角運動量の合成とウィグナーの 3j 記号

の対応を示す。

更に、

σ^′₁σ^′₂σ^′₃ = uσ₁^′σ₂^′σ^′₃u^†=uiu^†=iE2

また、

σ^′₁σ^′₂σ^′₃ = Q1αQ2βQ3γσασβσγ

= ∑

γ

[ ∑

α(=β)

(Q1αQ2α)Q3γσγ+∑

α̸=β

Q1αQ2αQ3γσασβσγ

]

= ∑

(α,β,γ)=P(123)

Q_1αQ_2αQ_3γσ_ασ_βσ_γ

= ∑

(α,β,γ)=P(123)

Q_1αQ_2αQ_3γiE₂ϵ_αβγ

= iE₂detQ よって

detQ = 1

とこれらは角運動量の交換関係を満たす。また、

[J₁₊,J+] = [a^†₊a₋, a^†b] = [a^†₊a₋, a^†₋b₋] =a^†₊[a₋, a^†₋]b₋=a^†₊b₋ [J₂₊,J+] = [b^†₊b₋, a^†b] = [b^†₊b₋, a^†₊b₊] =a^†₊[b^†₊, b₊]b₋ =−a^†₊b₋ よって J =J₁+J₂ として

[J+,J+] = 0

([J₊,J+])^† = [J₋, J₋] = 0

[J₁₊,J₋] = [a^†₊a₋, b^†a] = [a^†₊a₋, b^†₊a₊] =b^†₊[a^†₊, a₊]a₋ =−b^†₊a₋ [J₂₊,J+] = [b^†₊b₋, b^†a] = [b^†₊b₋, b^†₋a₋] =b^†₊[b₋, b^†₋]a₋=−b^†₊a₋ よって

[J+,J−] = 0

([J₊,J−])^† = [J+, J₋] = 0 [J_1z,J+] = 1

2[n_a+−n_a−, a^†b] = 1

2[n_a+−n_a−, a^†₊b₊+a^†₋b₋]

= 1

2[n_a+, a^†₊b₊]−1

2[n_a−, a^†₋b₋] = 1

2(a^†₊b₊−a^†₋b₋) [J2z,J+] = 1

2[nb+−nb−, a^†b] = 1

2[nb+−nb−, a^†₊b++a^†₋b₋]

= 1

2[nb+, a^†₊b+]− 1

2[nb−, a^†₋b₋] = 1

2(−a^†₊b++a^†₋b₋) よって

[J_z,J+] = 0

([J_z,J+])^† = −[J_z,J−] = 0 続いて

[J_z,Jz] = 1

4[n₊−n₋, n_a−n_b] = 0 [J₁₊,Jz] = 1

2[a^†₊a₋, n_a−n_b] = 1

2[a^†₊a₋, a^†₊a₊+a^†₋a₋] = 1

2[a^†₊a₋, a^†₊a₊] + 1

2[a^†₊a₋, a^†₋a₋]

= = 1

2a^†₊[a^†₊, a₊]a₋+ 1

2a^†₊[a₋, a^†₋]a₋= 0 [J₂₊,Jz] = 1

2[b^†₊b₋, n_a−n_b] =−1

2[b^†₊b₋, b^†₊b₊+b^†₋b₋] =−1

2[b^†₊b₋, b^†₊b₊]−1

2[b^†₊b₋, b^†₋b₋]

= = 1

2b^†₊[b^†₊, b₊]b₋+ 1

2b^†₊[b₋, b^†₋]b₋= 0

よって

[J+,Jz] = 0

([J+,Jz])^† = −[J−,Jz]) = 0 以上から

[J_i,Jj] = 0

2J1·J2 = 1

2a^†_αaβb^†_γbδ(2δαδδβγ −δαβδγδ)

= a^†_αaβb^†_βbα− 1

2a^†_αaαb^†_γbγ

= a^†_αaβ(bαb^†_β −δαβ)− 1

2a^†_αaαb^†_γbγ

= a^†_αbαb^†_βaβ−na− 1 2nanb

= J+J−−n_a− 1 2n_an_b よって

J² = 1 2n_a(1

2n_a+ 1) +1 2n_b(1

2n_b + 1) +J+J₋−n_a− 1 2n_an_b

= 1

2(n_a+n_b)−n_a+ 1

4(n²_a+n²_b −2n_an_b) +J+J₋

= −1

2(n_a−n_b)−n_a+1

4(n_a−n_b)²+J+J−

= J+J−+Jz(Jz−1)

= J−J++Jz(Jz+ 1) 一方、J =iσ_y =

(

0 1

−1 0 )

として

K+ = a^†Jbe^† =a^†₊b^†₋−a^†₋b^†₊ = [a^†b^†] K− = K^†+= [ab]

K3 = 1

2(a^†a+b^†b) + 1 = 1

2(n_a+n_b) + 1 = 1 2n+ 1

として

[K+,K−] = [a^†₊b^†₋−a^†₋b^†₊, b₋a₊−b₊a₋]

= [a^†₊b^†₋, b₋a₊]−[a^†₊b^†₋, b₊a₋]−[a^†₋b^†₊, b₋a₊] + [a^†₋b^†₊, b₊a₋]

= [a^†₊b^†₋, b₋a₊] + [a^†₋b^†₊, b₊a₋]

= b₋[a^†₊, a+]b^†₋+a^†₊[b^†₋, b₋]a++b+[a^†₋, a₋]b^†₊+a^†₋[b^†₊, b+]a₋

= −b₋b^†₋−a^†₊a₊−b₊b^†₊−a^†₋a₋

= −(n_a+n_b+ 2) =−2Kz

[Kz,K+] = 1

2[n_a+n_b, a^†₊b^†₋−a^†₋b^†₊]

= 1 2 [

[n_a, a^†₊b^†₋] + [n_b, a^†₊b^†₋]−[n_a, a^†₋b^†₊]−[n_b, a^†₋b^†₊] ]

= 1 2 [

[a^†₊a₊, a^†₊b^†₋] + [b^†₋b₋, a^†₊b^†₋]−[a^†₋a₋, a^†₋b^†₊]−[b^†₊b₊, a^†₋b^†₊] ]

= 1

2(a^†₊b^†₋+b^†₋a^†₊−a^†₋b^†₊−a^†₋b^†₊) = a^†₊b₋−a^†₋b₊

= K+

[Kz,K−] = −K−

また

K+K− = (a^†₊b^†₋−a^†₋b^†₊)(b₋a₊−b₊a₋)

= a^†₊a+b^†₋b₋−a^†₋a+b^†₊b₋−a^†₊a₋b^†₋b++a^†₋a₋b^†₊b+

= n_an_b−a^†₊a₊b^†₊b₊−a^†₋a₋b^†₋b₋−a^†₋a₊b^†₊b₋−a^†₊a₋b^†₋b₊

= n_an_b−a^†_αa_βb^†_βb_α よって

2J₁·J₂ = a^†_αa_βb^†_βb_α− 1 2n_an_b

= −K+K₋+ 1 2n_an_b

J² = 1 2n_a(1

2n_a+ 1) + 1 2n_b(1

2n_b+ 1)− K+K−+1 2n_an_b

= 1

2(n_a+n_b) + 1

4(n²_a+n²_b + 2n_an_b)− K+K₋

= 1 2n+1

4(n_a+n_b)² − K+K₋

= 1 2n(1

2n+ 1)− K+K₋

= (Kz−1)Kz− K+K₋

= (Kz+ 1)Kz− K₋K+

ここでJ², J_z, Jz,Kz は可換なので、その同時固有状態として J²|jmµν⟩ = j(j+ 1)|jmµν⟩

J_z|jmµν⟩ = m|jmµν⟩ Jz|jmµν⟩ = µ|jmµν⟩ Kz|jmµν⟩ = ν|jmµν⟩

としたとき、まず、

µ = j₁−j₂ ν = j₁+j₂+ 1 逆に

j₁ = µ+ν−1 2 j₂ = −µ+ν−1

2 と(j₁, j₂)⇄(µ, ν) が対応する。

ここで、Jzは通常の角運動量であり

−j ≤µ≤j これより

|j₁−j₂| ≤j

K については K+K− は半正定値だから

−j(j+ 1) +ν(ν−1) ≥ 0 ν ≥ j+ 1 j₁+j₂ ≥ j

KzK±|jmµν⟩ = (ν±1)K±|jmµν⟩ より

K±|jmµν⟩ = C_ν±|jmµν±1⟩ であるが、規格化因子は

|C_ν±|² = ⟨jmµν|K_∓K_±|jmµν⟩

= ⟨jmµν|[(Kz±1)Kz−j(j + 1)]|jmµν⟩

= ν(ν±1)−j(j+ 1)

= (ν+j)(ν−j)±(ν∓j)

= (ν∓j)(ν±j±1) よってC_ν− = 0, ν=j+ 1だから

K−|jmµj+ 1⟩ = 0 これが最小のν であり、

Cν+ = √

(ν−j)(ν+j + 1) ととって、

|jmµj + 2⟩ = 1

√1·(2j+ 2)K+|jmµj + 1⟩

|jmµj + 3⟩ = 1

√1·2·(2j+ 3)(2j+ 2)K²+|jmµj + 1⟩ ...

|jmµν⟩ =

√

(2j+ 1)!

(ν−j−1)!(j+ν)!K+^ν−j−1|jmµj + 1⟩

= ω_jν(K+)|jmνj+ 1⟩

ここで

ωjν(λ) =

√

(2j+ 1)!

(ν+j)!(ν−j−1)!λ^ν−j−1 またこれは次のようにも書ける。⁴

[(2j+ 1)!]^−1/2

∑∞ ν=j+1

χ_jν(λ)|jmµν⟩ = e^λK+|jmµj+ 1⟩

χ_jν(λ) = λ^ν−j−1

√

(j +ν)!

(ν−j−1)!

特にν =j+ 1に関してはν =j₁+j₂+ 1だからj =j₁+j₂ であり、j1−j₂ =µ より

j₁ = j+µ 2 j2 = j−µ

2

さらにj =mとすれば，j1+j₂ =m₁+m₂ つまり、j1 =m₁,j₂ =m₂。よって

|jjµj+ 1⟩ = (a^†₊)^j1+m1(b^†₊)^j2+m2

√(j₁+m₁)!(j₂+m₂)!|0⟩

= (a^†₊)^j+µ(b^†₊)^j−µ

√(j+µ)!(j−µ)!|0⟩

これを座標変換した形で書き直して

|jjµj+ 1⟩^′ = (a^′†₊)^j+µ(b^′†₊)^j−µ

√(j+µ)!(j−µ)!|0⟩ としたものを元の座標で書けば、

√(2j)!∑

m

|jmµj+ 1⟩ϕ_jm(x) = (xa^†)^j+µ(xb^†)^j−µ

√(j+µ)!(j−µ)!|0⟩ (∗: Schwinger(3.18))

4

[(2j+ 1)!]^−1/2

∑∞ ν=j+1

λ^ν−j−1

√

(j+ν)!

(ν−j−1)!|jmµν⟩ =

∑∞ ν=j+1

1

(ν−j−1)!(λK+)^ν−j−1|jmµj+ 1⟩

= e^λK+|jmµj+ 1⟩

ϕjµ(ξ) を掛けて µで和をとれば

√(2j)!∑

mµ

|jmµj + 1⟩ϕjm(x)ϕjµ(ξ) = 1 (2j)!

∑

µ

(ξ+a^†x)^j+µ(ξ₋b^†x)^j−µ (2j)!

(j+µ)!(j−µ)!|0⟩

= 1

(2j)!(ξ₊a^†x+ξ₋b^†x)^2j|0⟩ さらにj で足して

√(2j)!∑

jmµ

|jmµj+ 1⟩ϕ_jm(x)ϕ_jµ(ξ) = e^{ξ+(xa†)+ξ−(xb†)}|0⟩

これにe^λK+ =e^λ[a†b†] を作用させれば e^{λ[a†b†]+ξ+(xa†)+ξ−(xb†)}|0⟩ = √

(2j)!∑

jmµ

e^λK+|jmµj+ 1⟩ϕjm(x)ϕjµ(ξ)

= √

(2j)!∑

jmµν

1

(2j+ 1)!|jmµν⟩ϕ_jm(x)ϕ_jµ(ξ)χ_jν(λ)

= 1

√2j+ 1

∑

jmµν

|jmµν⟩ϕjm(x)ϕjµ(ξ)χjν(λ) (Schwinger(3.35))

また、上記(*)にω_jν(K+)を作用させて、

√(2j)!∑

m

|jmµν⟩ϕ_jm(x) = √

(2j + 1)! [a^†b^†]^ν−j−1(xa^†)^j+µ(xb^†)^j−µ

√(ν+j)!(ν−j−1)!(j+µ)!(j−µ)!|0⟩

ここで表示をµ=j₁−j₂, ν =j₁+j₂+ 1を使って(j₁, j₂)に変えると以下の様に なる。

∑

m

|j₁j₂jm⟩ϕ_jm(x) =

[ 2j + 1 (j+j₁+j₂+ 1)!

]1/2

[a^†b^†]^j1+j2−j(xa^†)^j+j1−j2(xb^†)^j−j1+j2

√(j1+j2−j)!(j+j1−j2)!(j−j1+j2)!|0⟩

ここで

|j₁j₂jm⟩ = |jmµν⟩ である。x+ →z^∗₋, x₋ → −z^∗₊, と書いて

(xa^†) = x₊a^†₊+x₋a^†₋ =z₋^∗a^†₊−z₊^∗a^†₋ = [a^†z^∗] (xb^†) = [b^†z^∗]

∑

m

|j₁j₂jm⟩ϕ_jm( (

z₋^∗

−z₊^∗ )

) = [ 2j+ 1

(j +j₁ +j₂ + 1)!

]1/2

[a^†b^†]^j1+j2−j[a^†z]^j+j1−j2[b^†z]^j−j1+j2

√(j₁+j₂−j)!(j +j₁ −j₂)!(j −j₁+j₂)!|0⟩ これと

∑

m1m2

|j₁m₁j₂m₂⟩ϕ_j1m1(x)ϕ_j2m2(y) = e^{(xa†)+(yb†)}|0⟩

との内積をj =j₃, m =−m₃ として書けば^{5 6 7}

∑

m1m2m3

⟨j₁j₂j₃−m₃|j₁m₁j₂m₂⟩(−)^j3+m3ϕ_j1m1(x)ϕ_j2m2(y)ϕ_j3m3(z)

= (−)^j1+j2−j3

[ 2j3+ 1 (j₃+j₁+j₂+ 1)!

]1/2

[yx]^j1+j2−j3[xz]^j3+j1−j2[yz]^j3−j1+j2

√(j1+j2−j3)!(j3+j1−j2)!(j3−j1+j2)!

5

[a^†b^†] = a^†₊b^†₋−a^†₋b^†₊

[a^†b^†]^† = b₋a₊−b₊a₋ =−[ba]

6

ϕjm( ( z₋

−z+

)

)) = (z₋)^j+m(−z+)^j−m

√(j+m)!(j−m)!)= (−)^j−m (z+)^j−m(z₋)^j+m

√(j+m)!(j−m)!)= (−)^j−mϕj−m(z)

7

⟨0|[ba]^j1+j2−j3[az]^j3+j1−j2[bz]^j3−j1+j2e^{(xa†)+(yb†)}|0⟩ = ⟨0|[ba]^j1+j2−j3[az]^j3+j1−j2[ ∂

∂b^†z]^j3−j1+j2e^{(xa†)+(yb†)}|0⟩

= ⟨0|[ba]^j1+j2−j3[az]^j3+j1−j2[yz]^j3−j1+j2e^{(xa†)+(yb†)}|0⟩

= ⟨0|[ba]^j1+j2−j3[xz]^j3+j1−j2[yz]^j3−j1+j2e^{(xa†)+(yb†)}|0⟩

= [yx]^j1+j2−j3[xz]^j3+j1−j2[yz]^j3−j1+j2⟨0|e^{(xa†)+(yb†)}|0⟩

= [yx]^j1+j2−j3[xz]^j3+j1−j2[yz]^j3−j1+j2

ここでクレブシュ・ゴルダン係数の定義を思い出して

⟨jm|j₁m₁j₂m₂⟩ = ⟨j₁j₂jm|j₁m₁j₂m₂⟩

≡ √

2j + 1⟩(−)^j1−j2+mX(j₁j₂j;m₁m₂−m)

≡ √

2j + 1⟩(−)^j1−j2+m {

j₁ j₂ j m₁ m₂ −m

}

によりX記号 ならびに ウィグナーの3j記号 を定義すれば

∑

m1m2m3

X(j₁j₂j₃;m₁m₂m₃)ϕ_j1m1(x)ϕ_j2m2(y)ϕ_j3m3(z)

= 1

√(j₁+j₂+j₃+ 1)!

[yx]^j1+j2−j3[xz]^j3+j1−j2[yz]^j3−j1+j2

√(j₁+j₂−j₃)!(j₃+j₁−j₂)!(j₃−j₁+j₂)!

= 1

√(j₁+j₂+j₃+ 1)!

[yz]^j3−j1+j2[zx]^j3+j1−j2[xy]^j1+j2−j3

√(j₁+j₂−j₃)!(j₃+j₁−j₂)!(j₃−j₁+j₂)!

となる。

これを展開して各次数を比べることでX 係数の具体的な形を定めよう。(J = j₁+j₂+j₃) まず右辺は

∑

m1m2m3

X(j1j2j3;m1m2m3)ϕj1m1(x)ϕj2m2(y)ϕj3m3(z)

= ∑

m1m2m3

X(j;m) 1

∏3

i=1[(j_i+m_i)!(j₁−m_i)!]x^j₊^1+m1x^j₋^1−m1y₊^j2+m2y₋^j2−m2z₊^j3+m3z^j₋^3−m3 次に左辺は

√ 1

(j₁+j₂+j₃+ 1)!

[yz]^j3−j1+j2[zx]^j3+j1−j2[xy]^j1+j2−j3

√(j₁+j₂ −j₃)!(j₃+j₁−j₂)!(j₃−j₁+j₂)!

= ∑

n1n2n3

1

[(J+ 1)!(J −2j₁)!(J −2j₂)!(J −2j₃)!]^1/2

× (

J−2j₁ n₁

) (

J −2j₂ n₂

) (

J−2j₃ n₃

)

×(y+z₋)^J−2j1−n1(−y₋z+)ⁿ¹(z+x₋)^J−2j2−n2(−z₋x+)ⁿ²(x+y₋)^J−2j3−n3(−x₋y+)ⁿ³

= ∑

n1n2n3

(−)ⁿ 1 [(J+ 1)!]^1/2

∏3 i=1

[(J−2j_i)!]^1/2 (J −2j_i−n_i)!n_i!

x^J₊^{−2j3−n3+n2}x^J₋^{−2j2−n2+n3}y^J₊^{−2j1−n1+n3}y^J₋^{−2j3−n3+n1}z^J₊^{−2j2−n2+n1}z^J₋^{−2j1−n1+n2} (∗∗)

ただし、n =n1+n2+n3。次にx+ のべきを比べて

j1+m1 = J−2j3−n3+n2 =j1+j2−j3−n3+n2

書き直して

n2 −n3 = m1−j2+j3

同様に全てを書けば

n2 −n3 = m1−j2+j3

n₃ −n₁ = m₂−j₃+j₁ n₁ −n₂ = m₃−j₁+j₂ この条件下で

X(j;m) = ∑

n1n2n3

(−)ⁿ 1 [(J+ 1)!]^1/2

∏3 i=1

[(j_i+m_i)!(j_i−m_i)!(J−2j_i)!]^1/2 (J −2j_i−n_i)!n_i!

X記号の定義式を以下の様に書いて

∑

m

X(j;m)ϕ_j1m1(x)ϕ_j2m2(y)ϕ_j3m3(z) = [yz]^J−2j1[zx]^J−2j2[xy]^J−2j3

√(J + 1)!(J−2j₁)!(J−2j₂)!(J−2j₃)!

以下のように定義するΦ_j1j2j3(αβγ)をかけてj₁j₂j₃ で和をとれば、(J−2j₁) + (J− 2j₂) + (J−2j₃) = J に注意して

Φ_j1j2j3(αβγ) = √

(J+ 1)! α^J−2j1β^J−2j2γ^J−2j3

√(J−2j₁)!(J−2j₂)!(J−2j₃)!

∑

jm

X(j;m)ϕ_j1m1(x)ϕ_j2m2(y)ϕ_j3m3(z)Φ_j1j2j3(αβγ)

= ∑

j1j2j3

(α[yz])^J−2j1(β[zx])^J−2j2(γ[xy])^J−2j3 (J−2j₁)!(J−2j₂)!(J−2j₃)!

=∑

J

∑

j₁^′+j₂^′+j₃^′=J

(α[yz])^j1′(β[zx])^j′2(γ[xy])^j3′ (j₁^′ +j₂^′ +j₃^′)!

=∑

J

(α[yz] +β[zx] +γ[xy])^J J!

=eα[yz]+β[zx]+γ[xy]

右辺がX記号の母関数を与える。

これからX記号、ウィグナーの3j記号の対称性は容易にみちびかれる。まず、

右辺は(j₁, j₂, j₃), (m₁, m₂, m₃), (α, β, γ), (x, y, z)の巡回置換に対して不変なので、

(

j₁ j₂ j₃ m1 m2 m3

)

= (

j₂ j₃ j₁ m2 m3 m1

)

= (

j₃ j₁ j₂ m3 m1 m2

)

次に例えばj₁ ⇄ j₂, m₁ ⇄ m₂, α ⇄ −β, γ ⇄ −γ, x ⇄ y, に対して右辺は不変、

またΦ_j2j1j3(−β,−α,−γ) = (−)^JΦ_j1j2j3(α, β, γ)であるから (

j2 j1 j3

m₂ m₁ m₃ )

= (

j3 j2 j1

m₃ m₂ m₁ )

= (

j1 j3 j2

m₁ m₃ m₂ )

= (−)^J (

j1 j2 j3

m₁ m₂ m₃ )

また、x+ → x₋, y₊ → y₋, z₊ → z₋, α → −α, β → −β, γ → −γ に対して [xy]→ −[xy]などとなるので右辺は不変、Φj1j2j3(−α,−β,−γ) = (−)^JΦj1j2j3(αβγ), ϕ_jm →ϕ_j−mだから

(

j₁ j₂ j₃

−m₁ −m₂ −m₃ )

= (−)^J (

j₁ j₂ j₃ m₁ m₂ m₃

)

特にm₁ =m₂ =m₃ = 0 として (

j₁ j₂ j₃

0 0 0

)

= 0 : J =j₁+j₂+j₃ = odd クレブシュ・ゴルダン係数に関して

⟨jm|j₂m₂, j₁m₁⟩ = √

2j+ 1(−)^j2−j1+m (

j₂ j₁ j m2 m1 −m

)

= √

2j+ 1(−)^j2−j1+m+J (

j₁ j₂ j m₁ m₂ −m

)

= (−)^j1+j2−j√

2j+ 1(−)^j1−j2+m (

j₁ j₂ j m₁ m₂ −m

)

= (−)^j1+j2−j⟨jm|j₁m₁, j₂m₂⟩

さらにθを任意の実数としてx_± →x_±e^±iθ,y_±→y_±e^±iθ,z_±→z_±e^±iθに対して右 辺は自明に不変で左辺は e^{2iθ(m1+m2+m3)} だけ余分な因子がつくので、

(

j₁ j₂ j₃ m₁ m₂ m₃

)

= 0 : m₁+m₂+m₃ ̸= 0

付 録 ディラックのブラケット 記法

以下 ディラックのブラケット記法 についてまとめよう。

A.1 関数空間でのブラケット記法

関数 f とはある数xにある数yを対応させる規則であり，これを f :x 7→ y

y = f(x)

と書く。同様に 演算子 A とは関数 f に関数 g を対応させる規則で A:f 7→ g

g = Af g(x) = (Af)(x)

などと書く。なお 汎関数I とは関数 f に値 yを対応させる規則であり次のように 書かれる。

I :f 7→ y y = I[f(x)]

ここで関数に対する演算子の作用をコンパクトに記述する方法が ディラックのブラケット記法 であるが、これを以下説明しよう。

区間 [a, b] で定義される関数 ψ(x)をベクトルとみて ψ(x) ⇄ |ψ⟩ ψ^∗(x) ⇄ ⟨ψ|

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と書き，⟨ψ|を ブラベクトル，|ψ⟩を ケットベクトル とし，ψ(x)とφ(x)との関数 としての 内積 (ψ, φ)を

(ψ, φ) =

∫

dx ψ^∗(x)φ(x)≡ ⟨ψ|φ⟩

と表現する。つまり，ブラとケットはこの内積に関してお互いに共役である。こ れを以下のように書く。

(|ψ⟩)_†

= ⟨ψ| (⟨ψ|)_†

= |ψ⟩ 更に，演算子Aの関数ψ(x)への作用を

Aψ(x) ⇄ |Aψ⟩=A|ψ⟩ と書く。演算子Aの エルミート共役A^† は

(ψ, Aφ) = (A^†ψ, φ) であるが

⟨A^†ψ| = (

|A^†ψ⟩)_†

=(

A^†|ψ⟩)_†

=⟨ψ|(A^†)^† =⟨ψ|A より

⟨ψ|Aφ⟩ = ⟨A^†ψ|φ⟩=⟨ψ|A|φ⟩ と整合的である。くりかえすと

⟨ψ|A|φ⟩ = ⟨ψ|(A|φ) = (⟨ψ|A)|φ⟩ のいずれとみても良いが，

⟨ψ|A = (A^†|ψ⟩)^† であることに留意する。なお

(⟨ψ|A|φ⟩)^∗ = (⟨ψ|Aφ⟩)^∗ = (⟨A^†ψ|φ⟩)^∗ =

∫ dx(

A^†ψ(x))

φ^∗(x) = ⟨φ|(A^†ψ⟩)

= ⟨φ|A^†|ψ⟩ である。

また、デルタ関数 に対応するケットベクトルを

|δ(x−a)⟩ = |a⟩ と書けば、一般の関数ψ(x)に対して

⟨a|ψ⟩ =

∫

dx(δ(x−a))^∗ψ(x) = ψ(a) よってブラケット記法で関数ψ(x)は次のように表記される

ψ(x) = ⟨x|ψ⟩

特にψ(x) =δ(x−a)の場合，上の定義に従えば|ψ⟩=|a⟩と書いたので

⟨x|a⟩ = δ(x−a) となる。これはケットベクトル|x⟩ の 規格直交性

⟨x|y⟩ = δ(x−y) と理解できる。

規格直交化された関数列{φ_n(x)} に対してその規格直交性は

⟨φ_n|φ_m⟩ = δ_nm と書け、完全性

∑

n

φ_n(x)φ^∗_n(y) = δ(x−y) は

∑

n

⟨x|φ_n⟩⟨φ_n|y⟩ = ⟨x|y⟩ となる。よって

∑

n

|φn⟩⟨φn| = 1 がブラケット記法による 完全性 の関係式である。

ここでは，議論をわかり安くするために1次元で議論したが，多次元への拡張 は自明であろう。

ドキュメント内 量子力学3-2013 (ページ 106-122)