論 文
2 ワイブル分布と P-S-N 曲線 .1 確率乗法則と信頼度関数
あるアイテムが破損に対して危険な等応力x をうけて いる．xをうけた微小要素の信頼度R1の数をK，各要素が 同時に破損しない確率，アイテム全体の信頼度をRとす る．確率乗法則は式(1)またはその両辺の自然対数をとっ た式(2)で表される[1,2]．
1 ... 1 1K
R R= × ×R =R (1)
1 1 1
1 1 1 1
ln ln ... ln Kln
R= R + + R = R (2) 微小要素の形状指数を(m)，尺度係数を(η1)，材料の最 小強さを(γ) とする．破損確率を n％，信頼度を R＝1－
n/100 で表すと，微小要素とアイテムの信頼度関数は式
(3)(4)で与えられる[4,5]．
( )
1
1 1 1 1
1 1
ln ; ln
m m
n n
x x
R R
γ η γ
η
− −
= = − (3)
1
1 1
ln ;
m
n m
x K
R
γ η η
η
− −
= =
(4)
注）Weibullはη1を材料関数と称して「R1＝1/e≈0.37，n≈63％は mに依存しない特異点と定義し，式(4)でK＝V として( )外にお き，両辺の対数をとり，Vを含めてm，γ，η1を推定した」[1,2]． 著者らはK‒1/mをη内に留め，Kは破損に対して危険な等応力の 寸法で，変数は含めない代表値を採用するとした．
2.2 L-Pの信頼度関数とP-S-N曲線
式(2)の確率和は，K∝∫dV＝V と積分形にできる．L-P は確率変数をx＝Nn Mcycles単位の寿命とし，Weibullの助 言により，玉軸受の寿命データベースに基づきγ << N50で あるので，γを無視するとした[16]．
座標原点を軌道表面y＝z＝0にとり，図1aに点接触軌 道のだ円体応力分布σと中心の最大Hertz応力σmaxを示す．
線接触軌道b/a→0の1bは，深さz0＝0.5b，y＝±0.866bに ピークをもつ動的な両振り直交せん断応力 τ0＝±0.25σmax
を示す[4,17]．また，深さzst＝0.786bには45º方向の静的 な片振りせん断応力振幅τst＝0.3σmaxが発生する．
L-P は転がり軸受軌道の疲れ破損に対する危険な応力 を，転動体通過に伴う深さ z0に発生する両振り直交せん 断応力振幅±τ0＝0.5σmax >τst＝0.3σmaxとし，転がり疲れに起 因する破損は τ0による軌道に平行なせん断クラックで始 まり，45º方向に伝播，うろこ状にはく離して表面に達し，
スポーリングを形成，寿命に至るとした[4]．
図2はこのようなτ0とτstの材料内部z軸方向の分布状 態を示す[17]．τstは転動体の圧壊試験時の応力である．
a 直交せん断応力：τ0 = ±0.25σmax, y=±0.866b, z0 =0.5b． b 片振りせん断応力：|τst |= 0.3σmax, y= 0, z0 =0.786b．
図1 転がり疲れを支配するHertz応力σmax[4,17].
0 0.1 0.4
0 1 2
T0
3 0.2
0.3
Tst
T = τzy/σmax
z/b T0= 0.25
Tst = 0.3 b/a = 0
z0/b=0.5 zst/b=0.786 τst +τ0
図2 せん断応力τ0とτstの深さz軸方向の分布[4,17]． 応力体積Vは接触だ円の長軸半径a，軌道直径Deおよ びクラックの発生深さz0に比例し，ワイブルが助言しな かったクラックの伝播速度[13,14]をz0–hとすると，L-Pの 信頼度関数は次式で表される．
0 0 0
ln1 c h mn ;
z N V V aD ze
R∝τ − ∝ (5) 上式にa∝σmax∝τ0，z0∝τ0の関係を適用して式(6)の信 頼度関数を求め，材料定数A0を導入すると，P-S-N曲線 は式(7)になる．なお，cとhは寿命試験で定める指数．
0 2
ln1 De c h Nnm
R∝ τ − + (6)
0 0 0
1 1 1
0 nq 0 mq ln1 mq ; 0 2
e c h
N A D q
R m
τ = − = − + (7)
L-P理論は確率乗法則とP-S-N関係が成立していない．
Vは等応力場でないうえ，aもz0もτ0やσmaxの従属変数で ある．γ を無視している．応力寿命指数は材料で定まりq0
＝cとすべきところがc，h，m，Vの関数である．ηがn
＝10％で定義されていない．著者らの式(11, 12)参照．
2.3 一般ワイブル分布とP-S-N曲線
2.3.1 ワイブル分布の成立とP-S-N曲線 再び，式(3) に戻る．形状指数mは破損に対して危険な等応力Smaxの 分布形態に依存する固定値とする．尺度係数ηはVをK のまま包含し，n＝10％，R＝0.9等の定格寿命x10－γ（η1
はγからx10 /x50 /x63までの寿命＝γの従属変数）を適用す ると式(8)(9)で定義される．
( ) 1/ ( )( ) 1 ( )
1 10 ln 1 50 ln 2 63
0.9
m
x x m x
η = −γ − = −γ − = −γ (8)
( ) ( )
1 1 1
63 10 ln 1
0.9
m m m
K x K x
η= − −γ = − −γ − (9) 材料が繰返し応力をうけると，応力振幅 Smaxが比例限 度内であっても，いずれ構造疲れで破損する．この場合 の確率変数はP-S-N曲線の寿命xとなり，式(10)に示すよ
うに定格寿命x10－γ がSmaxに関する応力寿命指数のq乗に 逆比例して寿命に至る[4,13,14]．
10 maxq
x − ∝γ S− (10) 信頼度関数とP-S-N曲線は式(6)(7)と同様(4)(9)(10)より，
a1を信頼度係数，A0を比例定数として(11)(12)になる．
( )
1 max 1
ln ln
0.9
mq m
KS xn
R∝ −γ (11)
( )
1 1 1
1
max 1 0 ; 1 ln
ln0.9
q mq m
n q R
S x −γ =a A K− a = (12) いま，破損確率 n＝10％，信頼度R＝0.9，信頼度係数 a1＝1および定格寿命x10–γ＝1cycleのとき，定格応力CS
＝Smaxとおくと，式(13)を得る．ゆえに，確率乗法則の数
＝寸法効果は定格応力に包含される．
CS =A K0 −1/mq, A C K0= S 1/mq (13)
式(12) (13)より，材料の統計的強さのばらつきを表わす
P-S-N曲線(14)が求められ，最小寿命γは100％定格寿命，
C'Sは材料に依存する100％定格応力である．
( )
1 1 10
max
;
q
n CS n
x a x a x
γ S γ γ
− = − = −
(14)
0 10
max max
;
q' q
S S
C' C
x x
S S
γ γ
= = − =
(15) 2.3.2 P-S-N曲線の概念と回帰式 図3aは寿命データ から応力振幅Smaxに対するγとx10が両対数紙上にプロッ トされたとする．γ寿命の線形回帰式(16)よりγ＝N0＝1 cycleのとき，切片C'S＝Smaxと勾配tan θ'＝‒q'を得る．線 形回帰式(17)(18)よりx10 –γ＝N10 ‒γ＝1とNn ‒γ＝1cycleのと
き，切片CS＝Smax＝Smax10とCSn＝Smaxnおよび勾配tanθ＝‒ q，
q>q'を得る（N50とN90は省略した）．
xn＝Nn寿命の回帰を式(19)に示す．与式のS-N関係は非 線形であり，R＝1のときn = 0 %，信頼度係数a1＝0にな るから，式(19)は(16)になる．図3aと式(16)～(18)より，γ とx10 –γ寿命等が線形回帰できるので，疲れ限度を示さな い通常の材料であるということができる．
lnγ= −q' Sln max+q' C'ln S (16)
10 max
ln(x −γ)= −q Sln +q Cln S (17)
max 11/
ln (xn− = −γ) q Sln +q C q aln S+ ln q (18)
1 max
lnxn=ln{a C S( S/ )q+γ} (19)
式(17)と(18)の寿命が等しいときの時間強度Smaxnに対す るa11/qを求めると，式(20)が成立する．これより，mとq は互いに独立な定数であることが判る．
1 1 1 max
max10
ln ln 0.9
q R mq S n
a S
= = (20) 2.3.3 疲れ限度を示すP-S-N曲線と回帰式 図3bは 材料が疲れ限度Sfを示すP-S-N曲線の回帰図を示す．ワ イブル確率紙（WPP）上のγ寿命の線形回帰法から著者ら の一人が考案したモデルである[18,19]．
式(14)(15)でSmax →Smax–Sfとおく．γ寿命にSfが現れな い場合はSf＝0とする3a．γ寿命にSfが現れた場合，新た に，P-S-N曲線はすべてSf への漸近線になるとした3b．
式(15)からSmax –Sf回帰直線(15)aを得る．γ＝1やx10 – γ
＝1cycle軸切片がSmax –Sf＝C'SやSmax –Sf＝CSであり，勾配 がtan θ¹'＝‒q'やtanθ＝‒qを表す．通常，q >q'である．
0 max
;
q' S
f
x C'
S S
γ= = − 10 max q S
f
x C
S S
γ
− = − (15)a 破損確率n％のP-S-N曲線は，式(19)aになる．
'
1 max max
' , 0
q q
S S
n f f
C C
x a n
S S S S
= − + − > (19)a 疲れ限度Sfの存在は作用応力SmaxをSfだけ低減する効 果があるので，CSとqやC′Sとq′の各相互依存性にも応
a：疲れ限度を示さないSf ＝0, 破損≥ γ, 回帰式(16)～(19)． b：疲れ限度を示すSf > 0, 破損≥ γ, 回帰式はSfへの漸近線．
図3 GWD関数によるP-S-N曲線の概念．
力寿命指数が半減する等，様々な影響を及ぼす．このモデ ルはCFRP板の両振り純曲げP-S-N試験データに唯一適合 したが，γ寿命はロット数不足でほぼ線形であった[19]．
2.4 定格強さと最小強さおよび寸法効果
式(13)の基準試料に添字Iを付与し，材料定数A0を得る．
式(13)にA0を再度適用し，定格応力CS (21)を得る．
1 1
0 SI Imq; S mq SI
I
A C K C K C
K
−
= =
(21) 転がり軸受の寸法効果も，上式と同様に定格荷重 Cの 中に含まれる．式(14)へ(21)のCSを代入すると，寸法効果 で表現したP-S-N曲線，(22)aになる．
1
1 max
m SI q
n I
K C
x a
K S
γ
−
− =
(22)a 試料に対する上式の極限K/KI >> 1およびK/KI << 1をと ると，それぞれ式(22)b,cを得る．
0; 0 , / 1
n I
x = +γ x =γ K K >> (22)b
; 0 , / 1
n I
x = + ∞γ x =γ K K << (22)c
γ > 0であるので，両極限値でも破損現象は起こり，モデ
ルに関する物理的な矛盾は生じない．しかし，γ＝0 の 2 母数ワイブル分布は，寸法効果だけでxn＝0やxn＝∞とな り，現実の材料強度と異なるので，物理的に矛盾する．
寸法効果を式(4)(21)(22)a から求め，次の式(23)で表す．
末項は静定格応力CS0＝x50－γSを示す（付録3参照）．
( )
1
10 0
10 0
m q
S S
I I I SI S I
K x C C
K x C C
η γ
η γ
−
= = − = =
−
(23)
任意寸法と基準寸法の試料に関する x10－γ と (x10－γ)I
が等しい場合の応力比，すなわち時間強度Smax /SmaxIは寸 法効果を表現する式(24)になる．これより，寸法効果に関 する構造疲れの従来データ[20]は，指数分布m＝1で整理 されてきたことがわかる．
1/
max max mq
S
I SI I
K C S
K C S
−
= =
(24)
3 ワイブル寿命と寸法効果
3.1 試料の形状と寸法効果図4aは砂時計形試料（HGSS），4bはトーションバー 形試料（TBSS）に対してねじりや回転曲げに関する応力 Smax＝±τmaxやSmax＝±σmaxが分布した様子を示す．Kは破損 に対して危険な等応力の分布寸法に比例する定数で，応 Life xn = Nn cycles
N10−γ
Sf γ
Smax−Sf Sf
γ
X=ln Smax
Sf 0.1
1.0
N10
q>q'
Sf>0 N10
(a)
(b)
106 108
Y=ln Nn
SmaxGPa
γ
−2 0
tanθ'=−q'
γ N90−γ
0.1 1.0
SmaxGPa
−2 0
tanθ=−q tanθ'=−q'
Sf=0
104
N50−γ N10−γ Smax10
Smax50 Smax90
1010 X=ln Smax 50%
a11/q a11/q
10% 90%
Sf
tanθ=−q
50%90%
10%
No failure
failureNo
failure No γ Sf
γ γ No γ
failure
Sf
力体積である必要はない．HGSSではKI ∝ ∫dDe＝πDeI の等 応力線となる．TBSSではKI ∝∫dAe＝πDeILweI 有効幅LweI
の等応力面積となり，両振り軸荷重をうけると等応力体 積ISVS(Iso-stressVolumeSpecimen)ではKI ∝∫dVe＝πDeI 2
LweIとなる．したがって，寸法効果は式(25)a-cになる[7]． HGSS:
1 1
m
m e
I eI
K D
K D
−
−
=
(25)a
TBSS:
1 1
m
m e we
I eI weI
K D L
K D L
−
−
=
(25)b
ISVS:
1
1 2
2 m
m e we
I eI weI
K D L
K D L
− −
=
(25)c
TBSSは円筒Deと2箇所のr ≥ 3Deの接合部に対する応 力集中の ±τmaxα線（mH＝3/2）と円筒表面 DeLweの ±τmax
面（mT＝1.8225）の競合モデルになる．常に±τmax面で破 損するような試料の設計・製作およびデータ収集がなさ れなければならない．
両振りねじりの等応力線や等応力面積に対して破損は 図4のグリップ部に示した表面の最大せん断応力振幅起 点のせん断クラックになり，その後45º方向の±σmaxの作 用により破断に至る．材料の静定格強さがCS0(τmax)<(1/2
～4/5)×CS0(σmax)に起因する．
De
Lwe
De
(a) HGSS (Hourglass Shape Specimen)
Lc > +De/2
x y
x r>3De
r>3De Dg
τmax/σmax
τmax=σmax
−τmax +τmax
+σmax
−σmax
1.01τmax>τmaxα τmaxα
Tq /M τmax=σmax
Dg
Dg=(2.5~3.5)De y
Tq /M Smax=τmax/σmax
Dg=(2.5~3.5)De
Iso-stress area KI DeLwe
(b) TBSS (Torsion Bar Shape Specimen) Iso-stress line KI De
Lwe
Lwe：有効等応力長さ，Tq：トルク，M：純曲げモーメント τmax = ±16Tq /(πDeI 3); σmax = ±32M/(πDeI 3)
図4 試料の破損に対する危険な等応力の分布．
3.2 標準化形状指数m
形状指数に対してm≤1はモードと最小寿命がxm＝γ＝0 の実体寸法のない機械系や電気・電子系の分布になる．
実体寸法がないので寸法効果はない．実体寸法のある 様々な機械部品や材料試験片の動的・静的強さの分布は 式(22)に示したγ > 0の条件に従う．
このようなmは標準化した固定値の形状指数であり，
材料には依存しない．破損に対して危険な等応力の分布 形態に依存する[7,8,19]．形状指数は1< m ≤ 3.26の範囲に なる．m＝3.26はモードとメジアンが等しいGWD関数に よる正規分布の近似である．正規分布にも寸法効果を付 与できるので，より高精度な安全率が設定可能となる．
表1は標準化形状指数値を示した．* 印の4アイテム は予測値であり，今後の実証課題である．図 5 は，この ような標準化形状指数 m＝10/9～2.46*の寿命と m＝3.26 の静的強さに対する式(23)の寸法効果(K / KI) −1/mと等応力 寸法比K / KIの関係を示した．一例として，点接触軸受の 軌道直径が 10倍と1/10 倍のとき，寸法効果はつぎの式 (23)a, (24)a,bのように表される．
アイテム 形状指数 m
PCB (点接触軸受) 10/9
ISPS (等応力点試料) (1.225 ~ 5/4)*
LCB (線接触軸受) 1.2346*~27/20
HGSS (砂時計形試料) 3/2
TBSS (ねじり棒形試料) (1.8225 ~ 1.837)*
ISVS(等応力体積形試料） (2.25 ~ 2.46)*
SSM (材料の静的強さ＝正規分布) 3.26 表１標準化形状指数 m． * 印＝実証が必要．
動的破損：1<m≤3.26, 静的破損：m＝3.26 図5 寸法効果と寸法比の関係．
1 5 10
0.5 0.1
寸法比，K/KI
0.1 1 5
0.5
m=10/9 m=27/20 10 m=1
0.1 10
1 2
0.2
m=2.46 m=1.8225 m=3/2
1/2 2 5
1/8 8
m=3.26 m=1
m=3.26
1/5 寸法効果，(K /KI) -1/m
尺度係数∝定格寿命：m =10/9
1 9
10 1
10 10
m 8
− −
= ≈ および
9
1010≈8 (23)a 寸法効果には式(24)およびP-F-L曲線とP-S-N曲線間に は(C/F) p ∝ (CS /Smax) q, p＝q/3の関係があるので，寸法効果 はそれぞれ(24)aと(24)bになる．
定格応力＝時間強度：q＝31/3 (JIS SUJ2/AISI 52100)
1 9 3
10 31
10−mq=10− × =0.82および
9 3 10 31
10 × =1.22 (24)a 定格荷重＝時間強度：p＝q/3
1 9 9
10 31
10−mp=10− × =0.55および
10 319 9
10 × =1.83 (24)b 以上のように寸法効果は看過できないことがわかる．
3.3 形状指数 m と確率密度関数 f(x) 式(4)の自然対数を真数に戻すと(26)を得る．
exp x m
R γ
η
−
= −
(26)
確率密度関数f(x)＝dF/dx＝−dR/dxを求める．故障率はλx
＝f(x)/Rであるから，式(27)が成立する．
( ) 1
( ) ;
m
x x m
f x λR λ m x γ η
− −
= = (27)
モード（最頻値）xmはdf(x)/dx＝0より
xm= −
(
1 1/m)
1/mη γ+ (28) 図6は形状指数m ≤ 1，γ＝0と10/9 ≤ m ≤ 3.26，γ＝0.5 およびm＝6.5，γ＝0に対するf(x)の形状をη＝5に対して 例示した．式(27)を用い，x＝0からx＝10の間に対して故 障率λxと信頼度Rおよびf(x), xmを同時に表計算した．m ≤ 1は指数分布や故障率減少型の分布になる．モード はxm＝0であるが，γ> 0のときxm＝γとなり，f(x)に不連 続や尖りが現れる．機械アイテムでは不自然であり，成 立しないと考えられる．
転がり軸受の寿命分布に対して，m＝10/9は点接触軸受 [3,4,5,6,19,26,28]，m＝27/20は線接触軸受に適用できた[23]． 破線で示したm＝3/2，γ > 0はHGSSの両振りねじり[19,21]
や回転曲げ[22]やCFRP板の両振り純曲げ[19]の疲労試験 で現れる．γを無視すると，図6破線のγ=0, m＝1.8225や
m＝6.5や図9のγ=0, m＝6.9：静的強さは，付図2のm＝ 28.4に推定される．ゆえに，γやγSは無視できない．なお，
固定値mに関するf(x)の変化は，尺度係数ηが担う．
3.4 実験データに対するγとγSおよびηの推定法 表1に示した標準化指数mを用い，式(29)aのηより，
動的強さの最小寿命γと静的最小強さγ＝γSの推定式を求 めると，式(29)b,cを得る．実験データから動的：n＝10％，
R＝0.9の点(x10 , 0.9)と静的：n＝50％，R＝0.5の点(x50 , 0.5) を適宜選択し，式(29)b/cに代入，γ / γSを推定する．ηはγ やγSの従属変数として，式(29)aから推定される．
表2は式(29)a-cの各種形状指数mに対するa1関連の係 数を計算した結果を示す．GWD W(m, γ, η)のxn 強さは式 (4)より(30)となる．ここで，{ }内の上＝動的強さと下＝
静的強さの分布曲線を表す．
( ) ( )
1 1
63 10 ln 1 50 ln 1
0.9 0.5
m m
x x x
η= − =γ −γ − = −γ − (29)a
1
10 1,0.5 50
1,0.5 1,0.5
ln 0.5
1 , ln 0.9
x a x m
a a
γ= −− × = − (29)b
1
10 1,0.9 50
1,0.9 1,0.9
ln0.9
1 , ln0.5
m
S x a x
a a
γ = −− × = + (29)c
1/ 10
1 50
ln1
m
n S S S
x a x
x R
γ
γ γ
η γ γ γ
−
= + ≡ − + (30)
00
Random variable x 10
f (x)
0.5
0.2
m=1,γ=0 m=10/9
m=3.26 m=6.5
5 m=0.5,γ=0
m=27/20 m=3/2
m=2.46
m=1.8225, γ =0/0.5
γ =0.5
η= 5
1< m < 3.26
動的破損：1<m≤3.26，静的破損：m＝3.26.
図6 形状指数mと様々な確率密度関数f(x)．
m 10/9 5/4 27/20 3/2 1.8225 2.46 m 3.26
a1,0.5 0.1835 0.2216 0.2477 0.2848 0.3557 0.4650 a1,0.9 0.5611
1-a1,0.5 0.8165 0.7784 0.7523 0.7152 0.6443 0.5350 1-a1,0.9 0.4389
(ln 1/0.9)-1/m 7.5786 6.0514 5.2959 4.4828 3.4376 2.4962 (ln 1/0.5)-1/m 1.119 表2 材料の動的・静的強さのばらつきに関するGWD関数のγ, η およびγS の推定係数.
3.5 ワイブル確率紙の構成とワイブル解析 式(4)の両辺の自然対数をとると，(31)a,bを得る．
lnln1 m x mln ln
R= − η (31)a ln
Y mX m= − η；Y ln ln ,1 X lnx
= R = (31)b
図7にワイブル確率紙（WPP）の構成とGWD解析の 例を示す．式(31)は確率紙上で傾きm，切片x＝ηの直線 式を表す．以下，WPPの座標系を簡単に説明する．
座標原点(X＝0, Y＝0)は寿命軸のはるか左側x＝1 cycle， X＝ln (1)＝0に始まり，上の最初の目盛X＝14はX'＝33×14
＝462 mmであり, 33 mmピッチで14～18等を刻む．下の 寿命x＝Nn＝1McyclesはX'＝33X＝33×ln106＝455.912 mm になる．対数目盛は，1, 10, 100 Mcycles等を刻む．
右側のY＝lnln(1/R)＝0は，自然対数を2回元に戻すと ln (1/R)＝e0＝1, 1/R＝e, e＝2.718, R＝1/e＝0.368≒0.37：ゆえ に，破損確率はn＝(1− 0.368)×100≒63％となる．これをY
＝0とn≒63％を結ぶ破線で表す．Y＝0から上に+1, 下に
−1, … , −6までピッチ16 mm等の目盛線を刻む．n＝10％，
R＝0.9の目盛は Y＝lnln(1/0.9)＝−2.25，Y¹＝−2.25×16＝ 36.006 mmになる．破損確率n＝0.1, 1, 10, 50, 90, 99, 99.9%
の目盛線等を R＝1−n/100 に対応して刻む．以上でWPP の完成である．WPPは，n＝50％までのワイブルプロット を拡張的に表現できるが，n > 50％の領域は縮小的にしか 表現されない．NSが大ほどよいのが特色である．
図7に試料数NS＝9，せん断応力振幅τmax＝0.5 GPa，直 径De＝8 mmのHGSS（砂時計形試料）に対する両振りね じり寿命試験データW(3/2, 1.94, 23.3) Mcyclesを示す．
破損確率n％，信頼度Rのデータプロットは，破損順位 i＝1, 2, …… , NS＝9に対して，Bernardのメジアンランク 式(32)で付与され，寿命分布は式(30)を用い，次の(30)aで 与えられるものとする．
0.3 100 %, 1
0.4 100
S
i n
n R
N
≈ − × = −
+ (32)
1/1.5
23.3 ln1 1.94 Mcycles x Nn
R
= = + (30)a
ワイブル解析を以下に示す．i＝1に対してn＝0.7×100/ 9.4＝7.45％, R＝0.9255，寿命はN7.45＝6.14 Mcycles．i＝2 に対してn＝1.7×100/9.4＝18.09％，R＝0.8191，寿命はN18.09
＝9.86 Mcycles，……，i＝9に対してn＝8.7×100 / 9.4＝ 92.55％，R＝0.0745，寿命はN92.55＝45.94M cyclesと付与さ
れる．n＝10％の寿命N10＝e15.777＝7.11 Mcyclesとn＝50％
のメジアン寿命N50＝e16.816＝20.1Mcyclesおよびそのプロ ットは，図中に付与された通りである．
【演習1】HGSSはm＝3/2である．表2および式(29)b,a を用い，γとηを改めて計算せよ．
7.11 0.2848 20.1 1.94 Mcycles 0.7152
γ= − × = (29)b
(7.11 1.94 4.4828 23.3 Mcycles)
η= − × = (29)a
【演習2】式(31)を用いY＝lnln (1/R)とX＝ln xn＝ln Nn，n
＝0.1, 0.5, 1, 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 95, 99, 99.9％，
R＝1− (n/100)に対して式(30)bからNn 曲線を計算せよ．
2/3
1( 10 ) ln 5.2 1.94
ln 0.9
n R
N =a N −γ + =γ × +
(30)b
【演習3】τmax＝0.5 GPaのロットに関する理論寿命分布曲 線を描け．x＝Nn曲線はx＝Nn – γ直線への漸近線である．
【演習4】式(15)を用い，定格応力C'SとCSを推定せよ．
ただし，応力寿命指数はq'＝9，q＝31/3とする．
【演習5】9個のワイブルプロットが曲線x＝Nn 上を通過 することを確かめよ．
【演習6】N10 –γとN50 –γおよびN10とN50プロットをそれ ぞれ直線で結び，形状指数 m＝Y/X＝1.5 とワイブル勾配 m2＝tanθ＝1.81を確かめよ．回帰直線2PWもよく適合し ているが，物理的意義がないことにご注意いただきたい．
なお，本データはNS＝9で構成されているが，データが 2PWかGWDかを判別するためにはn<2%，すなわちNS
>35の試料数を要する．
Y=lnln 1/ R
0
0.1 1 10 50 9099
Probability of failure n %
100 10
1
18 16
14
m = Y/X= 3/2
γ=1.94
x=Nn:GWD x=Nn −γ
m2=1.81: 2PW 63
Life x = Nn Mcycles 15
x=Nn
−6
−3 NS = 9
η=N63−γ=23.3 N10=7.11
N50=20.1
1
1
+1
Shape index
Weibull slope 99.9
θ
−2.25
−1 17
γ γ =1.94
(15.777) (16.816)
33
36.00616
HGSS, De =8mm, ±τmax =0.5GPa, m=3/2． 図7 WPPの構成とGWD解析の例．