∫ dQQ

[

∑

ss^′

w

_s

w

_s′

δ(Q − Q

_ss′

) ]

=

∫

dQQP (Q)

.

重なりの分布関数に関する対応関係

: P(Q) ⇐⇒

^x(q)_dq

..

...

. .

1 レプリカ理論の

q(x)

関数から，右辺を計算

Parisi

方程式から

q(x) = ⇒ P(q) =

_dq^d

x(q)

. .

2

TAP

方程式の解から左辺を計算

P (q) = ∑

αβ

w

_α

w

_β

δ(q −

_N¹

∑

i

m

^α_i

m

^β_i

)withw

_α

∝ e

^{−βG({mαi})}

. .

3 モンテカルロ法で左辺に相当する量を評価．

P (q) = ⟨ δ(q −

_N¹

∑

i

S

_i⁽¹⁾

S

_i⁽²⁾

) ⟩

. . . .

レプリカ法の数値的検証

.

レプリカ理論と

TAP

^理論の間

(K.Nemoto)

..

...

.

レプリカ理論と

MC

^の間

(A.P.Young)

..

...

K.Hukushima (U. of Tokyo, Komaba) スピングラスのレプリカ理論とその周辺 数理物理セミナー 43 / 77

. . . . スピングラスの平均場理論 スピングラスの平均場理論

状態空間の超計量性と秩序変数の分布関数の普遍的確率 則

秩序変数

q

^{は相互作用}

J

に依存する確率変数であるが，その揺らぎには 特別な確率則が普遍的に成り立っている

(M´ezard et al(1986))

．

.

状態空間の超計量性

(Rammal-Touless-Virasoro (RMP, 1987)) ..

...

• d(α, β) ≤ max(d(β, γ), d(γ, α))

• SG

^{秩序変数と}

Hamming

^距離

: q _αβ = 1 − 2d(α, β)

• q _αβ ≥ min(q _βγ , q _γα )

•

通常の

metric

^{は，三角不等式}

d(α, β) ≤ d(β, γ) + d(γ, α)

• Ultrametric

は，二等辺三角形か正三角 形だけ．

α β

γ α,β h( )

β α

γ

. . . .

.

超計量性

..

...

P (q ₁ , q ₂ , q ₃ ) = 1

2 P (q ₁ )x(q ₁ )δ(q ₁ − q ₂ )δ(q ₁ − q ₃ ) + 1

2 P (q ₁ )P (q ₂ )θ(q ₁ − q ₂ )δ(q ₂ − q ₃ ) +

^循環

q ₁ ≤ q ₂ = q ₃ ...

. P J (q ₁₂ , q ₂₃ , q ₃₁ )

^{などの従う確率則}

(

^{モーメント関係式}

) ..

...

•

^{累積確率：}

^Y

^J

^{(q) = ∫}

q¹

dq

^′

P

J

(q

^′

),

^{一次モーメント：}

y = [Y

J

(q)]

•

^{二次モーメント：}

^[(Y

^J

^(q))

²

^{] =}

¹₃

^{( y + 2y}

²

⁾

•

^{三次モーメント：}

^[(Y

^J

^(q))

³

^{] =}

₁₅¹

^{( 3y + 7y}

²

^{+ 5y}

³

⁾

•

スピングラス相の中での普遍的な関係式

•

低次の関係式はレプリカ法以外でも求められている

(Guerra

^ら

)

•

ランダム行列理論から言えるような気もするが

,

そのような知見は知らない．

•

そもそもこの確率分布の名前を知らない．．．

K.Hukushima (U. of Tokyo, Komaba) スピングラスのレプリカ理論とその周辺 数理物理セミナー 45 / 77

. . . . スピングラスの平均場理論 スピングラスの平均場理論

数値検証

.

数値実験

Bhatt-Young

..

...

. MC by KH-Yoshino-Takayama

..

...

. . . .

SK

モデルの平均場理論からわかったこと

.

スピングラス相転移

..

...

•

ランダムな方向へのスピンの凍結相転移

•

平衡統計力学の議論から，ダイナミクスについてはほとんど言え ない？

!

•

非線形帯磁率の負の発散

•

磁場中相転移

.

スピングラス相の性質..skip

..

...

•

スピングラス相内では多数の準安定状態が存在する．

•

自由エネルギー構造の一谷

vs

多谷相転移

•

レプリカ対称性の破れを伴う相転移

• q(x)

^の一定

vs x

^{依存性転移}

• P(q)

^の自明な

δ

^関数

vs

^{非自明転移}

•

準安定状態の超計量性，階層構造

•

^{磁場中相転移の存在}

(RS-RSB

^転移

)

•

^{ぎりぎりの安定性}

. ...

Parisi

解の自由エネルギーが厳密であることなど精密にわかってきている

こともある ．

K.Hukushima (U. of Tokyo, Komaba) スピングラスのレプリカ理論とその周辺 数理物理セミナー 47 / 77

. . . . 1段階レプリカ対称性の破れだけでよい系

Outline

. .

1

ランダム系の統計力学概論 スピングラス実験

. .

2

ランダムネスの取扱いとレプリカ法 レプリカ法の最も簡単な例

. .

3

スピングラスの平均場理論 スピングラスの平均場理論

. .

4 1

段階レプリカ対称性の破れだけでよい系

. .

5

平均場理論を越えて

,

有限次元系の結果を少しだけ

有限次元の世界にレプリカ理論の予想は生き残るのか？

. .

6

有限レプリカ数での相転移

. . . .

多体相互作用する平均場スピングラス模型

. p-spin SG model (Gross-M´ezard, 1984) ..

...

H( { S _i }|{ J _ij } ) = − ∑

i

1

>···>i

p

J _i

₁

_···i

_p

S _i

₁

S _i

₂

· · · S _i

_p

, S _i = ± 1

• J _i

₁

_···i

_p^{はランダム変数．}

• p = 2: SK

^模型

• p = ∞ : Random Energy Model (Derrida)

^と等価．

• p ≥ 3

^では

1 step RSB

^{のレベルで}

AT

^{安定性が満たされる．}

鞍点条件から，

q

0

= 0 (1 − m)

( β

²

2 pq

₁^p−1

− q

1

(1 − q

1

) { (m − 1)q

1

+ 1 } )

= 0 β

²

2 q

₁^p

+ 1 m

²

log

( 1 − q

1

1 − (1 − m)q

1

)

+ q

1

m { 1 − (1 − m)q

1

} = 0

K.Hukushima (U. of Tokyo, Komaba) スピングラスのレプリカ理論とその周辺 数理物理セミナー 49 / 77

. . . . 1段階レプリカ対称性の破れだけでよい系

. p-spin SG

の相転移の一般的な性質

..

...

•

^常磁性相

^(q

⁰

^{= q}

¹

^{= 0)} →

^{スピングラス相}

(q

0

= 0, q

1

> 0, m ≤ 1)

•

^{転移温度直上}

^{(T = T}

^s

⁾

^：

^q

1

> 0, m = 1

• q

1は転移温度で不連続．

(q

^{の平均は連続的}

)

•

転移温度ですでに大きな自己重なりを持っているが，重みがない．

metastable state

^の予感

q(x)

0 1 x

T>Ts

q(x)

0 1 x

T=Ts

q(x)

0 1 x

T<Ts

m P(q)

0 1 q

P(q)

0 1 q

q 0 q 1 q

P(q)

. . . .

ポテンシャル描像

. Franz-Parisi

^{ポテンシャル}

(Franz and Parisi (1997))

..

...

e

^{−βN VFP(q|}

J

₎

= ∑

S

⁽¹⁾,

S

⁽²⁾

e

^−β

( H(

S

⁽¹⁾_|

J

⁾_+H⁽

S

⁽²⁾_|

J

⁾⁾

δ(N q − ∑

i

S

_i⁽¹⁾

S

_i⁽²⁾

) V

FP

(q) = [V

FP

(q | J )]

•

レプリカ法等で計算しやすい量

•

^１

^RSB

^は

^”

^一次転移

^”

のような性質．準安定状態が出現する温度

T

dの存在．

q 0

q 0

T<T T>T

c c

q _EA q

0 T<T d

q _EA

K.Hukushima (U. of Tokyo, Komaba) スピングラスのレプリカ理論とその周辺 数理物理セミナー 51 / 77

. . . . 1段階レプリカ対称性の破れだけでよい系

p -spin SG の結果とガラスとの類似性

•

類似点

•

動的相転移

T

dと静的相転移

T

s

< T

d

• T

dでエルゴード性が破れる

• TAP

方程式の解＝

configurational entropy?

•

問題点

• p-spin SG

が構造ガラスのように見える

?

• quench randomness

の存在

.

構造ガラスには埋め込まれたランダムネ スはない．

•

平均場を越える必要がある．

•

熱活性化過程を取り込まなくてはいけない．

•

有限次元系の拡張が非自明

. . . .

連続的

RSB

^と１段階

RSB

^{が接するところ}

. p-spin glass model ..

...

H( { S

i

}|{ J

ij

} ) = − ∑

i₁>···>ip

J

i1···ip

S

i1

S

i2

· · · S

ip

, S

i

= ± 1

• p > 2

^で，

1RSB

^．

. q-state Potts glass model (Elderfield-Sherrington(1983))

..

...

H( {S

ⁱ

}|{J

^ij

} ) = − ∑

i>j

J

ij

δ(S

i

, S

j

) − H ∑

i

δ(S

i

, 1), S

i

= (1, 2, · · · , q)

• 2 < q < 2.8...: 1RSB+

^連続？？

• q > 2.8...: 1RSB.

•

どちらも低温でさらに連続

RSB

への転移があると思われている．

K.Hukushima (U. of Tokyo, Komaba) スピングラスのレプリカ理論とその周辺 数理物理セミナー 53 / 77

. . . . 1段階レプリカ対称性の破れだけでよい系

.

気づけば．．．

..

...

•

多くのスピングラス模型は１段階

RSB

^{を示すようである．}

•

最初に登場した二体相互作用する

SK

^模型は

Full RSB

•

どうして、１

RSB

^{ばかりなのか？}

•

どうして

,

^２

RSB

^{はないのか？ 二部へ}

. . . .

Outline

. .

1

ランダム系の統計力学概論 スピングラス実験

. .

2

ランダムネスの取扱いとレプリカ法 レプリカ法の最も簡単な例

. .

3

スピングラスの平均場理論 スピングラスの平均場理論

. .

4 1

段階レプリカ対称性の破れだけでよい系

. .

5

平均場理論を越えて

,

有限次元系の結果を少しだけ

有限次元の世界にレプリカ理論の予想は生き残るのか？

. .

6

有限レプリカ数での相転移

K.Hukushima (U. of Tokyo, Komaba) スピングラスのレプリカ理論とその周辺 数理物理セミナー 55 / 77

. . . . 平均場理論を越えて,有限次元系の結果を少しだけ 有限次元の世界にレプリカ理論の予想は生き残るのか？

平均場理論を越えて

•

当然，有限次元系によるゆらぎの効果で予言のどれだけが正しいか は検証すべき．

. .

1

下部臨界次元や臨界現象

. .

2

低温相の性質

•

理論の枠組み

•

臨界現象についてはくりこみ群の方法

•

レプリカ法＋くりこみ群

: ϕ

^{3理論．上部臨界次元は}

6

^．

• Nishimori

のゲージ理論

•

^{相図の形状に強い制限}

•

数値計算

. . . .

スピングラス系での大規模モンテカルロ計算 -25 ^年前

-.

３次元イジングスピングラス模型

..

...

A. T. Ogielski(1985). :

τ(T ) ∼ |T − T

g

|

^−zν

with zν ∼ 7

有限温度で発散：グラス転移

スピングラス転移の存在は肯定的に。。

.

高山プラン

(

平成３年度，重点領域研究

) ..

...

K.Hukushima (U. of Tokyo, Komaba) スピングラスのレプリカ理論とその周辺 数理物理セミナー 57 / 77

. . . . 平均場理論を越えて,有限次元系の結果を少しだけ 有限次元の世界にレプリカ理論の予想は生き残るのか？

3 ^次元 3 状態ポッツグラスのスピングラス相転移問題

. Scheucher-Reger-Binder-Young, 90

..

...

3

^{次元では相転移なし}

“PRE-

^交換

MC

^法

” days

. Lee-Katzgraber-Young(2006)

..

...

相転移あり

POST-

^交換

MC

^法

. . . .

3 次元イジングスピングラスの臨界指数

.

有限サイズスケーリング

..

...

10⁻⁶ 10⁻⁵ 10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

0.1 1

χSG(T,L)/(LT)2−η

(LT)^1/ν|1−β²/βC 2| TC/J=1.11(2) ν=2.72(8) η=−0.4 ^fixed L= 8

L=12 L=16 L=24 L=32

Campbell-KH-Takayama(2006)

. 3

^{次元イジング}

SG

^{の臨界指数の変遷}

..

...

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3

ν

Tc/J

Katzugraber-Keorner-Young(2006) Ballesteros et al (2000)

Kawashima-Young (1996) Palassini et al (1999)

Bhatt-Young (1985) Our work(2006) Hasenbusch et al (2008)

きちんと決まったわけではないが，

相転移の存在はほぼ確定的だと個 人的には思う．

K.Hukushima (U. of Tokyo, Komaba) スピングラスのレプリカ理論とその周辺 数理物理セミナー 59 / 77

. . . . 平均場理論を越えて,有限次元系の結果を少しだけ 有限次元の世界にレプリカ理論の予想は生き残るのか？

低温相の性質

..

平均場理論の予想..平均場スピングラス

.

秩序変数の分布関数

P (q)

^{の非自明性}

..

...

. Marinari et al, PRB(1998)

..

...

• 3

^{次元イジング}

SG

• RSB

^を主張

. Bokil et al, PRB(2000)

..

...

• Migdal-Kadanoff

^モデル

• RSB

^{を起こさない模型} の振る舞い

. . . .

レプリカ理論派 vs ^{ドロップレット現象派}

• Evidence for the droplet picture of spin glasses M. A. Moore, H. Bokil and B. Drossel, Phys. Rev. Lett. 81, 4252 (1998).

• Comment on Evidence for the droplet picture of spin glasses E.

Marinari, G. Parisi, J.J. Ruiz-Lorenzo and F. Zuliani Phys. Rev. Lett.

82, 5176 (1999)

• General Method to Determine Replica Symmetry Breaking Transitions E. Marinari, C. Naitza, F. Zuliani, G. Parisi, M. Picco and F. Ritort, Phys. Rev. Lett. 81,1698 (1998),

• Comment on ”General Method to Determine Replica Symmetry Breaking Transitions” Hemant Bokil, A. J. Bray, Barbara Drossel, M.

A. Moore Phys. Rev. Lett. 82, 5174 (1999)

K.Hukushima (U. of Tokyo, Komaba) スピングラスのレプリカ理論とその周辺 数理物理セミナー 61 / 77

. . . . 平均場理論を越えて,有限次元系の結果を少しだけ 有限次元の世界にレプリカ理論の予想は生き残るのか？

有限次元スピングラスの磁場中相転移

.

予想される相図

..

...

. FeMnTiO ₃

^系の実験

..

...

X : J. Mattsson, T. Jonsson, P. Nordblad, H. A. Katori, and A. Ito, Phys. Rev. Lett.

74, 4305 (1995).

○ : H. A. Katori and A. Ito, J. Phys. Soc.

Jpn. 63, 3122 (1994).

. 3

^次元系の

MC ..

...

Young-Katzgraber PRL(2004)

. H = 0 ..

...

. H ̸ = 0

..

...

磁場中相転移なし！

. . . .

下部臨界次元と低温相についてのまとめ

..

モデル 平均場極限

· · · 4

^次元

3

^次元

2

^次元

Ising

^{相転移あり ○ ○}

(1985-) X

連続

RSB ? ?

-q > 3Potts

^{○ ○ ○}

(2006-) X

1RSB+α ? ?

-p(> 3)spin

^○

? ? ?

1RSB+α ? ?

-Vector spin

^{○ △ △}

X

Full RSB ? ?

-•

有限次元イジング模型のの連続

RSB

の存在は議論されているも のの…

•

１

RSB

を示すかもしれない系の低温相は議論もあまりされていない

• p-spin

は有限次元版をどう作るのがよいのかよくわからない．

• Vector spin

^系は，

Kawamura

のカイラリティグラス問題が決着して いない．

K.Hukushima (U. of Tokyo, Komaba) スピングラスのレプリカ理論とその周辺 数理物理セミナー 63 / 77

. . . . 有限レプリカ数

Outline

. .

1

ランダム系の統計力学概論 スピングラス実験

. .

2

ランダムネスの取扱いとレプリカ法 レプリカ法の最も簡単な例

. .

3

スピングラスの平均場理論 スピングラスの平均場理論

. .

4 1

段階レプリカ対称性の破れだけでよい系

. .

5

平均場理論を越えて

,

有限次元系の結果を少しだけ

有限次元の世界にレプリカ理論の予想は生き残るのか？

. .

6

有限レプリカ数での相転移

. . . .

Outline

. .

1

ランダム系の統計力学概論 スピングラス実験

. .

2

ランダムネスの取扱いとレプリカ法 レプリカ法の最も簡単な例

. .

3

スピングラスの平均場理論 スピングラスの平均場理論

. .

4 1

段階レプリカ対称性の破れだけでよい系

. .

5

平均場理論を越えて

,

有限次元系の結果を少しだけ

有限次元の世界にレプリカ理論の予想は生き残るのか？

. .

6

有限レプリカ数での相転移

[1]T. Nakajima and KH, J. Phys. Soc. Jpn. 77 (2008) 074718 [2]T. Nakajima and KH, Phys. Rev. E 80, 011103 (2009)

K.Hukushima (U. of Tokyo, Komaba) スピングラスのレプリカ理論とその周辺 数理物理セミナー 65 / 77

. . . . 有限レプリカ数

キュムラント母関数に対する制限

. φ(n)

^{の熱力学的制限}

–

^{レプリカ法の必要条件}

– ..

...

n

は逆温度とみなすと，熱力学構造がある．

. .

1 φ(n)

^の単調性

(“

^{エントロピーの単調性}

”):φ ^′ (n) ≤ 0

− ∂

∂T F (T, V ) = S(T ) ≤ S( ∞ )

. .

2 φ(n)

^の凸性

(“

^{熱容量の正値性}

”): (nφ(n)) ^′′ ≤ 0

− ∂ ²

∂T ²

F (T, V )

T = ∂

∂T E(T, V ) = C _V ≥ 0

•

特定の模型にだけ成り立つ条件ではなく

,

一般的に成り立つべし．

• RS

解なども，正しい解ならば満たすべき条件

•

有限の

n

における

AT

不安定化とこれらの条件の競争

.

ドキュメント内 発表ファイル 数理物理・物性基礎論セミナー Hukushima (ページ 42-81)