レプトン数生成

4.1 Majoranaニュートリノとレプトン数の破れ

標準理論のニュートリノ = ν_iL massless ←SU(2)-doublet l_iL =

(ν_iL e_iL

)

∈ (

2,−¹₂)

(i = e, µ, τ: flavor) ニュートリノ振動実験 ⇒ ^{質量の存在} 1.9 × 10⁻³eV² < ∆m²_atm < 3.0 × 10⁻³eV²

⇓

標準理論にニュートリノの質量項を加える

→ ^{ゲージ不変な}Yukawa相互作用項を組むために、singlet N_R^{を導入する}: L^Y = −y_ijΦ^†e¯_jRl_iL − h_ijΦ˜^†N¯_jRl_iL + h.c. (i, j = 1 − N_f) Higgs doublet: Φ =

(ϕ⁺ ϕ⁰

)

∈ (

2,+1 2

)

, Φ˜ = iτ₂Φ^∗ =

(ϕ^0∗ ϕ⁻

)

∈ (

2,−1 2

)

y, h^は任意のN_f × N_f^複素行列 L^Y⟨^ϕ0⟩^=v0

−→ − y_ijv₀e¯_jRe_iL − h_ijv₀N¯_jRν_iL + h.c.

e_L^とe_R, ν_L^とN_R^のbi-unitary transformation^でy^とh^を対角化: L^Y ∼ −m^(e)_i (¯e_iRe_iL + ¯e_iLe_iR) − m^(ν_i ⁾ (N¯_iRν_iL + ¯ν_iLN_iR)

= −m^(e)_i e¯_ie¯_i − m^(ν_i ⁾ν¯_iν_i ４成分フェルミオン: e_i =

[e_iL e_iR

]

, ν_i =

[ ν_iL N_iR

]

chiral repr. γ₅ =

(−1 0 0 1

)

→ Dirac mass term — L^とR^{のフェルミオンの積}, Lepton Number^{は保存される} 不自然なくらい m^(e)≫m^(ν) [∑

i m^(ν_i ⁾ < 1.0eV: WMAP+SDSS]

N_R^はsinglet^なので、ゲージ不変性と矛盾せずにN_R^のMajorana mass term^{を導入できる} L^Y = −y_ijΦ^†e¯_jRl_iL − h_ijΦ˜^†N¯_jRl_iL − 1

2M_ij^∗N¯_iR^c N_jR + h.c.

[N.B. N_R^cはLeft-handed]

|m_D| ≡ |hv₀| ≪ |M| =⇒ ν_L^とN_R^cの混合である質量固有状態の質量は O

(m²_D M

)

Seesaw mechanism

—ŲHSřJHQHVLϳ — 3/28

Seesawを具体的に見るために、以下では 2-spinor notation

SUSY^{のテキスト参照}: Wess & Bagger, Supersymmetry and Supergravity Sohnius, Phys. Rep. 128 (’85)

Lorentz群[SL(2;C) →^２つのSU(2)^{]の既約表現} (s_L, s_R) ψ_α ∈ (₁

2,0)

χ^α˙ ∈ (

0, ¹₂)

(ψ_α)^∗ = ¯ψ_α˙ :^{共役 添字の上下は} ε^αβ ψ^αϕ_α, ψ¯_α˙ϕ¯^α˙: Lorentz scalar (0,0) ψσ^µχ,¯ χ¯σ¯^µψ: vector (¹₂, ¹₂)

Dirac spinor: ψ =

[ϕ_α

¯ χ^α˙

]

, ψ¯ = [

χ^α ϕ¯_α˙]

charge conj.: ψ^C =

[χ_α ϕ¯^α˙

]

Majorana spinor: ψ =

[ϕ_α ϕ¯^α˙

]

, ψ¯ = [

ϕ^α ϕ¯_α˙]

(ψ^C = ψ)

mass term

{ Dirac ψψ¯ = ϕχ + ¯χϕ¯ = ϕχ + h.c. ϕ^とχ^{のチャージは逆} Majorana ψψ¯ = ϕϕ + ¯ϕϕ¯ = ϕϕ + h.c. ϕ^{のチャージは0}

全ての場を L-handed (¹₂,0)^{を基本として表す。} e^−なら, e_L, e^c_R^で e =

[e_L

¯ e^c_R

]

L-handed spinors: l_L =

(ν_L e_L

)

, ν_L, N_R^{c を用いて、}

L^Y = y_ijϵ^abl_aiLe^c_iRΦ˜_b − h_ijϵ^abl_aiLN_jR^c Φ_b − 1

2M_ijN_iR^c N_jR^c + h.c.

h ̸= 0 ^且つ M ̸= 0 =⇒ Lepton number violation

Higgs VEV^{を入れると}

L^Y ∼ −y_ijv₀

√2 e_iLe^c_jR − h_ijv₀

√2 ν_iLN_iR^c − 1

2M_ijN_iR^c N_jR^c + h.c.

= −e^T_Lm_ee^c_R − ν_L^Tm_νN_R^c − 1

2N_R^{c T}MN_R^c + h.c.

= −e^T_Lm_ee^c_R − 1 2

(ν_L^T N_R^{c T}) ( 0 m_ν m^T_ν M

) ( ν_L N_R^c

)

+ h.c.

(1) m_e^とm_νをbi-unitary変換で対角化

U_L^(e)m_eU_R^(e) = diag(m_e, m_µ, m_τ), S_Lm_νS_R = Λ_D= diagonal

ここで e^c_R = U_R^(e)e^′_R^c, e_L = U_L^(e)Te^′_L, N_R^c = S_RN_R^′c, ν_L = S_L^Tν_L^′

—ŲHSřJHQHVLϳ — 5/28

M˜ = S_R^TMS_Rと置くと、mass termは L^m = −m_{e i}e^′_iLe^′_iR^c − 1

2

(ν_L^′T N_R^′cT) ( 0 Λ_D Λ_D M˜

) ( ν_L^′ N_R^′c

)

+ h.c.

(2) ν mass matrix^{をブロック対角化} V =

( 1 Λ_DM˜ ⁻¹

−M˜ ⁻¹Λ_D 1

)

と 定義すると、V ^†V = 1 + O(Λ²_DM˜ ⁻²)^{で近似的に}unitary

−→ V ^T

( 0 Λ_D Λ_D M˜

)

V ≃

(−Λ_DM˜ ⁻¹Λ_D 0

0 M˜

)

(3) ブロック対角部分を対角化: −T_L^T(Λ_DM˜ ⁻¹Λ_D)T_L = Λ_l, T_R^TM˜ T_R = Λ_h �����

L^ν−m = −1 2

(ν_L^′T N_R^′cT) V ^∗

(T_L^∗ 0 0 T_R^∗

) (Λ_l 0 0 Λ_h

) (T_L^† 0 0 T_R^†

) V ^†

( ν_L^′ N_R^′c

)

+ h.c.

= 1

2 η_l^TΛ_lη_l + 1

2 η_h^TΛ_hη_h + h.c. ←− Majorana mass term

mass eigenstates :

{ η_l = T_L^† [

ν_L^′ − Λ_D( ˜M⁻¹)^†N_R^′c]

light (^主成分はν_L^′ ) η_h = T_R^† [

N_R^′c + ( ˜M⁻¹)^†Λ_Dν_L^′ ]

heavy (^主成分はN_R^′c )

gauge^相互作用

L^CC ∼ g₂ 2√

2 [¯e_Lσ¯^µν_L + ν_Lσ^µe¯_L]W_µ⁻ + h.c.

≃ g₂ 2√

2 [

¯

e_Lσ¯^µ(U_L^(e)∗S_L^TT_L)η_l + η_lLσ^µ(T_L^TS_LU_L^(e)†)e¯^′_L ]

W_µ⁻ + h.c.

−→ (U_{M N S})_{f i} = (

U_L^(e)∗S_L^TT_L )

f i f =lepton flavor, i =mass eigenstate 3 CP phases

実験・観測 =⇒

{ Λ_D^{の成分の自乗差} U_{M N S}^の成分

—ŲHSřJHQHVLϳ — 7/28

4.2 CP対称性の破れ — Leptogensisに関係のあるCP対称性の破れ heavy neutrinoの分布が平衡分布でなくなり、崩壊がメインになるとき

−→ T ≃ M ≫ 100GeV^{の初期宇宙} = ^{EWの対称相}

−→









gauge boson, lepton^はmassless

Higgs boson (ϕ⁰, ϕ⁻) ^は全てphysical^で同じmass neutrino Dirac mass = 0

−→ neutrino mass term^は −1

2M_ijN¯_iN_j ^の Majorana mass ^だけ

→ 対角化するのはこれだけ — low energy^と違う

interaction of N :

l^j

N i

φ

φ¯

¯ l^j

Ni

h h

=⇒ Lepton Number Violation, CP phases in the complex Yukawa coupling h

CP対称性の破れの効果 −→ heavy neutrino N ^の decay asymmetry

SU(2) symmetry

{ Γ(N_i → e⁻_j ϕ⁺) = Γ(N_i → ν_jϕ⁰) ≡ Γ(N_i → l_jϕ)

Γ(N_i → e⁺_j ϕ⁻) = Γ(N_i → ν¯_jϕ^0∗) ≡ Γ(N_i → ¯l_jϕ)¯

partial decay asym. ε_i→j ≡ Γ(N_i → l_jϕ) − Γ(N_i → l¯_jϕ)¯ Γ(N_i → l_jϕ) + Γ(N_i → l¯_jϕ)¯

total decay asym. ε_i ≡

∑

j Γ(N_i → l_jϕ) − ∑

j Γ(N_i → ¯l_jϕ)¯

∑

j Γ(N_i → l_jϕ) + ∑

j Γ(N_i → ¯l_jϕ)¯

−→ Leptogenesis 注意！

heavy N ^のdecay asymmetry^に現れるCP violation ←− h_ij (M_i∈ R) ν-osc.(low energy)^に現れるCP violation ∈U_{M N S} ← y_ij, h_ij, M_ij

２つのCP violationは、間接的にしか関係しない ← seesaw^のモデル

—ŲHSřJHQHVLϳ — 9/28

4.3 生成されるLepton数の計算

非平衡状態

温度T^が、heavy N ^の質量(M^{)程度から、崩壊率 (}Γ ∼ h²M⁾ ≃ H(T)^{となる範囲} 空間的に一様な現象 −→ ^{各粒子の分布函数} f_i(t,p)に対するBoltzmann方程式 ここで紹介する方法は、

◃ GUT-Baryogenesis

Kolb and Wolfram, Nucl. Phys. B172 ('80); Phys. Lett. B91 ('80) Harvey, Kolb, Reiss and Wolfram, Nucl. Phys. B201 ('82)

◃ LSP abundance (CDM^の残存量)

Lee and Weinberg, Phys. Rev. Lett. 39 ('77) heavy neutrino

Ellis, Hagelin, Nanopoulos, Olive and Srednicki, Nucl. Phys. B238 ('84) Edsj¨o and Gondolo, Phys. Rev. D56 ('97)

Gondolo, Edsj¨o, Ullio, Bergst¨orm, Schelke and Baltz, JCAP 0407 ('04) [hep-ph/0406204]

Dark SUSY^: http://www.physto.se/ edsjo/darksusy/

と基本的には同じ。

膨張する宇宙空間でのBoltzmann方程式 [in comoving frame]

dn_ψ(t)

dt + 3H(t)n_ψ(t) = − ∑

i,j,···

[γ(ψ → i + j + · · ·) − γ(i + j + · · · → ψ)]

− ∑

a,i,j,···

[γ(ψ + a → i + j + · · ·) − γ(i + j + · · · → ψ + a)]

ここで反応率γ^{は次で与えられる:}

γ(ψ + a + b + · · · → i + j + · · ·)

=

∫

dp˜_ψ dp˜_a · · ·dp˜_j (2π)⁴δ⁴(p_ψ + p_a + · · · − p_i − p_j − · · ·)

× |M(ψ + a + b + · · · → i + j + · · ·)|²f_ψf_af_b· · · (1 ± f_i)(1 ± f_j)· · ·

dp˜ ≡ d³p

(2π)³2E_p, f_ψ(p, t) =^粒子ψ^{の分布函数,} ± =

{ boson fermion

—ŲHSřJHQHVLϳ — 11/28

粒子数密度: n_ψ(t) =

∫ d³p

(2π)³ f_ψ(p, t)

平衡状態では、Boltzmann eq.の右辺= 0

平衡分布函数については、energy保存則を用いると 1 ± 1

e^βE ∓ 1 = e^βE e^βE ∓ 1 f_ψ^eq(1 ± f_i^eq)(1 ± f_j^eq)· · · = 1

e^βEψ ∓ 1

e^βEi e^βEi ∓ 1

e^βEj

e^βEj ∓ 1 · · ·

= e^βEψ e^βEψ ∓ 1

1 e^βEi ∓ 1

1

e^βEj ∓ 1 · · · = f_i^eqf_j^eq · · ·(1 ± f_ψ^eq) これから

γ(ψ → i + j + · · ·) − γ(i + j + · · · → ψ)

=

∫

dp˜_ψ dp˜_i · · ·(2π)⁴δ⁴(p_ψ − p_i − p_j − · · ·)f_ψ^eq(1 ± f_i^eq)(1 ± f_j^eq)· · ·

× [

|M(ψ → i + j + · · ·)|² − |M(i + j + · · · → ψ)|²]

unitarity: [Kolb and Wolfram, Appendix of Nucl. Phys. B172]

∑

i,j,···

|M(ψ → i + j + · · ·)|² (1 ± f_i^eq)(1 ± f_j^eq) · · ·

= ∑

i,j,···

|M(i + j + · · · → ψ)|²(1 ± f_i^eq)(1 ± f_j^eq)· · ·

... ∑

i,j,···

[γ(ψ → i + j + · · ·) − γ(i + j + · · · → ψ)] = 0

—ŲHSřJHQHVLϳ — 13/28

CP-symmetry ⇒ n_ψ − nψ¯ は発展しない f_ψ(t) = fψ¯(t), M(α → β) = M( ¯α → β)¯

n_ψ − nψ¯に対するBoltzmann eq.の右辺:

γ(ψ → i + j + · · ·) − γ(i + j + · · · → ψ) − [

γ(ψ¯ → ¯i + ¯j + · · ·) − γ(¯i + ¯j + · · · → ψ)¯ ]

=

∫

dp˜_ψ · · · (2π)⁴δ⁴(p_ψ − p_i − p_j − · · ·)

×{ [

|M(ψ → i + j + · · ·)|² − ¯¯M( ¯ψ → ¯i + ¯j + · · ·)¯¯²]

f_ψ(1 ± f_i)(1 ± f_j)· · ·

− [

|M(i + j + · · · → ψ)|² − ¯¯M(¯i + ¯j + · · · → ψ¯)¯¯²]

f_if_j · · · (1 ± f_ψ) }

= 0

Boltzmann eq.の解法

分布函数 f(t,p)^{に対する方程式} → ^{粒子数密度} n(t)^{に対する方程式} f(p, t) = n(t)

n^eq f^eq(p) [#(elastic scatt.) ≫ #(inelastic scatt)]

Boltzmann eq.

˙

n_ψ(t) + 3H(t)n(t)

= − ∑

i,j,···

[ n_ψ

n^eq_ψ γ^eq(ψ → i + j + · · ·) − n_in_j · · ·

n^eq_i n^eq_j · · · γ^eq(i + j + · · · → ψ) ]

− ∑

a,i,···

[

n_ψn_a n^eq_ψn^eqa

γ^eq(ψ + a → i + j + · · ·) − n_in_j · · ·

n^eq_i n^eq_j · · · γ^eq(i + j + · · · → ψ + a) ]

γ^eq(· · ·) = ^平衡分布f^eq(p)^{で計算した}γ(· · ·)

—ŲHSřJHQHVLϳ — 15/28

変数変換 (変数の無次元化)

左辺の膨張の効果を、n_ψ(t)^をsで割ることで吸収する。

entropy density: s = 2π²

45 g_∗T³ g_∗ = ∑

B

g_B + 7 8

∑

F

g_F

Hubble parameter in flat RD universe: H(t) ≃

(8πG 3 ρ_r

)1/2

=

(8πG 3

π²

30 g_∗T⁴

)1/2

→ a(t) ∝ t^1/2 ∼ T⁻¹, H(t) = a(t)˙

a(t) = 1 2t このとき、s˙ = 3

T sdT

dt = 3sdlog T

dt = −3s 1

2t = −3sH(t) ^により Y_ψ ≡ n_ψ

s ^{と定義すると、}n˙_ψ = sY˙_ψ + sY˙ _ψ = sY˙_ψ − 3sH(t)Y_ψ = sY˙_ψ − 3H(t)n_ψ

→ Boltzmann eq.���: n˙_ψ(t) + 3H(t)n_ψ(t) = sY˙_ψ(t)

t → z = M

T :^{無次元パラメータ} M =heavy ν�mass t^の増加 ↔ z^の増加 d

dt = −M T²

dT dt

d

dz = −zdlog T dt

d

dz = H(t)z d dz =

(4π³ 45 g_∗

)1/2

T²

m_Pl z d dz

=

(4π³ 45 g_∗

)1/2

M² m_Pl

1 z

d dz これにより

sdY_ψ

dt =

(4π³ 45 g_∗

)^1/2

2π²

45 g_∗T³ M² m_Pl

1 z

dY_ψ dz =

(2π² 45 g_∗

)^3/2 √

2πM⁵ m_Pl

1 z⁴

dY_ψ dz

≡ C M⁴ 1 z⁴

dY_ψ dz

C = √ 2π

(2π² 45 g_∗

)3/2

M

m_Pl : ^{無次元定数}

—ŲHSřJHQHVLϳ — 17/28

Boltzmann eq.

CM⁴ z⁴

dY_ψ dz

= − ∑

i,j,···

[ Y_ψ

Y_ψ^eq γ^eq(ψ → i + j + · · ·) − Y_iY_j · · ·

Y_i^eqY_j^eq · · · γ^eq(i + j + · · · → ψ) ]

− ∑

a,i,···

[ Y_ψY_a Y_ψ^eqYa^eq

γ^eq(ψ + a → i + j + · · ·) − Y_iY_j · · ·

Y_i^eqY_j^eq · · · γ^eq(i + j + · · · → ψ + a) ]

実際には、(ψ, a, i, j) = N_i, l,¯l, ϕ,ϕ¯ などとして、連立のBoltzmann方程式を解く。

System of (N_i, l,¯l, ϕ,ϕ)¯

∆L = ±1 : N_i → lϕ, N_i → l¯ϕ¯, lϕ → N_i, l¯ϕ¯ → N_i

∆L = ±2 : lϕ → l¯ϕ¯, l¯ϕ¯ → lϕ 平衡状態での粒子数密度 (T ≫ m_ϕ⁾

n^eq_l = n^eq_l¯ = ζ(3) π²

(3

4 × 3_gen × 2_isospin )

T³, n^eq_ϕ = n^eq_ϕ¯ = ζ(3)

π² · 2 · T³ heavy-ν^は、decouplingの効果を見るので有限のmassで計算する

occupation no.が大きいので、f^eq(p) ≃ e^{−Ep/Tと近似して}

n^eq_N = 2

∫ d³p (2π)³ e⁻

√p²+M²/T

= 2 · T³ 2π²

∫ _∞

0

dx x² e⁻

√x²+z²

(z = M/T)

= 2 · T³

2π² z²K₂(z) (K_n(z) : modified Bessel function)

—ŲHSřJHQHVLϳ — 19/28

Boltzmann equations C = √ 2π

(2π² 45 g_∗

)3/2

M_i m_Pl CM_i⁴

z⁴

dY_Ni

dz = −Y_Ni Y_N^eq

i

[γ^eq(N_i → lϕ) + γ^eq(N → l¯ϕ)¯ ]

+ Y_lY_ϕ

Y_l^eqY_ϕ^eqγ^eq(lϕ → N_i) + Yl¯Yϕ¯

Y_l¯^eqY_ϕ¯^eqγ^eq(l¯ϕ¯ → N_i) CM_i⁴

z⁴

dY_l

dz = Y_Ni Y_N^eq

i

γ^eq(N_i → lϕ) − Y_lY_ϕ

Y_l^eqY_ϕ^eqγ^eq(lϕ → N_i) + Y¯lYϕ¯

Y_¯l^eqY_ϕ¯^eqγ^eq(¯lϕ¯ → lϕ) − Y_lY_ϕ

Y_l^eqY_ϕ^eqγ^eq(lϕ → ¯lϕ)¯ CM_i⁴

z⁴

dYl¯

dz = Y_Ni Y_N^eq

i

γ^eq(N_i → l¯ϕ)¯ − Yl¯Yϕ¯

Y_l¯^eqY_ϕ¯^eqγ^eq(¯lϕ¯ → N_i)

− Yl¯Yϕ¯

Y_l¯^eqY_ϕ¯^eqγ^eq(l¯ϕ¯ → lϕ) + Y_lY_ϕ

Y_l^eqY_ϕ^eqγ^eq(lϕ → ¯lϕ)¯ Y_ϕ, Yϕ¯ についても同様

γ^eqの計算 [f^eq ≃ e^−E/T, 1 ± f^eq ≃ 1]

γ^eq(N → lϕ) =

∫

dp˜₁ · · · f_N^eq(p₁)(2π)⁴δ⁴(p₁ − p₂ − p₃)|M(N → lϕ)|²

=

∫ d³p₁

(2π)³2E₁ e^−E1/T

∫ d³p₂ (2π)³2E₂

d³p₃

(2π)³2E₃(2π)⁴δ⁴(p₁ − p₂ − p₃)|M(N → lϕ)|²

=

∫ d³p₁

(2π)³2E₁ e^−E1/T 2M Γ_rs(N → lϕ) decay width in the rest frame of N ここでp₁^積分は

∫ d³p₁ (2π)³

M E₁ e⁻

√p²₁+M²/T

= M 2π²

∫ _∞

0

dp p²

√p² + M² e⁻

√p²+M²/T

= T³

2π² z²K₁(z)

CPT-inv. ⇒

γ^eq(N → lϕ) = γ^eq(¯lϕ¯ → N) = T³

2π² z²K₁(z)Γ_rs(N → lϕ) γ^eq(N → ¯lϕ) =¯ γ^eq(lϕ → N) = T³

2π² z²K₁(z)Γ_rs(N → l¯ϕ)¯

—ŲHSřJHQHVLϳ — 21/28

Γ_rs(N → lϕ) ^と Γ_rs(N → l¯ϕ)¯ ^の計算

L^Y = −h_ij (

N¯_i1 − γ₅

2 ν_jϕ⁰ − N¯_i1 − γ₅

2 e_jϕ⁺ )

− h^∗_ij (

¯

ν_j1 + γ₅

2 N_iϕ^0∗ − e¯_j1 + γ₅

2 N_iϕ⁻ )

iM(N_i → l_jϕ) = ^Ni

l_j

φ p₁

p₂

p₃

= ^Ni

l_j

φ

N_i

l_j

φ

N_i

l_j

φ N_k

l_m

N_i

l_j

φ

l_m N_k l_m N_k

+ + + + ...

≡ iM⁰ + iM^A + iM^B + iM^C + · · ·

tree level : iM⁰ = ih^∗_ij u¯^s_j^′(p₂)1 + γ₅

2 U_i^s(p₁) one-loop :

iM^A = h_imh^∗_kmh^∗_kj

∫ d⁴k

(2π)⁴ u¯^s_j^′(p₂)1 + γ₅ 2

M_k k² − M_k²

k/ − p/₃

(k − p₃)²U_i^s(p₁) 1 (k + p₂)²

= i(hh^†)_ikh^∗_kj C

(M_k² M_i²

)

¯

u^s_j^′(p₂)1 + γ₅

2 U_i^s(p₁) iM^B = h_imh^∗_kmh^∗_kj

∫ d⁴k

(2π)⁴ u¯^s_j^′(p₂)1 + γ₅ 2

M_k p²₁ − M_k²

k/

k²U_i^s(p₁) 1 (k + p₁)²

= i(hh^†)_ikh^∗_kj A(M_i²) M_iM_k

M_i² − M_k²u¯^s_j^′(p₂)1 + γ₅

2 U_i^s(p₁) iMC = −h^∗_imh_kmh^∗_kj

∫ d⁴k

(2π)⁴ u¯^s_j^′(p₂)1 + γ₅ 2

p/₁ p²₁ − M_k²

k/

k²U_i^s(p₁) 1

(k − p₁)²

= i(hh^†)_kih^∗_kj A(M_i²) M_i²

M_i² − M_k²u¯^s_j^′(p₂)1 + γ₅

2 U_i^s(p₁) ここでA(p²)^とC(ξ)^{は次で定義される}

—ŲHSřJHQHVLϳ — 23/28

A(p²) = 1 16π²

∫ ₁

0

dx x[

log(x − x²) + log(−p² − iϵ)] C(ξ) =

√ξ 16π²

∫ ₁

0

dx

∫ ₁₋x 0

dy 1 − x

(1 − x − y)ξ − xy − iϵ

total decay width — tree-level contribution

∑

j

[Γ(N_i → l_jϕ) + Γ(N_i → ¯l_jϕ)¯ ]

= 2

2M_i

∫ d³p₂ (2π)³2E₂

d³p₃

(2π)³2E₃ 2(hh^†)_ii(p₁ · p₂)(2π)⁴δ⁴(p₁ − p₂ − p₃)

= 1

8π(hh^†)_ii M_i

∑

j

[Γ(N_i → l_jϕ) − Γ(N_i → l¯_jϕ)¯ ]

= 1

4π

∑

k̸=i

M_iIm [(

(hh^†)_ki)²][

2M_iM_k

M_i² − M_k²ImA(M_i²) + ImC

(M_k² M_i²

)]

= M_i (8π)²

∑

k̸=i

Im[(

(hh^†)_ki)²]

[f(ξ_k) + g(ξ_k)]

ここで ξ_k² ≡ M_k²/M_i², f(ξ) = √ ξ

[

1 − (1 + ξ) log 1 + ξ ξ

]

, g(ξ) =

√ξ 1 − ξ N_iのdecay asymmetryは

ε_i = 1

8π(hh^†)_ii

∑

k̸=i

Im[(

(hh^†)_ki)2]

[f(ξ_k) + g(ξ_k)]

−→









Γ(N_i → lϕ) = 1 + ε_i

2 Γ = (hh^†)_ii

16π (1 + ε_i)M_i Γ(N_i → ¯lϕ) =¯ 1 − ε_i

2 Γ = (hh^†)_ii

16π (1 − ε_i)M_i

—ŲHSřJHQHVLϳ — 25/28

γ^eq(N_i → lϕ) = γ^eq(¯lϕ¯ → N_i) = (hh^†)_ii

32π³ T⁴ z³K₁(z)(1 + ε_i) γ^eq(N_i → ¯lϕ) =¯ γ^eq(lϕ → N_i) = (hh^†)_ii

32π³ T⁴ z³K₁(z)(1 − ε_i)

z = M_i T

∆L = ±2-scattering terms:

中間状態がon-shellのN_kの寄与を差し引く --- N_kのdecayとinverse decayで考慮済み

γ^eq(lϕ → l¯ϕ) =¯ ^Nk − l_i

φ φ⁻

l_j

−

N_k l_i

φ φ⁻

l_j

−

on-shell

= T⁴ 32π²

[(hh^†)_kk]2

16π

∫ _∞

0

dt t²K₁(t) ˜f(t²/z²)

γ^eq(¯lϕ¯ → lϕ) = T⁴ 32π²

[(h^∗h^T)_kk]2

16π

∫ _∞

0

dt t²K₁(t) ˜f(t²/z²)

数値解の例

toy model with 2 flavors M₁ = 10⁻⁶m_Pl, M₂/M₁ = 10, ε₁ = ε₂ = 10⁻⁸

initial conditions: Y_N = Y_N^eq, Y_l = Yl¯ = Y_l^eq, Y_ϕ = Yϕ¯ = Y_ϕ^eq at z = M₁/T = 0.01

1x10^-6 1x10^-5 1x10^-4 1x10^-3 1x10^-2

1x10^-14 1x10^-13 1x10^-12 1x10^-11 1x10^-10 1x10^-9 1x10^-8 1x10^-7

0.01 0.1 1 10 40

YL

YN₂

Y

eq N₂

z = M₁/T Y

eq N₁

YN₁

(hh^†)₁₁ = (hh^†)₂₂ = 10⁻³

1x10^-14 1x10^-13 1x10^-12 1x10^-11 1x10^-10 1x10^-9 1x10^-8 1x10^-7 1x10^-6 1x10^-5 1x10^-4 1x10^-3 1x10^-2

0.01 0.1 1 10 100 200

z =M₁/T YL

(hh^†)₁₁ = (hh^†)₂₂ = 10⁻⁶

Y

eq N₂

Y

eq N₁

YN₂

YN₁

—ŲHSřJHQHVLϳ — 27/28

Y_l, Y¯l, Y_ϕ, Yϕ¯ は殆ど平衡状態の値のまま

≃ constant

最終的に生成されるL^は

(hh^†)₁₁^と(hh^†)₂₂ ^{の大きい方で決まる。}−→

1x10^{-1 3} 1x10^{-1 2} 1x10^{-1 1} 1x10^{-1 0} 1x10^-9 1x10^-8 1x10^-7 1x10^-6 1x10^-5 1x10^-4 1x10^-3 1x10^-2

(hh^†)₁₁= (hh^†)₂₂ = 10⁻²

YL

YN₂

YN₁

←−

1x10^-11 1x10^-10 1x10^-9

1x10^-6 1x10^-5 1x10^-4 1x10^-3 1x10^-2 1x10^-1

(hh^†)₁₁

(hh^†)₂₂ = (hh^†)₁₁ (hh^†)₂₂ = 100(hh^†)₁₁

(hh^†)₂₂ = 10(hh^†)₁₁ (hh^†)₂₂= 10⁻²(hh^†)₁₁

(hh^†)₂₂ = 10⁻¹(hh^†)₁₁

Y_L

初期条件をY_N = 0^{としても、}

高温でN^{がまず生成される。}

その際にもL^を生成。

ドキュメント内 2/31 (ページ 69-97)