フィード バックゲインの構成

注意 4.4. 可到達集合の厳密な構成は困難であり,その上界の評価法が提案されている [20, 78]. 本章でも, 可到達集合そのものではなく,その上界を利用する.

問題 4.2. 問題 4.1 により与えられるフィード バックゲインの系列F = {F_i ∈ R^m2×n| i=

0,1, . . . , k}をもちいて, 初期状態の影響を速やかに減衰させるフィード バックゲインの切り

換えアルゴ リズムを示せ.

4.4. フィード バックゲインの構成 が成立しているとする. このときR_∞ⁱ ⊂E(1, P_i)が成立する. さらに一般性を失うことなく α_i = β_i とすることにより変数β_i は消去可能である. これに Schur complement を適用し, (4.6)がえられる.

なお (4.7) 式右辺第 1 項は, 制御性能の評価をおこなうために設けたものであり, 任意の

半正定行列 R をもちいて h

x^T w^T i

R h

x^T w^T i_T

で置き換えても同様の条件を与える.

Σⁱ_c が内部安定であることはw = 0 および一般性を失うことなく α_i = β_i とすると(4.7) より

x^T(A+B₂F_i)^TP_i(A+B₂F_i)x−x^TP_ix <

−((C₁+D₁₂F_i)x)^T((C₁+D₁₂F_i)x)−α_ix^TP_ix≤0 が成立することよりわかる.

注意 4.5. 文献 [78] では, (4.6) に対応する双線形行列不等式を繰り返し 解く, 可到達集合 の評価法が提案されている. しかしながら本章の問題では, 最終的に (4.6), (4.9) をみたす フィード バックゲイン F_i の設計を同時に実行しなければならない. このため [78] の方法を 直接適用することは困難である.

4.4.2 フィード バックゲインに対する条件

ここでは F_i−1, P_i−1, O_∞ⁱ⁻¹ の情報をもとにF_i, P_i, Oⁱ_∞ を構成する手順を示す. このとき Σⁱ_c が達成すべき条件はRⁱ_∞⊂Oⁱ⁻¹_∞ ⊂Oⁱ_∞である.

まず [74] の手順と同じく, つぎの最適化問題により ρⁱ⁻¹₊ を定義する.

ρⁱ⁻¹₊ = min{ρ∈ R|O_∞ⁱ⁻¹ ⊂E(ρ, P_i−1)} (4.8) これは凸多面体Oⁱ⁻¹_∞ = {x ∈ Rⁿ| M_i−1x ≤ 1} の楕円体 E(ρⁱ⁻¹₊ , P_i−1) による近似である (Fig. 4.3, 注意4.8 参照).

つぎに F_i, P_i に求められる条件を考える(Fig. 4.3 参照). まず Σⁱ_c は安定化されなければ ならない. Rⁱ_∞ ⊂O_∞ⁱ⁻¹ を達成するには, 補題4.3 より, E(1, P_i)⊂O_∞ⁱ⁻¹ であればよい. 最後 に O_∞ⁱ⁻¹ ⊂O_∞ⁱ を達成するため,まず E(ρⁱ⁻¹₊ , P_i−1)⊂E(ρⁱ₋, P_i)なるρⁱ₋ を求め, さらに拘束 条件の達成を考慮し,この ρⁱ₋ に E(ρⁱ₋, P_i)⊂Xⁱ を要求する. まとめると

条件1 Σⁱ_c は内部安定 条件2 E(1, P_i)⊂Oⁱ⁻¹_∞

条件3 E(ρⁱ⁻¹₊ , P_i−1)⊂E(ρⁱ₋, P_i) 条件4 E(ρⁱ₋, P_i)⊂Xⁱ

となる. ここで条件 1については補題4.3で考慮されている. そこで F_i,P_iがみたすべき条 件はつぎのようになる.

0

O

ⁱ_∞⁻¹

E(ρ

ⁱ₊⁻¹

, P

_i−1

) E(ρ

ⁱ₋

, P

i

)

O

_∞ⁱ

E (1, P

_i

)

(C

₀

+ D

02

F

i

)

_(j,:)

x = 1 − e

j

(C

0

+ D

02

F

i

)

_(j,:)

x = − (1 − e

j

)

Fig. 4.3: Geometrical representation of design procedure

補題 4.4. 条件 2, 3, 4は,つぎの条件と等価である.

∃P_i =P_i^T >0, ∃F_i, ∃ 1

ρⁱ₋ >0, ∃X_1i =X_1i^T, ∃X_2i =X_2i^T

"

X_1i M_i−1Q_i Q_iM_i−1^T Q_i

#

>0 (4.9a) (X_1i)_(j,j) <1 j = 1, . . . , s_i−1 (4.9b)

Q_i− 1

ρⁱ₋ Qⁱ⁻¹₊ >0 (4.9c)

"

X_2i C₀Q_i+D₀₂Y_i Q_iC₀^T+Y_i^TD₀₂^T Q_i

#

>0 (4.9d) (X_2i)_(j,j) <(1−e_j)² 1

ρⁱ₋ j = 1, . . . , p₀ (4.9e) ただしここでQ_i = P_i⁻¹, Y_i = F_iQ_i, Qⁱ⁻¹₊ = ρⁱ⁻¹₊ Q_i−1 である. また e, M_i−1 は, それぞ れ(4.3), (4.4)で状態拘束集合,最大 CPI 集合を定義する定数である.

証明 (補題4.4). 条件 3に対応する (4.9c) 式は楕円の包含関係を与える関係式であり, 文献 [71]で示されている(Lemma 4.1).

4.4. フィード バックゲインの構成 条件 2 と(4.9a), (4.9a) および条件 4 と(4.9d), (4.9e)が等価であることを示すため変数 y=P_i^1/2xを導入する. 条件 2, 4における各集合は,変数 yによりつぎのように表現される.

Xⁱ ={x∈ Rⁿ| |(C₀+D₀₂F_i)_(j,:)P_i−1^−1/2y| ≤1−e_j P_i^1/2x=y, j = 1, . . . , p₀} O_∞ⁱ⁻¹ ={x∈ Rⁿ|M_i−1P_i^−1/2y≤1 P_i^1/2x=y}

E(1, P_i) ={x∈ Rⁿ|y^Ty≤1 P_i^1/2x=y} E(ρⁱ₋, P_i) ={x∈ Rⁿ|y^Ty≤ρⁱ₋ P_i^1/2x=y}

まず条件 2の成立を変数 y 上で考えれば, 原点から凸多面体 Oⁱ⁻¹_∞ を構成する各平面 (M_i−1)_(j,:)P_i^−1/2y≤1 j = 1, . . . , s_i−1

までの距離

l_j = 1

(M_i−1P⁻¹M_i−1^T )^1/2_(j,j)

j = 1, . . . , s_i−1

と球 E(1, P_i) の半径 1 とのあいだに l_j > 1 が成立すればよい. そこで変数X_1i = X_1i^T ∈ R^{si−1×si−1} を導入することによりつぎの条件がえられる.

X_1i−M_i−1P_i⁻¹M_i−1^T >0 (X_1i)_(j,j)<1 j = 1, . . . , s_i−1

これに Schur complement を適用することにより(4.9a), (4.9b)がえられる.

条件4 と (4.9d), (4.9e)が等価であることとも同様に導かれる. まず原点から Xⁱ を構成

する各平面

(C₀+D₀₂F_i)_(j,:)P_i^−1/2y ≤1−e_j j = 1, . . . , p₀ までの距離

d_j = 1

((C₀+D₀₂F_i)P_i⁻¹(C₀+D₀₂F_i)^T)^1/2_(j,j) j = 1, . . . , p₀ を考える.

条件 4が成立するには, 球面 E(ρⁱ₋, P_i) の半径 (ρⁱ₋)^1/2 と d_j のあいだに d_j >(ρⁱ₋)^1/2 が 成立すればよい. ここで変数X_2i =X_2i ∈ R^p0×p0 を導入し

X_2i−(C₀+D₀₂F_i)P_i⁻¹(C₀+D₀₂F_i)^T >0 (X_2i)_(j,j) <(1−e_j)² 1

ρⁱ₋ j = 1, . . . , p₀

を考える. この条件に Schur complementを適用して (4.9d), (4.9e)がえられる.

注意 4.6. 補題 4.3, 4.4の条件をみたすF_i, P_i, ρⁱ₋ を考える. E(ρⁱ₋, P_i)は, Σⁱ_c の CPI 集合 であるから(定理4.1 の証明参照), 最大 CPI 集合Oⁱ_∞ に対してE(ρⁱ₋, P_i)⊂Oⁱ_∞が成立し, これよりRⁱ_∞⊂Oⁱ⁻¹_∞ ⊂Oⁱ_∞が結論づけられる.

補題 4.3, 4.4から, (4.6), (4.9)をみたす F_i, P_i により, 各条件 1, 2, 3, 4が達成される. こ

こで (4.6), (4.9) は不等式条件であるため,これを達成するすべての解のなかから特定の解

を決定することを考える. ここではつぎの最適化問題により F_i を構成する.

αi, Ri, Qi, Ymini, _ρi¹

−, X1i, X2i

Tr(B₀^TP_iB₀) (4.10a)

subject to (4.6) and (4.9) (4.10b)

これは w= 0である場合に, 初期状態 x₀ から z₁(t) までの H² のノルムを最小化すること になる.

注意 4.7. 最適化問題 (4.10) は, 外部入力が存在しない場合の評価にもとづいている [74].

外部入力が存在する場合, この評価の意味は曖昧であり, 制御性能の評価法は今後の検討課 題となっている.

問題4.1 に対する解としてつぎの結果がえられる.

定理 4.1. 閉ループ系 Σ⁰_c は内部安定であるとする. (4.8), (4.10)により構成されるフィー ド バックゲインの系列F ={F_i ∈ R^m2×n|i= 0,1, . . . , k}は

Rⁱ_∞⊂Oⁱ⁻¹_∞ ⊂Oⁱ_∞ i= 1,2, . . . , k を達成する.

証明. (4.10)によりえられるF_i をもちいて, Σⁱ_c および O_∞ⁱ を構成する.

補題 4.3, 4.4より,Rⁱ_∞⊂E(1, P_i)⊂O_∞ⁱ⁻¹である. ¯x^TP_ix¯=ρⁱ₋>1とすると補題4.2 の条 件式が x¯について成立し, かつ E(ρⁱ₋, P_i)⊂Xⁱ である. すなわち E(ρⁱ₋, P_i) は, Σⁱ_c の CPI 集合であり, E(ρⁱ₋, P_i) ⊂Oⁱ_∞ となる. 補題 4.4 からO_∞ⁱ⁻¹ ⊂E(ρⁱ⁻¹₊ , P_i−1)⊂ E(ρⁱ₋, P_i)であ るのでRⁱ_∞⊂Oⁱ⁻¹_∞ ⊂Oⁱ_∞となる.

注意 4.8. Oⁱ_∞は,線形計画法をもちいたアルゴ リズムにより構成可能である [42, 73]. (4.8) で定義される ρⁱ⁻¹₊ は, 標準的な二次計画問題の解として決定される [74]. (4.10) の最適解 を求めることは, (4.6)が双線形行列不等式条件であるため,困難である. しかしながらスカ ラーのパラメータα_i を固定する場合, 線形行列不等式で記述される凸最適化問題となる. こ のときの解は, (存在すれば) 適切なアルゴ リズムをもちいることによりえられる. 4.6 節の 数値例では,この方法により解をえている.

4.4. フィード バックゲインの構成 数値計算の手順

問題 4.1 の解となるフィード バックゲインの系列F_i, i= 1, . . . , k は (4.8), (4.10) の最適 化問題を繰り返しとくことによりえられる. ここでは (4.8), (4.10)を解く際の具体的な手順 をまとめておく.

ますはじめに最適化問題(4.8)は標準的な 2 次計画問題に帰着されることを示す. このた め変数 y=P_i−1^1/2xを導入し Oⁱ⁻¹_∞ ,E(ρ, P_i−1)をつぎのように表現する.

Oⁱ⁻¹_∞ ={x∈ Rⁿ|M_i−1P_i−1^−1/2x≤1 P_i−1^1/2x=y} E(ρ, P_i−1) ={x∈ Rⁿ|y^Ty≤ρ P_i−1^1/2x=y}

ρⁱ⁻¹₊ を構成するための変数y 上の最適化問題は, 凸多面体 O_∞ⁱ⁻¹ に外接する球 E(ρ, P_i−1) の半径ρを求める問題である. よって ρⁱ⁻¹₊ は, つぎの 2 次計画問題により構成される.

ρⁱ⁻¹₊ = maxy^Ty (4.11)

subject to M_i−1P_i−1^−1/2y≤1 (4.12) つぎに最適化問題(4.10)を考える. この問題は拘束条件として双線形不等式条件(4.6)を 含んでいる. このため,直接 (4.10)の最適解をえることは困難である.

しかしながらスカラのパラメタ α_i を固定すれば(4.6)は線形行列不等式条件となる. この 場合, 適切なアルゴ リズムをもちいることにより (存在するならば) 必ず解を求めることが 可能である.

そこでここでは,α_i を固定するごとに, (4.10)より導かれるつぎの最適化問題を解くとこ

により解を構成する. また 4.6 節の数値例でもこの方法により解をえている.

Qi, Yi, X1imin, X2i, X3i, _ρi¹

−

Tr(X_3i)

subject to







(1−α_i)Q_i 0 Q_iA^T+Y_iB₂^T Q_iC₁^T+Y_iD₁₂^T

0 α_iR_i B₁^T D₁₁^T

AQ_i+B₂Y_i B₁ Q_i 0

C₁Q_i+D₁₂Y_i D₁₁ 0 I_p1





>0

"

X_1i M_i−1Q_i Q_iM_i−1^T Q_i

#

>0 (X_1i)_(j,j) ≤1 j = 1, . . . , s_i−1

Q_i− 1

ρⁱ₋ Qⁱ⁻¹₊ >0

"

X_2i C₀Q_i+D₀₂Y_i Q_iC₀^T+Y_i^TD₀₂^T Q_i

#

>0 (X_2i)_(j,j) ≤(1−e_j)² 1

ρⁱ₋ j = 1, . . . , p₀

"

X_3i B₀^T B₀ Q_i

#

>0

なおここでX_3i ∈ R^n×nは,H² ノルムに関する条件を記述するために導入される変数である.

ドキュメント内 拘束条件を有する制御系の 解析および設計に関する研究 (ページ 61-67)