlニql(Q)あるいはql二ql(β) (ただし Q，Q→0)における精度低下の 障害であるが， 3.3， 3.4 節の議論と同様に0の実用的下限を設定することにより，

-93-辛うじて許容さ れ る程度の危険と判定 さ れ る . 式 (2.1.15)から得られ る μ1 μl(qJから式 (3.5.6)によりJ2-Ax，Bx を得ることに問題はない . あるい は， 式(3.5.5.)，(3.5.19)による別の計算式は，

1_AX2 /2=Bx2 /2=1-(πK/2/4QY ì

ト (3.5.22)

=

L1H(2-L1H )K12 -8�(1+2� )

=

^{O(l6qJ J}

であり， 先に得たL1Hの値を直接Ax ，Bxの値に関与させることができる.

3.5.3 フーリエ級数の打ち切り誤差

対称スナップスルースプリング系〈片振りモード)の解はdn関数 で記述される が， dn関数のフーリエ級数 は， cn関数の場合と同様に余弦項のみで記述されるた め， 3.2.4節の議論を適用することができる. まず， 式(3.2.24)相当の今c' Pcは次 式で表される.

δp c = Nど 1

二芝 1

n(;U_{) cosh 2nQ} � cosh[2(k N

+ +

1)Q]

二 4 e

-AfN41w +4t加一1(e-2(N+l)Q)

l+e 'V" り￥ U

Pc

=芝 1 =芝

n(t;iÍ ) cosh2nQ ^� cosh[2(k

+

1)Q]

=兵 二 tF+ 4 ^{t組一1 (}

^e-2Q)

l

+

e

晶

{ノ

フーリエ級数の有限項近似による相対誤差εは次式にて表される ε= ðpc _/ Pc

強非線形低周波振動域(Q→0， Q→0， Ax →J2) においては，

tan-1r e-2(N+l)Q ¹

l... J ， _-2くN+l)Q

ε三 ^L � ーミ�e tan-1[ e-ω]

(3.5.23)

(3.5.24)

(3.5.25)

ゆえに， 指定されたεを満足するにに必要な個数NFは次式にて与えられる.

ln{tan[8tan吋�-2Q)]}

N+1>一

2Q あるいは，

→ N円三一ln{tan[εtan吋e-2Q)]_}

ι 2Q (3.5.26)

94一

21nε 21n&

N+1>一一一一 → N�三 一一一一一

πQ r π。

ln & ln[32 / (2 -AX 2)]

N+1>一

π N ~F M π2 J

(3.5.27)

一方， 準線形振動域(q。→O，Q→∞，fl→1， Ax →-)2)においては， εは次式にて 表され，

N nU Qa

--nM 一 吋一QN一号引一e e一一一ε

(3.5.28) εを満足するにに必要な個数NFは，

N+1>且三+1 →N�三主三+1

lnqo ^r lnq。

21n& _{_ �} 21n&

N + 1 > ^，-- -，:_��

-+ 1 →N 三

ln [

F2 ( F2

^{-fl) / 24]} ' .L ， .L' F -ln

[

F2

⁽

F2

^{-fl) / 24 ] ム}

N + 1 > ---

-+ 1 →N�三 民ε +1

ln&

ln[(AZ-1)/8] ^r ln[(AZ-1)/8]

(3.5.29)

104

�

₁₀₃

・ u皿 4ロ ae a 2

且gH

aa 4 M

t+0 4

gH

ω ω

。VJ Pしvn C

1 u

O 引

TA EA 1ゾ2

図3.15 フーリエ級数の有限項打ち切り誤差εを満足するに必要な項数NF

(対称スナップスルースプリング系片振りモード〉

-95-にて与えられる. 図3.15には， ε二10-5，1014，10引の各場合に対する式(3.5.26)，

(3.5.29)によるNFの計算結果を示した.

3.5.4 数値計算結果

図3.16に数種の0に対する解X(T)の振動波形の振動波形を示した 解は，

振動数o�12の範囲で存在し， その波形は， n →-J2では準線形微小振動に，

o→0 では高さJ2， 周期nT=2πの一方向性ノ勺レス列様振動に漸近する. 対称 スナップスルースプリング系の片振りモードには2個の独立な解が存在し，

X(T)が解であるとき， その符号を反転させた-X(T)もまた解である. 図3.17 には最大振幅(Ax)および最小振幅(Bx)およびフーリエ係数(調波振幅) :Aの計 算結果を示した Aの定義は次式による.

X(T) = :LAn COSIα (3.5.30)

n主O(all)

ただし， A。は定数項成分である. この片振りモードの解は， これまでにl論じてき た他の対称Duffing形振動系[対称ハード， ソフト， スナップスルー(両振りモー

ド〉の各スプリング系]の解が奇数次調波のみで構成されるのに反し， 片振りモ ードの解は0次〈定数項〉を含め， 奇数偶数すべての調波を伴うことが大きな特 徴である. このため， この片振りモ一ドの解は， 他の対称Duffi伍mg形振動系とはt 質が大きく異な り ， その 解 は非零低符 号 の非対 称波 形 と な る . 。→ゾ2

(A，B→1 )の場合， 0次以外のすべての調波振幅Aについては，

An→4[(1 - n /12) /12]ぺ n=lムシ (3.5.31)

なる関係があり， 他方。→O(Ax→J2)では， すべての調波振幅Aは0に比例 し， 0次を除いてA1 (→J2n)に漸近する. なお， 定数項成分A。は， すべての振 動数範囲で，

AO =n/必 (3.5.32)

であり， A。はβに比例してその値が変化することとなる. また， Bx は，

Bx →4 Jie-trlβ (3.5.33)

-96-にて， .Q→0とともに零に近づく.

図 3.18には母数ノミラメータμ。および補母数パラメータμ1(= 1-μ。)の|対数と して各種特性値を示した μ。→O(β→、/2， Ax，Bx→1)においては，

、12-.Q→3μ02/32-12， ただし， μ。→o 方， μ1→o (.Q→0， Ax →-12)においては，

(3.5.34)

Bx→

�

^，

1

Q→2片/ln(16 /μJ， 1.こだし， μl→o J なる漸近特性を持つ.

(3.5.35)

1.5

C)同

υコロ

・... ... 0

ち0.5コ v)

0 π 2π

Independent variable m

図3.16 対称スナップスルースプリング系(片振りモード〉の解の波形

づ-9

3.6 まとめ

本章では，対称Duffing振動系の自由振動の厳密解の高精度数値化のためのアル ゴリズムおよびその振動特性に関して論じた.

(1) 3.1節では， 総論として対称Duffing族の分類を示した|二で， 対象となる振動 系の解とヤコビの楕円関数との対応が一意に決定されることをぷし(ぷ3.2)， そ の場合の母数の定義範囲〈表3.3)を明らかにしたさらに各振動系の厳俗解決定 の基礎となる未定定数の条件条件式[式(3.1.18)Jを導き， 厳密解特定のためのア ルゴ、リズムの概要を論じた. また， 対称Duffing系の厳密解表示に適応するように 各楕円関数のq展開式を整理して示し[式(3.1.14)�(3.1.16)]，qo' Qの使い分けに よるヤコビの楕円関数の高精度数値化の問題について論じた

(2) 3.2�3.5 節においては， 各振動系に対する厳密解の高精度計算法のアルゴリ ズムを論じた. 3.2節に対称ハードスプリング系， 3.3飾に対称ソフトスプリング 系， 3.4節に対称スナップスルースプリング系両振りモード， 3.5節に対対戸称スナツ プスル一スプリング片振りモ一ドに対する厳密解の高精度計算算.法および振勤特↑'[i

に関する詳論を述べた. すべての振動系に対し， 振幅が与えられる場令， または 振動数が与えられる場合の二様の初期条件に対し， 超低周波振動域や準線形振動 域などに解の特定範囲を分割し， その厳密解の計算の際に生じる問題点を逐 -洗 い出した上で， 利用する計算式を丹念に吟味し， その高精度数値化を実現するア ルゴリズムを論じた. その成果のひとつとして， 実際に出ブJの相対誤差10 30以の 数値精度を保証する数値化を可能ならしめるプログラムの全文およびその使用説 明書を付録cに提示した.

(3) 対称 Duffing 族の各振動系に対して， 解の波形， 振|隔および調波振幅の周波 数特性とそれらの値の漸近特性， ならびに母数と諸特性値との対応関係について の実際の計算結果を図示し(図 3.4�3.6， 3.8�10， 3.12�3.14， 3.16�3.18)， その振 動特性の詳細を解明した. 調波振幅特性については， 対称ノ\ード， スナップスル ースプリング系両振りモードの解の調波振幅特性は振動数の増大〈ο→∞)とと もに， 対称単項3次曲線ばね系のそれに漸近する[A→2.J2f2/ cosh(nπ/2) ， (n =1，3，5...)]. 一方ο→0なる強非線形振動域では， 対称ソフトスプリング系:

ドキュメント内 九州大学学術情報リポジトリ (ページ 45-57)