シミュレーションモデル

上記で述べた解法より以下の2式が成り立つ。

[

^{0 0}

]

^{( )}

) (

∆u k _opt = I_{l l} L _l H⁻¹Θ^TQε k )

1 ( ) ( ) ( )

(k = k −Ψx k −γu k−

ε T

この解において, 時々刻々変化する唯一の部分は, 追従誤差ε_(k)である。以上より, 制約な し問題で, 全状態が測定可能な場合には, 予測コントローラの構図は図4.2のようになる。

図においてKMPCと表記したブロックは次式で定義される。

[

l l l

]

^{H TQ}

MPC I

K = 0 L 0 ⁻¹Θ (4.29)

今回のシミュレーションはModel Predictive Toolboxの関数smpconを用いている。それを用 いて計算される行列KｓとKMPCには, つぎのような関係がある。

[

^{−Ψ −γ}

]

=K I

K_{S MPC} (4.30)

よって, 次式が得られる。

















−

=

) 1 (

) (

) ( )

(

∆

k u

k x

k K

k

u _{opt S}

T

(4.31)

図4.2 MPCコントローラの構造

ここでプラントの対象は精密ステージであり, )

215 ( ] 1364 mm/V )[

( = +

s s s

P

K

MPC ^{I プ ラン トプ ラン トプ ラン トプ ラン ト}

z z

−1

γ

z⁻¹I

Ψ

ｰ ｰ ｰ ｰ

ｰ ｰ ｰ ｰ

＋

＋

＋

＋

)

T (k ε ( k ) ∆ ^{u (k )} u (k )

) 1 ( k − u

) (k z

) ( ) ( k x k

y =

コ ント ローラ K

MPC_MPC

K

^{I プ ラン トプ ラン トプ ラン トプ ラン トプ ラン トプ ラン トプ ラン トプ ラン ト}

z z

−1I z

z

−1

γγ

zz⁻⁻¹¹II

Ψ Ψ

ｰ ｰ ｰ ｰ

ｰ ｰ ｰ ｰ

＋

＋

＋

＋

)

T (k ε ( k ) ∆ ^{u (k )} u (k )

) 1 ( k − u

) (k z

) ( ) ( k x k

y =

コ ント ローラ

と表すことができる。これを離散化し, 離散時間状態空間モデルで表すことで, モデル予測 制御に適応する。次に決定したパラメータを用いてコントローラを設計する。サンプリン グ周期を 0.1 ms のコントローラとして計算より導かれた Kｓは Kｓ= [ 497.92, -1.8998, 0.80654, -497.92]である。

制御仕様は制御帯域50 Hz, オーバーシュートを目標値の10％以下とする。サンプリング

周期を0.1 ms, 目標値0.05 mmのステップ応答波形のシミュレーション結果を図4.3に示

す。ここで設計パラメータはHｐ= 2, Hu=1, 窓パラメータHW=1, 入力重みはなしとした。

図4.3よりオーバーシュート率は5%, 位置決め時間は0.012 sと高応答で素早い位置決 めができているが, このシミュレーションは全く外乱を考慮していないためそのまま実機 に組み込むことはできない。

ここでモデル化誤差や一定値外乱によるオフセットを除去するために, 予測を行う際に 過去のモデル出力と入力を利用する独立モデル方策を使用する。まず, モデルがプラントと 同じでなければ, 特に, モデルの定常ゲインが正確でなければ, プラント出力は意図しない 最終値に到達してしまう。事実, 実プラントは例外なく非線形なので, その正確な定常ゲイ ンはそれぞれの定常条件において異なる。しかし, 予測コントローラを少し修正するだけで, 定常ゲインの誤差の影響を受けないようにすることができる。必要なことは, 最新のプラン ト出力と最新のモデル出力の間の差を測定し, 一致点においてこの差を参照軌道から引く ことである。すなわち,

^d

( ) ( )

^{k =yk −yˆ}

(

^kk−1

)

(4.32)

と定義し, 最適入力を求める際, 次式を用いる。

^ΔU=Θ\

[

^T−1d

( )

^{k −Yf}

]

(4.33)

ただし, 1111はベクトル [1,1,…,1]^Tを表す。Θのステップ応答係数はプラントのではなく, ｢モ デル｣のそれであることに注意する。なぜならば, 真のプラントのステップ応答は, コント ローラにとって未知であるからである。

（a）出力特性

（b）入力特性

図4.3 MPCシミュレーション結果（ステップ応答波形）

サンプリング周期0.1 ms

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Position [mm]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Time [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Position [mm]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Time [s]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-10 -5 0 5 10 15 20 25

Time [s]

Control input [V]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

-10 -5 0 5 10 15 20 25

Time [s]

Control input [V]

ドキュメント内 適応同定と予測制御を用いた半導体製造用超精密ステージの高速・高応答制御手法 (ページ 40-43)