第 3 章 ガウス – ニュートン法による位置推定 27
3.2 非線形最小二乗問題
磁界センサが立方体領域Ωの内部のある位置x= (x1, x2, x3)に，任意の姿勢で置かれ ているとする．局所座標系で観測した参照磁界ベクトルHU1,HU3,HG3 の実測値から，
位置関数ベクトルp(x) = (p1(x), p2(x), p3(x))の値を式(2.26)，(2.29)，(2.24)により 計算する．これを位置関数ベクトルの実測値とみなしてpˆ = (ˆp1, pˆ2, pˆ3)で表すとき，位 置xは非線形方程式系(2.33)の解である．pˆが誤差を含まなければ，pˆはΩM を定義域 とするxの関数p(x)の値域に含まれるはずである．すなわち，方程式系(2.33)の解は 必ず存在し，ニュートン–ラプソン法などの数値解法を用いて，xの数値解を求めること ができる．
位置を正しく推定するためには，非線形方程式系の解をつねに一意に決定できるよう，
x ∈ ΩM ⊆ Ω なる計測領域 ΩM を適切に設定しなければならない．かりに計測領域を 立方体フレームの内部全体，すなわちΩM = Ω とした場合，x1, x2, x3 軸上でそれぞれ
第3章 ガウス–ニュートン法による位置推定 28
x1 p1
0 1
−1
−1 1
(a) p1 on the x1-axis
x2 p2
0 1
−1
−1 1
(b) p2 on thex2-axis
x3 p3
0 1
−1
−1 1
(c) p3 on the x3-axis
Figure 3.1 Values of the positional functions along each axis.
p1, p2, p3はFigure 3.1のような値をとる．x1とp1，およびx3とp3の関係は，いずれ も単調増加関数である．一方，x2 軸上におけるp2 は単調ではなく，x2 =±0.6付近に極 値点をもっている．x2 軸上でp1およびp3はつねに0であるため，x2軸上では1つの極 値点をはさむ2つの点で，同じ値p= (0, p2,0)をとる場合が生じる．このとき解の一意 性は失われ，pˆからxを一意には推定することができない．
計測領域 ΩM が適切に設定されていても，磁界を観測するときに測定誤差が生ずるた め，pˆは誤差を含んでいる．誤差の混入したpˆがもしp(x)の値域に含まれなければ，方
程式系(2.33)を満足する解は1つも存在しない．そのような場合でも，方程式系を最小
二乗問題としてとらえ，数値解法を用いて方程式系を近似的に満足する最小二乗解を得る ことは可能である．最小二乗問題の数値解法としては，方法の単純さと実装の容易さによ りしばしばガウス–ニュートン法が選択肢される [59, p. 97] [60, p. 95–96] [61]．
方程式系 (2.33)の数値解を求める計算手順をつぎに示す．説明を一般化するため，位
置関数は n個あると仮定する．ただし，求める未知数がx1, x2, x3 の3個であるから，
n≥3であることが必要である．ここではつぎのように，位置xを3×1行列xで，位置 関数ベクトルの真値p(x)および測定値pˆをn×1行列p(x) およびˆpで表すことにする．
x =
x1
x2 x3
, p(x) =
p1(x) p2(x)
... pn(x)
, ˆp=
ˆ p1 ˆ p2
... ˆ pn
(3.1)
第3章 ガウス–ニュートン法による位置推定 29 方程式系(2.33)の残差ベクトルをn×1行列r(x) = [r1(x) r2(x) . . . rn(x)]tで表し，
r(x) =p(x)−ˆp (3.2)
で定義すれば，解かれるべき方程式はr(x) =0となる．
通常の非線形方程式系に対するニュートン–ラプソン法では，適当な初期解x0 から出発 して，
xk+1 =xk+dk (3.3)
により近似解を更新し，収束解を得る．ここに，dkは線形方程式系
j(xk)dk =−r(xk) (3.4)
の解で，j(x)はr(x)のヤコビ行列で，
j(x) =∇r(x) =
∂r1
∂x1
∂r1
∂x2
∂r1
∂x3
∂r2
∂x1
∂r2
∂x2
∂r2
∂x3
... ... ...
∂rn
∂x1
∂rn
∂x2
∂rn
∂x3
(3.5)
である．
残差2乗和°°r(x)°°2 =r(x)tr(x) を最小化するガウス–ニュートン法では，dk を式(3.4) の最小二乗解にとり，
xk+1 =xk+αkdk (3.6)
により解を更新する [60, p. 95–96]．すなわちdk は，式(3.4)の両辺にj(xk)tをかけた正 規方程式
j(xk)tj(xk)dk =−j(xk)tr(xk) (3.7) の解である．式(3.6) において αk は，ステップ幅を調整するための正の係数で，調整 しない場合にはαk = 1とする．αkの調整には通常，直線探索が用いられ，反復ごとに
°°r(x)°°2 が確実に減少するように値が決められる．
位置関数の個数nにかかわらず，j(xk)の階数が3であれば，そのときに限りj(xk)tj(xk) の逆行列は存在し，式(3.7)はただ1つの解をもつ [62, p. 126]．反復の過程で，j(xk)に 数値的な階数の低減が生じると，式(3.7)の計算は数値的に不安定となり破綻する．その 場合，位置関数の個数nを増やし，方程式系(2.33)にあらたな方程式を追加すれば，階 数の低減はある程度抑制されると考えられる．その具体例については3.3節で述べる．
第3章 ガウス–ニュートン法による位置推定 30