ワイブル分布関数近似による定式化

得られた曲線を忠実に近似する Sigmoid 関数近似に対し、信頼性工学の一般論とし て機械部品、電気部品の故障が解析されており、そのなかでいくつかの近似簡便公式 が示されているが、ワイブル分布関数を用いた近似公式が機械品、電気品の故障傾向 とよく一致することが確かめられている。そこで、プラント内の電気設備が主として 電気品から形成されていること、また、電気設備には機械品が係っていることを考慮

第２章 産業プラントの全体信頼度と電気設備個別の信頼度との関係

し、ワイブル分布関数近似より定式化を行なった。

ワイブル分布関数による定式化は、電気設備による信頼度検討に加え、機械品を検 討対象に含めた場合においても容易に拡張することができることからより一般的とい える。

ワイブ ル分 布関数 を用 いた信 頼度 曲線近 似に は、ま ず、 電気設 備の 累積故 障確 率 F(t)として式(2-2)のように定式化することができる⁽⁶⁾。

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ −

−

= t

t

F ( ) 1 exp ( )

α

ここで、

m ：形状パラメータ α ：尺度パラメータ

信頼度 R(t)は累積故障率から以下の式(2-3)で表わされる。

) ( 1 )

( t F t

R = −

(2-3)

ワイブル分布関数を用いた近似では、Sigmoid 曲線による電気設備の信頼度をなぞ る場合と同様に、電気設備の種類、容量や使用環境、使用状況によって異なる信頼度 曲線を形状パラメータと尺度パラメータによって近似することとなる。

形状パラメータｍと尺度パラメータαの関係は次の通りである。

形状パラメータは、式(2-2)で表現される累積故障率の故障の種類を表わすパラメー タである。図 2-1 のバスタブカーブ上において、3 種類の故障(初期故障、偶発故障、

磨耗故障)が示されているが、形状パラメータｍを以下の考え方に基づいて選ぶことに より、式(2-2)によって各々の累積故障率を表現できる。

ワイブル分布におけるある時刻 t の故障率 r(t)は次式で示すことができる。

第２章 産業プラントの全体信頼度と電気設備個別の信頼度との関係

)

( )

( = m t

t

r α α

ここで、ｍ<1 の場合には、故障率は単調減少となり、式(2-2)は初期故障の場合の ワイブル分布関数となる。また、ｍ=1 の場合には故障率は一定値となり、式(2-2)は 偶発故障の場合のワイブル分布関数となる。ｍ>1 の場合には、故障率は単調増加とな り、式(2-2)は磨耗故障の場合のワイブル関数となる。図 2-7 に 3 種類の故障に対応す るｍの値とその累積故障率を、図 2-8 に 3 種類の故障に対応するｍの値と故障率をそ れぞれ示す。

図 2-8 からも分かるとおり、初期故障の累積故障率の増加は初期段階で高く、次第 に増加率が減少していく。逆に磨耗故障の累積故障率は、初期段階では低く推移し、

時間経過とともに増加速度が大きくなっていく。これは、図 2-7 のような故障率の特 性によるものである。

0 0.5 1 1.5 2

0 Time

Failure Rate

m=1

m=0.5 m=2

図 2-7 形状パラメータと故障率 Fig. 2-7 Shape Parameter and Failure Rate

第２章 産業プラントの全体信頼度と電気設備個別の信頼度との関係

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0 Time

Cumulative Failure Rate

m=1 m=0.5

m=2

図 2-8 形状パラメータと累積故障率 Fig. 2-8 Shape Parameter and Cumulative Failure Rate

尺度パラメータ α は、ワイブル分布関数の横軸の時間尺度単位を規定するパラメー タである。尺度パラメータαの値を小さくすると、ワイブル分布関数の分布時間幅が 小さくなるため、累積故障率の最高値が高くなる。逆に、尺度パラメータαの値を大 きくすると、α の値を変えたとしても、ワイブル分布関数の分布時間幅が大きくなる ため、累積故障率の最高値が低くなる。これは、累積故障率を与えるワイブル分布関 数の総面積はαに関わらず一定であるためである。また、同じｍの値に対しては、ワ イブル分布関数は同じ分布形を持つ。