2
章：図形と方程式
3：軌跡と領域119 x2+y2−2x50 ∴ (x−1)2+y251
1 1
2 2
x y
O より，中心(1, 0)，半径1の円の周および内部であり
x+y−2=0 ∴ y=−x+ 2
より，直線y=−x+ 2の上側である。よって，領域は 右図の斜線部分となる。ただし，境界を含む。
したがって，求める面積は半径1の四分円から3辺が 1，1，√
2の直角二等辺三角形を除けばよいので 1
4π·12− 1
2 ·1·1 = π 4 − 1
2
120 (x2−4x+y2−2y+ 1)(x−y+ 1)50
⇐⇒
{(x−2)2+ (y−1)2=4 y=x+ 1
または
{(x−2)2+ (y−1)254 y5x+ 1
x y
O 2
3 1 であり，右図の斜線部分。ただし，境界を含む。
121 (1) x − y >0より y < x であるから，両辺を
x y
O
y=x
y=−x 2乗して
y2< x2 ∴ (y+x)(y−x)<0 すなわち{
y >−x
y < x または
{y <−x y > x
よって，求める領域は，右図の斜線部分。ただし，境界は含まない。
y < x はx軸，y軸に関して対称な領域だから，x >0かつy >0のとき の領域を図示して，x軸およびy軸に関して対称移動させると同じ領域を得る。
(2) x + 2y 52はx軸およびy軸に関して対称な領域である。
x=0かつy=0のときの領域は
2 1
−2
−1
x y
O x+ 2y52
のx=0，y= 0の部分であるから，これをx軸に関し て，さらにy軸に関して対称移動させればよいので，求め る領域は右図の斜線部分。ただし，境界を含む。
106
2
章：図形と方程式
3：軌跡と領域3.5 通過領域
122 xy
平面上の
2点
(t, t)，(t−1, 1−t)を通る直線を
ltとする。次の問 いに答えよ。
(1) lt
の方程式を求めよ。
(2) t
がすべての実数を動くとき，l
tの通り得る範囲を図示せよ。
（京都産業大）
123
実数
tに対して
xy平面上の直線
lt:y= 2tx−t2を考える。次の問に 答えよ。
(1)
点
Pを通る直線
ltはただ
1つであるとする。このような点
Pの軌跡の 方程式を求めよ。
(2) t
が
t = 1の範囲を動くとき，直線
ltが通る点
(x, y)の全体を図示
せよ。 （神戸大）
122 直線lt:f(x, y, t) = 0の通り得る範囲を求めるということは，通り得る範囲 を表すx，yの不等式を求めることです。
パラメータtが1つ与えられると直線が1本に決まり，その直線上の点が求める領 域内の点ということになります。すなわち，f(x, y, t) = 0をみたす実数tが存在 するためのx, yの条件を求めればよいわけです。パラメータ表示された点の軌跡を 求めるときの考え方と同じですね。
123 (2) 122と同じように考えればよいのですが，パラメータtに t =1という 条件がついていることに注意しましょう。tの2次方程式についての解の配置の問題 となります。
あるいは，直線ltは(1)で求めた軌跡の接線になっていることに気づくと直接領域 を図示することもできます。(1)の軌跡はパラメータtを動かしてできる直線群の包 絡線とよばれています。
122 (1) 求める直線ltの方程式は y= t−(1−t)
t−(t−1)(x−t) +t ∴ y= (2t−1)x−2t2+ 2t (2) (1)をtについて整理すると
x y
O
y= 1 2x2+ 1
2 1
2 2t2−2(x+ 1)t+x+y= 0
これが実数解tをもつためのx，yの条件を求めれば よいから，判別式=0より
(x+ 1)2−2(x+y)=0
∴ y5 1 2x2+ 1
2
したがって，ltの通過する領域は，
右図の斜線部分で，境界を含む。
123 lt の方程式をtについて整理すると t2−2xt+y= 0
f(t) =t2−2xt+yとおく。
(1) f(t) = 0がただ1つの実数解をもつためのx，yの条件を求めればよいから，
判別式をD として D
4 =x2−y= 0 ∴ y=x2
(2) f(t) = 0が t = 1の範囲で少なくとも1つの実数
y=x2
1 1
−1
−1 x y
O 解をもつためのx，yの条件を求めればよい。
軸t=xの位置で場合分けする。
( i ) x5−1または15xのとき D=0 ∴ y5x2 (ii) −1< x <1のとき
f(−1)50またはf(1)50
∴ y5−2x−1またはy52x−1
( i )または(ii) を図示すると右上図の斜線部分となる。ただし，境界を含む。
(1)より lt は放物線 y=x2 の接線であるから，
1 1
−1
−1 x y
O t =1の範囲で接線を引くことにより，lt の通過領域
は右図の斜線部分である。ただし，境界を含む。
108
2